1、目 录1 刚体系统 .12 弹性系统动力学 .63 高速旋转体动力学 .1011 刚体系统 一般力学研究的对象，是由两个或两个以上刚体通过铰链等约束联系在一起的力学系统，为一般力学研究对象。自行车、万向支架陀螺仪通常可看成多刚体系统。人体在某种意义上也可简化为一个多刚体系统。现代航天器、机器人、人体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型作为研究对象。多刚体系统按其内部联系的拓扑结构，分为树型和非树型（包含有闭链） ；按其同外界的联系情况，则有有根和无根之别。利用图论的工具可以一般地分析多刚体系统的构造，建立系统的数学模型和动力学方程组。也可从分析力学中的高斯原理出发
2、，用求极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力。依照多刚体系统动力学的理论和方法，广泛采用电子计算机对这些模型进行研究，对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。 1.1 自 由 物 体 的 变 分 运 动 方 程任 意 一 个 刚 体 构 件 ， 质 量 为 ， 对 质 心 的 极 转 动 惯 量 为 ， 设 作 用iimiJ于 刚 体 的 所 有 外 力 向 质 心 简 化 后 得 到 外 力 矢 量 和 力 矩 ， 若 定 义 刚 体 连iFin体 坐 标 系 的 原 点 位 于 刚 体 质 心 ， 则 可 根 据 牛 顿 定 理 导 出 该 刚 体 带 质yox心 坐 标 的 变
3、 分 运 动 方 程 ：(1-1)0iiiiiTi nJFrm其 中 ， 为 固 定 于 刚 体 质 心 的 连 体 坐 标 系 原 点 的 代 数 矢 量 ， 为 连 体 坐ir oi标 系 相 对 于 全 局 坐 标 系 的 转 角 ， 与 分 别 为 与 的 变 分 。iriiri定 义 广 义 坐 标 ：(1-2)Tiirq,广 义 ：(1-3)TiinFQ,及 质 量 矩 阵 ：(1-4),(iii JmdagM体 坐 标 系 原 点 固 定 于 刚 体 质 心 时 用 广 义 力 表 示 的 刚 体 变 分 运 动 方 程 ：2(1-5)0)(iiTiQqM1.2 束 多 体 系
4、统 的 运 动 方 程考 虑 由 个 构 件 组 成 的 机 械 系 统 ， 对 每 个 构 件 运 用 式 (1-5)， 组 合 后 可 得 到nb系 统 的 变 分 运 动 方 程 为 ：(1-6)01iinbiTiQqM若 组 合 所 有 构 件 的 广 义 坐 标 矢 量 、 质 量 矩 阵 及 广 义 力 矢 量 ， 构 造 系 统 的广 义 坐 标 矢 量 、 质 量 矩 阵 及 广 义 力 矢 量 为 ：(1-7)TnbTqq,.21(1-8)(Mdiag(1-9)TnbTQ,.21系 统 的 变 分 运 动 方 程 则 可 紧 凑 地 写 为 ：(1-10)0qT对 于 单 个
5、 构 件 ， 运 动 方 程 中 的 广 义 力 同 时 包 含 作 用 力 和 约 束 力 ， 但 在 一个 系 统 中 ， 若 只 考 虑 理 想 运 动 副 约 束 ， 根 据 牛 顿 第 三 定 律 ， 可 知 作 用 在 系 统所 有 构 件 上 的 约 束 力 总 虚 功 为 零 ， 若 将 作 用 于 系 统 的 广 义 外 力 表 示 为 ：(1-11)TAnbTAQQ,.21其 中 ：， (1-12)TAiAiF,i,.1则 理 想 约 束 情 况 下 的 系 统 变 分 运 动 方 程 为 ：(1-13)0ATQqM式 中 虚 位 移 与 作 用 在 系 统 上 的 约 束
