1、 高等数学课程 教案第一节不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念上一章我们学习了求已知函数的导函数，在许多实际问题中我们经常要进行求导的逆运算，也就是求一个未知的函数，使其导函数恰好是某一个已知的函数.首先看下面的例子例 1 已知曲线过原点，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的二倍，求曲线的方程.解 设曲线方程为 , 为曲线上的任意点，则曲线在该点的切线的斜()yfx)My率为 ，由题意得： y 2x同时要求的是过原点的曲线，即 时， 0y我们不难求出所求的曲线方程为 2x我们把这种求导运算的逆运算称为求原函数.定义 1 如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ，即I()F()fx或()F
2、xfddxfI则 为 在区间 上的原函数.()FxfI如 ，所以 是 函数的一个原函数.显然 也是 的一个原函数.21x21x2x这说明原函数不是唯一的.关于原函数，我们还要说明两点：（1） 如果 在某区间连续，那么它的原函数一定存在.()fx（2） 若 存在原函数，就不是唯一的 .由于常数的导数等于 0，故对任意的常数， 也是 的原函数，亦即若 有一个原函数 ，则 必有无穷C()Fx()fx()fx()Fx()f多个原函数，且易知 是 的全体原函数集合，其中 是任意常数.C()f C对于第二个问题，我们用一个新的概念不定积分来表示该问题，即有下面的定义.定义 2 函数 的全体原函数集合叫做
3、的不定积分，记为 ，即()fx()fx()dfx， d()Fx其中， 称为积分号， 称为积分函数， 称为被积表达式，而 称为积分变()f()dfxx量.从不定积分的定义， 是 的原函数，那么易知有下面关系：()dfx()f（1） ；()dfx ()dxf（2） 或()FC()FC从中大家可以看到求导与积分的关系互逆.例 1 求下列不定积分：3()d;x(2)cosdx解 （1）因为 ，所以43(341xC（2）因为 ，所以sin)csxcsin二、不定积分的几何意义若 是 的一个原函数，则称 的图象为 的一条积分曲线.于是()Ff ()yFx()fx函数 的不定积分表示 的某一条积分曲线沿着纵
4、轴方向任意地平行移动所得到的fx()fx所有积分曲线组成的曲线族.显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线都是互相平行的.如图 4-1 和图 4-2三、基本积分公式和性质1基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应得出下列基本积分公式：（1） （k 为常数） （2）dkxC1()x（3） （4）dlnx dxxeC（5） （6） dlnxxaC cosdinxC（7） （8） sicos2eta（9） （10）2cdtxx scndsecxx（11） （12）scsC21artC（13） 21darinx以上公式是以后求积分的基础，请读者最好熟记.2
5、不定积分的性质性质 1.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外.即（k 是常数， ）()d()dkfxfx0k性质 2.两个函数和的积分，等于各函数积分的和.即 ()()()dfgfgx本性质对有限多个函数也是成立的，它表明：和函数可逐项积分.例 2 求不定积分：（1） ； （2） .dxdx解 （1） 212 Cx（2） 3522dxx例 3（1） （2） 3(1)e 2tandx（3） （4）2sindx21解 （1） 33(1)ddx xexe44122xxeCC（2） 2tand(sec1)dx2secdtanxxC（3） 21o1sinsi2x（4） 22dd()dxxx21arctnC设法化被积函数为和式，然后再逐项积分是一种重要的解题方法.练习习题 4-1 1. 2. 3小结 不定积分的定义 不定积分的公式 不定积分的简单的计算布置作业练习册
