1、1不定积分小结一、不定积分基本公式(1)=+1+1+(1) (2)1=ln|+(3)=ln+ (4)sin=cos+(5)cos=sin+ (6)tan=ln|cos|+(7)cot=ln|sin|+ (8)sec=ln|sec+tan|+(9)csc=ln|csccot|+ (10)2=tan+(11)2=cot + (12)1+2=arctan+(13)2+2=1arctan+ (14)22=12ln|+|+(15)22=12ln|+|+ (16)12=arcsin+(17)22=arcsin+ (18) 22=ln|+22|+(19)22=222+22arcsin+(20)22=2222
2、2ln|+22|+二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得） (1)=(详 情 请查阅 教材 166页 )则 =cos1 +12(求三角函数积分 )易得 ：n 为奇数时，可递推至 1=sin=cos+；n 为偶数时，可递推至 2=2=2sin24 +；(2)= (2+2)(详 情 请查阅 教材 173页 )2则 +1= 122 (2+2)+2122易得 可递推至 1=2+2=1arctan+（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一 )换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导
3、数。首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例 1： 5+2注意到分母根号下 为 二次 ， 其 导 数 为 一次 ， 而分子正好就是一次 ，通 过 凑微分和配方可以得到解决。 5+2=-12(-2+1)+125+2 =-12(5+2)5+2+12 15+2= 5+2+12 ( 212)2(12)2= 5+2+12arcsin(2121)+例 2： 34+2+1与例 1 类似，我们有：3 34+2+1=14(43+2)124+2+1 =14(4+2+1)4+2+1 14 (2+12)(2+12)2+( 32)2后面套公式就好啦例 3： 1+2 2+22=12 1+22=(tan)1+22=12
4、(tan)( 22)2+2= 22arctan(tan)+接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。例 4： 33= 32(32)2(32)2(32)=23 1(32)2(32)2(32)至此可以套用公式了例 5： 12+3=121+32， 注意到32的 导 数 为 -3ln212，至此可以用凑微分法了例 6： 1cot= sincos注意到 sincos的 导 数 为 第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换： 2+2=142+1=2 2 +1=2换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会）例如以下两个基本积分公式22=222+22+22=22222ln|+22|
5、+例 ： (2+9)3利用 ，这里 x 可以取到全体实数，那么2+1=2， 令 =3tan取 (2,2)就可以保 证 取到全体 实 数 ， 因 为 的范 围 直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。则 ： (2+9)3= 3934至此， 有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：4利用 cos=sin(2)和 求得令一种解法：4=2(12)=222利用倍角公式可以解出。（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下例 ： 224 ， 令 =1， 容易求出原函数(二 )分部积分法=应用 分部 积 分法 时 ， 需要把被 积 函数看作两个因式 及 之 积
6、， 如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁 .积 分 时应 注意d比较好积，同时 的选取应使其倒数比 简单，两者 应 兼顾。例 ： arctan(1+2)32=arctan 1+2arctan(1+2)325=arctan 1+2arctan 11+2arctan(1+2)32=arctan11+2arctan(1+2)32则： arctan(1+2)32= 121+2arctan+这 个函数就有多种拆分方法 ， 需要我 们 多 尝试 几次才能解出 ， 并且用到了查阅教材 165 页。轮换 ， 应 注意 。 其 实 sin(ln)也用到了 轮换 ， 详 情 请一般 情况下 ， 被
7、 积 函数形如 sin， cos， ()， ()sin，()cos， ()(ln)， ()arctan， 就可以 尝试 分部 积 分法 轻 松求得原函数，其中 表示 m 次多项式。()例 xed)1(2Cxedexed xdexxedexx xxx 111)(1)(1)(2222(三 )特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材 171 页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，6其实我们可以将其归结为两种形式：(1)()(其中 ,为 常数 ， 为 正整数 )当 =1时 ， ()=ln|+当 1时 ， ()=()+1
8、+1 +(2) +(2+)(其中 ,为 常数 ， 为 正整数 )对于分子，我们可以将其凑为 2+的 导 数和某一常数之和 ， 第一部分容第一页的递推公式：易求得，第二部分利用= (2+2)(详 情 请查阅 教材 173页 )则 +1= 122 (2+2)+2122易得 可递推至 1=2+2=1arctan+以下几例用于练习有理式的分解和计算：例 1： 3+1例 2： 4+1= (2+1)2( 2)2= (2+1+ 2)(2+1 2)例 3： 6+1 (教材 175页 的方法 较为简 便 )2、三角函数有理式的积分常用技巧：（1）凑微分例 1： 若 m 和 n 都是偶数，利用 将其化为同名函数。
9、2+2=1若 m 或 n 为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、 ）中的递推公式。例 2： cos3+3= 11+3(tan)7利用已 经 解得的 3+1的 结 果补 充一点 ： 利用 cos=sin(2)和 求得=2(121)=11 2这就得到了 的递推公式，事实上还可以将其看作 的特 殊形式，只不过 m=-n 罢了，当然可以用 的求解方法。 (2)倍角公式、积化和差例 ： 5 7 (3)分项技巧例 1： 14 2=2+24 2= 12 2+14至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、 ）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由
10、分部积分法得到的。例 2： (+)(+)= 1()(+)(+)(+)(+)=1()(+)(+)(+)(+)， 这 里利用了三角和公式 ，至此可以直接套用基本积分表了。 ()例 3： 3+3=13 2sin+cos+ sin+cos2sincos+2=23 2cos(4)+23(cossin)(cos-sin)2+1=232ln|sec(4)+tan(4)|23arctan(cossin)+（此题较为复杂，大家需要认真看）（4）配凑法例 xbaIdsinco假设 ， 则 Ii1 xbaIdsinco2得到2ba-（1 ）11dCxI8得到 21-aIb-（ 2） 2|sinco|ln)sinco
11、d(sincoCxbaxbaxI 由（1）与（2）解得： .|i|l 22 xbabI|snco|n2 xba（5）万能公式： (1)令 =tan2， 则 =21+2 =121+2 =212 = 21+2(三角函数次数 较 低 时 效果 较 好 )(2)令 =， 则 = 21+2 = 11+2(注意正 负 号的判断 ) = 11+2(三角函数次数 较 高 时 效果 较 好 ）例： 2+sin(用第一种 变换 )= 2+1(转 化 为 容易的有理 积 分 )3、简单无理函数的积分（ 1）当被积函数 是 与 (+)(+)的有理式 时 ， 采用 变换 =(+)(+)， 就可化 为 有理函数的 积 分例 ： 1+3=11+ ， 设 = 1+ 代 换 即可（ 2）当被积函数 是 与 2+的有理式 时 ， 通常先将 2+配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。例 ： 1+ 2+2+2= 1+ (+1)2+1， 令 +1=tan即可9附：另类题目：确定 A 和 B，使下式成立 (+cos)2= sin+cos+ +cos解：两边同时求导，化简整理可得： +(+)cos=1从而有： +=1+=0当 22时 ， 解得 =22， = 22当 ,无解。2=2时