6、 是 一 致 的 。q系 统 运 动 学 约 束 和 驱 动 约 束 的 组 合 如 式 (1-10)， 为 ：(1-14),(tq对 其 微 分 得 到 其 变 分 形 式 为 ：(1-15)0q3式 (1-13)和 (1-15)组 成 受 约 束 的 机 械 系 统 的 变 分 运 动 方 程 。为 导 出 约 束 机 械 系 统 变 分 运 动 方 程 易 于 应 用 的 形 式 ， 运 用 拉 格 朗 日 乘 子 定 理对 式 (1-13)和 (1-15)进 行 处 理 。拉 格 朗 日 乘 子 定 理 ： 设 矢 量 ， 矢 量 ， 矩 阵 为 常 数nRbnxnmRA矩 阵 ， 如
7、 果 有 ：(1-16)0xT对 于 所 有 满 足 式 （ 1-84） 的 条 件 都 成 立 。(1-17)A则 存 在 满 足 式 （ 1-85） 的 拉 格 朗 日 乘 子 矢 量 。mR(1-18)0xbT其 中 为 任 意 的 。x在 式 (1-13)和 (1-15)中 ， ， ， ， ， 运 用nRqnMnARQnmq拉 格 朗 日 乘 子 定 理 于 式 (1-13)和 (1-15)， 则 存 在 拉 格 朗 日 乘 子 矢 量 ，R对 于 任 意 的 应 满 足 ：q(1-19)0 qqqQMTATqTA 由 此 得 到 运 动 方 程 的 拉 格 朗 日 乘 子 形 式 ：
8、(1-20)ATqQ式 (1-20)还 必 须 满 足 式 (1-10)、 (1-12)和 (1-14)表 示 的 位 置 约 束 方 程 、 速 度 约束 方 程 及 加 速 度 约 束 方 程 ， 如 下 ：(1-21)0),(tq， (1-22),(tq ),(tq， (1-23),(,(tttqt2以 上 三 式 其 维 数 同 式 (1-14)。式 (1-20)、 (1-21)、 (1-22)和 (1-23)组 成 约 束 机 械 系 统 的 完 整 的 运 动 方 程 。4将 式 (1-20)与 (1-23)联 立 表 示 为 矩 阵 形 式 ：(1-24)AqTQM0式 (1-2
9、4)即 为 多 体 系 统 动 力 学 中 最 重 要 的 动 力 学 运 动 方 程 ， 式 (1-24)还 必 须满 足 式 (1-22)和 (1-23)。 它 是 一 个 微 分 代 数 方 程 组 ， 不 同 于 单 纯 的 常 微分 方 程 组 问 题 ， 其 求 解 关 键 在 于 避 免 积 分 过 程 中 的 违 约 现 象 ， 此 外 ， 还 要 注意 DAE 问 题 的 刚 性 问 题 。如 果 系 统 质 量 矩 阵 是 正 定 的 ， 并 且 约 束 独 立 ， 那 么 运 动 方 程 就 有 唯 一 解 。实 际 中 的 系 统 质 量 矩 阵 通 常 是 正 定 的
10、 ， 只 要 保 证 约 束 是 独 立 的 ， 运 动 方 程 就会 有 解 。在 实 际 数 值 迭 代 求 解 过 程 中 ， 需 要 给 定 初 始 条 件 ， 包 括 位 置 初 始 条 件和 速 度 初 始 条 件 。 此 时 ， 如 果 要 使 运 动 方 程 有 解 ， 还 需 要 满 足 初)(0tq)(0tq值 相 容 条 件 ， 也 就 是 要 使 位 置 初 始 条 件 满 足 位 置 约 束 方 程 ， 速 度 初 始 条 件 满足 速 度 约 束 方 程 。 对 于 由 式 (1-24)及 (1-21)、 (1-22)确 定 的 系 统 动 力 学 方 程 ，初 值
11、 相 容 条 件 为 ：(1-25)0),(0tq(1-26)0),()(),() 00 tqtttq1.3 正 向 动 力 学 分 析 、 逆 向 动 力 学 分 析 与 静 平 衡 分 析对 于 一 个 确 定 的 约 束 多 体 系 统 ， 其 动 力 学 分 析 不 同 于 运 动 学 分 析 ， 并 不需 要 系 统 约 束 方 程 的 维 数 等 于 系 统 广 义 坐 标 的 维 数 ， 。 在 给 定 外mnm力 的 作 用 下 ， 从 初 始 的 位 置 和 速 度 ， 求 解 满 足 位 置 约 束 式 (1-22)及 速 度 约 束式 (1-23)的 运 动 方 程 式
