1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2函数 f（x）的不可导点有哪些类型？（1）函数 f（x）在不连续点不可导如，符号函数 sgnx，在 x0 点不连续，在 x0 点不可导（2）函数 f（x）在连续点不可导有以下几种类型：左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数 f（x）|x| ，在点 x0 左、右可导，但左、右导数不相等左、右两侧至少有一侧不可导； .x,sinf, 001函 数例 如 0存 在 ， 即 左 可 导 . xlim0f左 导 数 不 存 在 ， 即 右 不 可 导 . 1 y右 导 数 0 左、右导数至少有一个是无限大 . x1lim lim0f左 导 数 ; 右 导
2、 数 时 ，在例 如 ， 32030 x320 x30 x 3函数 f(x)在点 可导，是否函数 f(x)在点 的某邻域内每一点都可导？0 0 .x,xf, 0一一一一一在点 0 可导， （当然在点 0 连续） ，事实上.x0,f,2一一 . 0lim, lili0lim020 一xxfxff x显然，函数 f（x）在任意点 x0 都不连续，即除点 0 外，函数 f（x）在任意点都不可导由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导4什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数 f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数 f（x）是
3、（a,b）内的可导函数如果函数 f（x）在闭区间a,b 内可导，且与 都存在，称函数 f（x）在闭区间a ，b上可导，此时称 f（x）为闭区间a ，bafb上的可导函数如果函数 f（x）在区间 I 可导，此时对每一个点 xI，都有惟一一个导数 与之对f应，这样按照函数的定义，在 I 上定义了一个新的函数，称为函数 f（x）在 I 上的导函数，记 即或作 .dy,fIx,fxflim0注意到，前面介绍的函数 f（ x）在点 处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个0函数，这是二者的根本区别函数 f（x）在点 的导数 与函数 f（x）在 I 上的I0f导函数 的关系是：导数 等于导函数 在点 处的
4、函数值，即0xf 0xf.|0x .| 0 一一一y有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数 f（x）在任一点 x 处的导数因此要求函数 f（x）在区间 I 上的导函数，只需要求出 f（x）在 I 上任一点 x 处的导数即可，而要求 f（x）在点 x 处的导数，只需把极限 求出来即可lim0例 1 求函数 yx 的导数思路启迪 在本题中，实际上是求函数 yf（x）的导函数的，只须把函数 f（x）在任一点 x 处的导数求出来即可规范解法 f（x）x
5、,f（xx）xx,x0 ，yf（xx）f（x）xxxx.1x.1limyli.0x0一例 2 求函数 .xy的 导 数3思路启迪 这里是求导函数的，可先求出 处的导数，再把 换成 x 即为所求0x0规范解法 .x,R0任 取.xxyxlimli|y ,xxx,f,f 2330 00202300 330 的 导 数 为即 得 函 数代用5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例 2，我们知道，若函数 f（x）在点 可导，则曲线 yf（x）在点0的切线存在，且切线的斜率 k 就是函数 f（x ）在点 处的导数 ,即0xf,P 00xf.k故函数 yf（x）在点 处的导数的几何意义是： 表示
6、曲线 yf（x）在点0x0xf处切线的斜率，即 0f,x0ftan因此，若函数 f（x）在点 处可导，则曲线 yf（x）在点 处0 00xfy,xP的切线方程是： 法线方程是0xy.fxfy1000 导数的物理意义，根据函数 f（x）的物理意义不同而不同如若当函数 f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x 表示时间） ，其导数 表示质点在时刻 x 的瞬时速度；xf当函数 f（x）表示质点的速度函数时，其导数 表示质点的瞬时加速度；当函数 f（x）xf表示电量函数时（x 表示时间） ，其导数 表示时刻 x 的瞬时电流强度等等例 1 求曲线 在点（1，1）处的切线方程与法线方程3xy思路启迪 按
7、照导数的几何意义，只要求出函数 在点 x1 处的导数即为该曲线3y在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程规范解法 1.x1|yk知 ， 所 求 切 线 的 斜 率 为根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 3.|xy因 此 k,3xy由 于 12112 于是所求的切线方程为 y13（x1）,即 3xy20.43,3.2 yxy一一例 2 求曲线 .xx3 直 线上 哪 些 点 的 切 线 平 行 于思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线 yf （x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数 yf（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等因此，只要找出函数yf （x
8、）与已知直线的斜率相等的点即可规范解法 .3xy的 导 数3， 函 数的 斜 率 k3x已 知 直 线 y 231.时 ， yx；时 ,当 得3设 2故所求的点是（1，1）和（1，1） 点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义6函数的可导性与连续性的关系是什么？ xf ylim在 点 x可 导 ， 即f设 函 数 y0 x由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当x0 时的无穷小量 ，.f一一.0xfliylimx00x 一即函数 yf（x）在点 x 处连续因此我们有：若函数 yf（x）在点 x 可导，则函数 yf （x）在点 x 必连续反之，不一定成立，即若函数 yf（
