1、习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。2掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3掌握不定积分的积分方法。4会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一原函数与不定积分的概念1 原函数定义：在区间 上，若 （即 ） ，称函数I)(xfF dxfdF)(是函数 在区间 上的一个原函数。)(xF)(xf2 原函数存在的条件：若函数 在区间 上连续。则 在区间 上有原函)(xfI)(xfI数。3 不定积分：函数 在区间 上的所有原函数 称为 在区间 上)(fICF)()(fI的不定积分，记作 .xd)(4 不定积分与导数的
2、关系：（1） 先积分再求导（或微分），或 ；)()(xfdf dxfxfd)()(（2） 先求导（或微分）再积分，或 .CF)()(CF)(5 不定积分的线性性：（1） ；dxfkxf)()(（2） .dxgg)(二基本积分公式（略）三不定积分的方法1 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。 （关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段） 。2 凑微分法： .CxFdxfdxf )()()( 主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分） 。要熟练常用的几个凑微
3、分式子：（1） ； )()(1)( baxdfadxbf 0(（2） ；)0()1111 aff（3） ；xdfdxln)()(ln（4） ；xeef（5） ；xfarct)(rt1)(arct2（6） ；dfdxf sinisin2（7） ； xff i)(sco)(i（8） ；dconxdsn（9） ； xff ta)(tec)(ta2（10） ；xsectas（11） .)(ln)()( Cffdxf 多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：换元名称 被积函数特点 具体换元公式 换元目的含有 2xatasin含有 三角换元含有 txantsec去根号化为有理函数或三角含有 n
4、baxnbaxt根式换元根式换元含有 ndcndct函数有理式的积分倒代换 分母幂次比分子幂次较高tx1降低分母幂次4 分部积分法： dxvuxvdxvu )()()(或主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好 与 的)(xuv选取，原则是 好找原函数， 的导数简单，积分 积分)(xv )(xud容易（至少不难） 。要掌握以下几种常见类型的分部积分：dxu)(被积函数类型 条件 取作)(x取作)(xv目的幂函数三角函数 正整数次幂 幂函数 三角函数 降低幂次幂函数指数函数 正整数次幂 幂函数 指数函数 降低幂次幂函数对数函数 实数次幂 对数函数 幂函数 去掉对数函数幂函数反三角函
5、数 实数次幂 反三角函数 幂函数 去掉反三角函数指数函数三角函数 与 任取，用两次分部积分，出现“打回头”)(xuv四几类特殊函数的积分例题精讲1若 ，求函数Cexdf)1() ).(xf解：（本题考核导数与积分的关系。 给出不定积分，求被 积 函数，只需对等式两边求导）对等式两边同时求导，有 .)1()(xxef2若函数 满足 ，且 ，求函数)(xf 22sectan 0f).(xf解：（本题也是考核导数与积分的关系。 给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是 ，或先将式子 改写为 ，再两x2t xf22sec)(tan xf1)(边求积分）对等式两边同时求积分，有 ）
6、.)(tan21ttan)t1(tansectan)(2 22222Cx xdxdxdff 所以， ，由 ，得 ，于是f 1)0(fC.21)(xxf3设函数 求不定积分.,sin,)(xxf .)(df解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数 在分界点处应连续）.)(xfxF当 时， ；0x CxdxfxF2)()()(当 时， . 1cossinf有 ，有 ，得 .)0()0 1C所以， .0,cos1,2)( xxdxf4若 的一个原函数为 ，求不定积分)(f 2ln.)(dxf解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与的导数 乘积的形式，因此首先要
7、 进行分部积分）)(xf)(xf由 的一个原函数为 ，即 ，所以 .x2lnCxdf2ln)( xfln2)(于是， .)()(fdxf 5设函数 是 在 时的一个原函数，满足 ，且Ff0 2)1()(xeFxf， . 求函数 .1)0()(x)(xf解：（本题还是考核原函数概念。由于在条件 中同时出现了2)1()(xexf与 ，为方便都统一于 ，然后再 积分）)(xfF)(xF由 是 的一个原函数及 ，有 ，)(xf 2)1(xef2)1()(xeFx对上式两边同时求积分，得2)(xF )1(2)1(2)( xdedxedx .Cexxx )(1(由 及 ，得 ，且 ，)0(F0)(xCxe