12、(1-24)， 就 可 得 到 系 统 的 加 速 度 和 相 应 的 速 度 、 位 置 响应 ， 以 及 代 表 约 束 反 力 的 拉 格 朗 日 乘 子 ， 这 种 已 知 外 力 求 运 动 及 约 束 反 力 的动 力 学 分 析 ， 称 为 正 向 动 力 学 分 析 。如 果 约 束 多 体 系 统 约 束 方 程 的 维 数 与 系 统 广 义 坐 标 的 维 数 相 等 ，mn， 也 就 是 对 系 统 施 加 与 系 统 自 由 度 相 等 的 驱 动 约 束 ， 那 么 该 系 统 在 运 动nm学 上 就 被 完 全 确 定 ， 由 2.2.3 节 的 约 束 方 程
13、 、 速 度 方 程 和 加 速 度 方 程 可 求 解系 统 运 动 。 在 此 情 况 下 ， 雅 可 比 矩 阵 是 非 奇 异 方 阵 ， 即 ：5(1-27)0),(tq展 开 式 (1-24)的 运 动 方 程 ， 为 ：(1-28)ATqQM(1-29)由 式 (1-29)可 解 得 ， 再 由 式 (1-28)可 求 得 ， 拉 格 朗 日 乘 子 就 唯 一 地 确 定q 了 作 用 在 系 统 上 的 约 束 力 和 力 矩 （ 主 要 存 在 于 运 动 副 中 ） 。 这 种 由 确 定 的 运动 求 系 统 约 束 反 力 的 动 力 学 分 析 就 是 逆 向 动
14、力 学 分 析 。如 果 一 个 系 统 在 外 力 作 用 下 保 持 静 止 状 态 ， 也 就 是 说 ， 如 果 ：(1-30)0q那 么 ， 就 说 该 系 统 处 于 平 衡 状 态 。 将 式 (1-30)代 入 运 动 方 程 式 (1-20)， 得 到平 衡 方 程 ：(1-31)ATqQ由 平 衡 方 程 式 (1-21)及 约 束 方 程 式 (1-13)可 求 出 状 态 和 拉 格 朗 日 乘 子q。 这 种 求 系 统 的 平 衡 状 态 及 在 平 衡 状 态 下 的 约 束 反 力 的 动 力 学 分 析 称 为（ 静 ） 平 衡 分 析 。1.4 约 束 反
15、力对 于 约 束 机 械 系 统 中 的 构 件 ， 设 其 与 系 统 中 某 构 件 存 在 运 动 学 约 束i j或 驱 动 约 束 ， 约 束 编 号 为 。 除 连 体 坐 标 系 外 ， 再 在 构 件 上 以 某 点kyoxi为 原 点 建 立 一 个 新 的 固 定 于 构 件 上 的 坐 标 系 ， 称 为 运 动 副 坐 标 系 ，P P设 从 坐 标 系 到 坐 标 系 的 变 换 矩 阵 为 ， 从 坐 标 系 到 坐 标 系yxyoxiCyox的 变 换 矩 阵 为 ， 则 可 导 出 由 约 束 产 生 的 反 作 用 力 和 力 矩 分 别 为 ：xoyiAk(
16、1-32)Triki iAF(1-33)kkriTPii iiBs)(以 上 两 式 中 ， 为 约 束 对 应 的 拉 格 朗 日 乘 子 ， 反 作 用 力 和 力 矩 均kkiFkiT6为 运 动 副 坐 标 系 中 的 量 。yPx2 弹性系统动力学由于工业机器人、机械手、弹性联动装置、带柔性附件人造卫星、直升飞机的旋翼等工程结构发展的需求， 使运动中的弹性结构的动力学分析得到了很大的进展。运动弹性体的动力学分析属于多体系统动力学的范畴。而导出其有限元格式的动力学方程并研究其数值解法则是计算多体系统动力学的任务。由于弹性变形与刚体运动的耦合导致了运动弹性体的动力学方程为时变的或非线性的
17、，因此运动中的弹性体会出现诸多非线性效应。运动中弹性体的动力分析问题可分为两类, 其一是具有给定刚体运动的弹性体的动力分析，这类问题仅讨论弹性体的刚体运动对其弹性变形的影响，比如机械手的弹性终端杆的振动分析一般可归于此类。第二类问题是多体系统中之刚体运动与其中的弹性体的弹性变形的相互耦合的动力分析, 在这类问题中, 弹性体的变形会受到系统刚体运动的影响， 反之弹性体的变形也会影响系统的刚体运动。下面采用运动参考系方法并用 Jourdain 动力学普遍方程导出了具有空间一般运动的弹性体之通用的有限元动力学方程，其最大的优点在于推导简单并适用于各类结构及各种单元形式。对系统的动力学方程的数值求解,