9、x）在点 x 处连续，但它在点 x 不一定可导例 函数 .,xf0规范解法 如图 3-3，f（x）在点 x0 连续，事实上：f（0）0.0x,0fxlimfli00x 一一故 f（x）在点 x0 连续但是，f（x）在点 x0 不可导（见 1 中的例 2） 由上面的讨论可知，函数 f（ x）在点 x 连续是函数 f（x）在点 x 可导的必要条件，但非充分条件即函数 f（x）在点 x 处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导7若函数 f（x）与 g（x）在点 都不可导，它们的和 H（x）f （x）+g（x）与积0G（x）f（x）g（x）在点 是否也不可导？不一定例如，函数 f（x） |x|
10、与 g（x）|x|在 x0 都不可导，但是，它们的和与积 H（x）f （x） +g（x）0 与在 x0 却都可导2gf8求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续） 例如，函数.0x0,1,1cosxf一在点 x0 的导数要应用导数的定义（2）求分段函数在分段点的导数例如，函数 .,0x11,xg;0,exf21求函数 f（x）在点 x0 的左、右导数，函数 g（x）在点 x0 与 x1 的左、右导数要应用导数的定义9导数有哪些基本公式和运算法则?在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出
11、了利用定义求函数的方法但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程 .，C0)1(一一证明：设 yf（x）C，.nx ylimxf ,12n y xxxf ,证 明 ： 设 yn为 正 整 数 .x 公 式 (2)0lim , x y10 x 1n2n12n n1n x0 注：以后可以证明，当 n 取任意实数时，这个公式仍然成立例 1 求 .x9规范解法 .x819公式 cosxsin)(3,y:设证 明,2xsincosxy ,2xsincos2in
12、.xcos2sinlmxcoslixylimsiny 000 .sinco)4(一请读者自己证明 .1a0,xl1g公 式 5a证明：设 ,loy xlna1eogx1logimx ylxogy11 ,xogg aa00a a xaaa 特别，当 ae 时，有公式（6） x1(ln)公式（7） 0)(a,证明：设 1),(a. y xxx ,axy1令 ，则tt),(1log xa又当t0 时，有 t0，于是 .alnelog)t(logim)t(lixalimata 110n ym)(yx0 x特别，当 ae 时，有.)8(x一例 2 求 .x3规范解法 .lnx3法则（1） 两个函数的和（
13、或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差） 即.vu均 可 导 .x、 vu,x证 明 ： 设 y vu xlim u x ylimvu. x y y,相 应 的 增 量 当 有 增 量 时 ， 有 000 用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形例 3 求下面函数的导数 .10xy)2(esin1374思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案规范解法 .excosxexsinxy)( 2334 4.)( 17102 2637法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加
14、上第一个函乘以第二个函数的导数即 .uvv证明：设 yuv，u（x） 、 （x）均可导，当 x 取增量x（x0）时，有相应的增量u、v、y，于是在 x 处.,xvuxvuy xvuxvuv .vu x vlimu xlim x yuv 于 是,xv0时 ， 于 是 当 x在 点 x可 导 ， 从 而 连 续由 于 000 .Cu0C时 ，是 常 数特 别 .Cu以 函 数 的 导 数 .即积 的 导 数 ， 等 于 常 数 乘的也 就 是 说 ， 常 数 与 函 数 对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数 u（x） ， 和 的乘vxw积的导数是： uvwvuw例 4 求函数 .yx
15、cosy的 导 数3思路启迪 该函数是由两个基本初等函数 与 cosx 的积所构成，而 与 cosx 的导数3x3x（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与 和 cosx 的求导公式，该题将迎刃而解3规范解法 由两个函数和积的求导法则得.xsincoxxcosy32 33例 5 设 .y,liy求3思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可 .sinlcolnsi3lililins2 2333 xxxxy 例 6 当 q与 Ox轴 相 切 .p三 次 抛 物 线 yp、 q满
16、 足 何 条 件 时 ， 3思路启迪 要使抛物线 0y， 须 使 该 点 满 足 ：在 某 点 与 Ox轴 相 切xy3 规范解法 .pxy,qpxy233求 得由 方 程 0()q1,须 满 足必切 ，要 使 此 曲 线 与 O轴 相 3.qp3式 得 ：将 (1)式 代 入 3()qpx两 端 平 方 ， 则,由 2式 得 22 .,02qp3一一法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方即： .0,2vuv.xvu vlimx xu ylim， 于 是 ：在 点 可 导 ， 从 而 连 续v,x因 为 u .xv uvxx . u 在 可 导 。,x证 明 ： 设 y 20 000 x )(例 7 设 .y,tany求思路启迪 注意到正切函数 tanx 是由正弦函数 sinx 与余弦函数 cosx 的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数（公式）我们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了规范解法 ,xcosinta.xsecoxcosinsisiity2221