8、F1所以， .2/3)1()()( xedxFxf 6求下列不定积分（本例都是典型的、常 见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分）（1） ； （2） ；xln4)(xed（2） ； （4） ；22arcsi4xdx21arctn（5） ； （6） .otn dxcosintl解：（1） )l1(l)(ln1xdx.Cxx ln12)ln(32)l(ll /3（2） )()1(2)1()( 24424 xxxx edeeded)()(14232xxx.CeCeexxx 32322 )1()1(6)1(4（3） .Cxddd xxxx 2arcsinlarcsinarcsi)(arcsin222
9、22（4） )(1t)(1t1t 122 xxx .Cd 2)arctnarctnrt（5） .Cxdxdxx cos2(ososios 23（6） dtantlctanlcintal 2.Cxxl1ltl7求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式）（1） ； （2） ； （3） .dx323)1(xd)1(28xd解：（1）(本题除了利用部分分式，没有太好的办法。).312arctn)1(ln3 )(rta)l(l2()12(3ln)12 23132 2233 Cxxxdxxd（2）(本题属于 型 , 可以凑成 兴)(nRd(nxRd.)1(ln31 1)(
10、3() 113)(3 3323 32332Cx xdxdxx （3）(本题由于分母的幂次相 对于分子的幂次较高, 因此应当用到代换.)令 , 则 , 于是tx12td.1arctn3157)arctn37()(1)5 2246288 CxxxCtt dtttx 8求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解）（1） ； （2） ；dx4sinco dx42costani（3） ； （4） .2i i解：（1） （本题属于 型）xdfcos)(i.)arctn(si21)(sin12sini1sin1co 2244 Cxxdxddx （
11、2） （本题属于 型，可作代换 . 也可以直接凑微分）Rta),co,(i22 t.2tan3t4tant)tant(tansecosti23 2242 Cxxdxxd（3）（本题有两个关键点，一是要 统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项）.)tanseclco1sin(4sec41)tansecltan(sec41 2)taelta(2 cosin12)sico21ssi 23 3 CxxCxxx dddxxxd （4） （本题解法很多，下面仅 介绍几种有代表型的解法）方法一：本题可以通过拆项的方法求解 .)cosinl(21cosin)(21 )cosin1(2s(i)cisi Cx
12、xxd dxd 方法二：记 ， . 则dIi1 dIi.cosinlcosin)(cosin.21 CxxdxI 两式相加，得 i .)il(21I方法三：为将分母化为一项，分子、分母同乘 ，则snCxxxdxdd )2sectanl21cosln(21)sec2tan1( oiiosinosi 22.ilC方法四：分子、分母同乘 ，通过两角和公式将分母唤为一项，则2/).2ln1(.)cosinl(21 )4/si()4/(t /si()/co/in1csin 1 Cxx Cxdd dxx 方法五：分子、分母同除 ，然后 令 ，则 ， ，于是xtatarc21tdx.)cosinl(21)l
13、n)1l(2(arctn1 1()taosi2 22CxxCtttdxdx 方法六：用万能代换，令 ，则uxta.2tant21ln)ta1ln(2arct )211()(4osin2222Cxxxuu duuddx 9求下列不定积分（本例都是无理函数积分，如果能 够通 过凑微分求解，当然最好；如果不能用凑微分求解，就要设法去根号）（1） ； （2） ；dx234 12xd（3） ； （4） .32解：（1）本题属于 类型，直接凑微分即可，当然也可以用三角代换xdf)(2 txsin2方法一： 2223 4)(414dxx .)4(3)(51)(1 2/32/5/1/3 Cxx 方法二：令 ，
14、则 ，于是tsin2tdcos2.)4(3)4(51cos32s5coscos2csin4 2/3/5233 CxxCtt tdttddx （2）方法一： 时，令 ， （ 时，方法类似，结果相同）0x/0ect0.arcos1tansec12 xtdd方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。当 时，令 ch （ ） ， （当 时，方法类似，结果相同）0xxt0x.1xarctnCsh t)arcn(sh1 ch 1 2222 Ctdtd 方法三：本题特别，作代换 ，也可以达到去根号的目的。x当 时，令 ，则 ， ，于是0xt1221t21tdx.arcnarctn)(222 CCtdtxd 当 时，方法类似，令 ，则 ，结果相同0x121tx方法四：由于分母上 x 的幂次比分子上 x 的幂次高一些，因此可考虑倒代换，令 ，则 . 于是，当 时，有tx12td0.Cxttd 1arcsinarcsin22当 时， .0x ttdxriri122（3）本题解法也较多，各种解法的目的都是取根号。方法一：按 类型作。dxcbaxRn),(令 ，则 ，于是txn122)1(,1tt 2222)( tdttdtd