18、 一般可以采用直接积分法。下面给出了对时变的运动弹性的动力学方程的 Neumann 级数2 直接积分解法, 该方法可以在保证计算精度的前提下很大程度地节省机时。图 2-17图 2-1 所示为一运动的弹性体 ，选用两个坐标系来定义弹性体 的刚体BB运动与弹性变形:静系 ， 简记 系; 原点在 上的 点, 固连于 上321oxB1o的动系 ，简记为 系。 的刚体移动由 点对于 点的矢量 ，定3211ox1 11or义 的空间转动则用 系对 系的转动来定义, 而 内任意点 的弹性变形则用B P在 系内的弹性变形位移矢量 来表示。1ou由图可见 发生弹性变形后, 其上任意一点 对 系的位置矢量可以表示
19、为:o（2-1）uopr1而（2-2）ru其中 是 未产生弹性变形时 点在 系中的位置矢量， 则表示 点的弹性变rBP1ouP形位移矢量。把(2-2) 式代入(2-1) 式并向 系投影, 且采用矩阵形式表示为:（2-3）111 oooprAr其中 和 分别表示 和 向 系的投影列阵； 表示 系向 系转opr1 1o 1oA1o移的方向余弦矩阵。把(3-3) 式中 的用有限元的格式，表达为:u（2-4）No1其中 为单元形函数矩阵， 为 点所在单元的有限元结点位移列阵。把(2-NP4) 式代入 (2-3)式, 并利用公式 :（2-5）11ooA其中 是 系相对于 系转动角速度在 系上投影的斜对称
20、阵。1o由(2-3) 式对时间分别求一次导数和二次导数可得 点的速度 和加速度Popv，进而可得到 点的虚速度 ， 于是 点邻域之微元体的 Jourdain 动力opaPopv学普遍方程可以写作:（2-6）0d1TopopavmfA8其中: 为弹性体在 点的质量密度； 是作用于 点微元体上的全部力在pmPfP系上的投影。1O对于 可利用常规有限元的格式将它写作:fAvop1T（2-7） CKFNfop TT1其中: 和 分别为单元刚度阵和单元阻力阵在 点的值; 为作用在 点KCPFP微元体上的外力在 系的列阵, 把求得的 点的虚速度和加速度以及(2-7) 式代1O入(2-6) 式, 并考虑到
21、中诸元素之独立性, 可得 点微元体的动力学方程为：（2-8）0dTT oppaVvmCKFN将(2-8) 式对单元积分便可得运动的弹性体的单元动力学方程:（2-9）eeee FKM式中:vNmMpedT dsoop CvNACd211TTds oooopeK vNmvBD 1111TTds oooopopeF vrAANmvrANvN dd 111111 TTT其中 ， ， 分别是常规有限元法中的单元阻力阵、刚度阵和外力向sCsKs9量, 而 ， ， 则分别是由于刚体运动与弹性变形的耦合而产生的附dCKdF加单元动力阻尼阵、动力刚度阵和动力力向量。而且由于它们的表达式中含有表示弹性体空间运动量
22、 和 ， 因此,通常这些动力附加项是时变的。当弹or1性体的刚体运动速度特别是转动速度较大时, 弹性体受到较大的惯性力作用, 会产生变形的耦合效应。例如转动的梁, 由于离心惯性力产生的轴向拉力会增大梁的抗弯刚度, 即所谓的“刚化效应” 。这时在(2-10) 式中的常规刚度阵 中sK需计入结构的几何刚度阵, 关于各类单元的几何刚度阵可参阅有关非线性有限元的书籍。而结构的几何刚度阵往往是未知内力的函数, 这时方程(2-9) 式就是一个非线性的动力方程。但对于简单的弹性体, 如梁, 由于刚体运动的惯性力产生的轴力容易求得, 这时的几何刚度阵就变为时变阵。本文只讨论几何刚度阵为时变阵的情况, 即方程(2-9)式为时变动力学方程时的数值解法。显然, 若弹性体没有刚体运动, 则方程(2-9)式退化为常规的有限单元动力学方程。把(2-9)式按常规有限元的组集方法进行组集, 便可得到对于运动弹性体的具有时变特性的、通用的有限元动力学方程:（2-10）FKCM
