1、（江西卷）如图，椭圆221(0)xyQabab，的右焦点为 (0)Fc，过点 F的一动直线 m绕点 F转动，并且交椭圆于AB，两点， P为线段 AB的中点（1 ）求点 的轨迹 H的方程；（2 ）若在 Q的方程中，令21cossina，2sin0b设轨迹 H的最高点和最低点分别为 M和 N当 tan为何值时， MNF 为一个正三角形？解：如图， （1）设椭圆 Q：22xy1ab （ab0 ）上的点 A（x 1，y 1） 、B （x 2，y 2） ，又设 P 点坐标为 P（x ，y ） ，则 2221122bab1xy2 （ ） （ ）1当 AB 不垂直 x 轴时， x1x2，由（1）（2）得 b
2、2（x 1x 2）2xa 2（y 1y 2）2y 0221yyxac b2x2a 2y2b 2cx0（3）2当 AB 垂直于 x 轴时，点 P 即为点 F，满足方程（3）故所求点 P 的轨迹方程为： b2x2a 2y2b 2cx0（2 ）因为轨迹 H 的方程可化为：222cycaba（ ） （ ）M（ c， 2ba） ，N（ c2， b） ，F（c，0） ，使MNF 为一个正三角形时，则tan 62bca ，即 a23b 2. 由于 21cosina，2sin0b，则 1cossin3 sin，得tan 43全国卷 I）设 P 是椭圆 21xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求 PQ
3、的最大值。解: 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= ,又因为x2+(y 1)2Q 在椭圆上,所以,x 2=a2(1y 2) , |PQ|2= a2(1y 2)+y22y+1=(1a 2)y22y+1+a 2=(1a 2)(y )2 +1+a2 .11 a2 11 a2因为|y|1,a1, 若 a , 则| |1, 当 y= 时, |PQ|211 a2 11 a2取最大值 ;a2a2 1a2 1若 1a ,则当 y=1 时, |PQ|取最大值 2.2(本小题满分 14 分)已知椭圆 C: 2byax=1(ab0)的离心率为 36,短轴一个端点到右焦点的距离为 3.( )求椭圆
4、 C 的方程;( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线l 的距离为 23，求AOB 面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为 c，依题意63ca，1b， 所求椭圆方程为2213xy（）设 1()Axy， ， 2()Bx， （1 ）当 B 轴时， 3A（2 ）当 AB与 x轴不垂直时，设直线 的方程为 ykxm由已知 231mk，得223(1)4k把 yx代入椭圆方程，整理得22 2(31)630kkmx，12231xk，212(1)3k2221()()ABx2226(1)()(1)3mk222221()(3)3()911kkmkk24 211233(0)3496
5、696kkk当且仅当 219k，即3k时等号成立当0k时， 3AB，综上所述 max2当 最大时， O 面积取最大值max1322SAB（2009 北京文） （本小题共 14 分）21 世纪教育网 已知双曲线2:1(0,)xyCabab的离心率为 3，右准线方程为3x。（）求双曲线 C 的方程；（）已知直线 0xym与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 25xy上，求 m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23ac，解得 1,3ac，222bca，所求双曲
6、线 C的方程为 21yx.（）设 A、B 两点的坐标分别为 12,xyxy，线段 AB 的中点为 0,Mxy，由得210yxm220xxm（判别式 0）, 120 0, 2xmyxm,点 0,Mx在圆225y上，225m， 1m.（2009 宁夏海南卷文）(本小题满分 12 分)已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1（I ） 求椭圆 C的方程（II） 若 P为椭圆 的动点， M为过 P且垂直于 x轴的直线上的点，OPe（e 为椭圆 C 的离心率） ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（20）解：（）设椭圆长半轴长及分
7、别为 a,c,由已知得 1,7.ac解得 a=4,c=3, 21 世纪教育网 所以椭圆 C 的方程为221.167xy（）设 M（x,y）,P(x, 1y),其中 4,.x由已知得221.xey而34e故 2222116()9().xxy 由点 P 在椭圆 C 上得 2217,6xy代入式并化简得 29,y所以点 M 的轨迹方程为 47(4),3x轨迹是两条平行于x 轴的线段. （2009 全国卷文） （本小题满分 12 分）)0(12bayx32（）求 a,b 的值；（）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C
8、相交于 A、B2两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为有OBAP成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 ,0cF 当 l的斜率为 1 时，其方程为Ocyx,到 l的距离为20c故 2c， 1c 21 世纪教育网 由 3ace得 ， 2cab=（）C 上存在点 P，使得当 l绕 F转到某一位置时，有OBAP成立。由 （）知 C 的方程为 2x+
9、3y=6. 设 ).,(),(21yxBA() 1kll 的 方 程 为轴 时 ， 设不 垂 直当C OOP使上 的 点 成立的充要条件是）点 的 坐 标 为 （ 2121,yxP， 且 6)(3)( 2121 yx整理得 643322y,621xyxCBA上 ， 即在、又故 0221 将 并 化 简 得代 入 ,63)(yxky63(22kx21 世纪教育网 于是 2213, 1x= 23k,22121 4)(ky代入解得， 2k，此时 231x于是 )(2121xy= k， 即 ),(kP 21 世纪教育网 因此， 当 2k时， )2,3(P， 022yxl的 方 程 为；当 k时， )2
10、,3(P， 02yxl的 方 程 为。（）当 l垂直于 x轴时，由 )0,(OBA知，C 上不存在点 P 使 OBA成立。综上，C 上存在点 )2,3(P使 P成立，此时 l的方程为 022yx.11 陕西 （本小题满分 12 分）设椭圆 C: 过点（0，4） ，离心率为21xyabab 35（）求 C 的方程；（）求过点（3， 0）且斜率为 的直线被 C 所截线段5的中点坐标。解（）将（0，4）代入 C 的方程得 b=4216b又 得35cea295即 ， a=52169 C 的方程为215xy（ ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，3,04435yx设直线与的交点为 ， ，1,xy2,x将直线方程 代入的方程，得5y，22315x即 ，解得280， ，134x2341xAB 的中点坐标 ，123x
