1、电磁学论文班级：13 物理（1）班姓名：李建民学号：20131040212复杂电路的计算天水师范学院，13 物理（1）班，李建民摘要 解决复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原则上它可以用来计算任何复杂电路中每一支电路中的电流，可是实际的电路计算常常并不需要计算每一支电路的电流，而只计算某一支路的电流，或某部分电路的等效电阻等。在解决这样的问题中，可运用基尔霍夫方程组导出的定理，可以简化计算。这些定理有等效电源定理、叠加定理、Y等效代换定理。关键词 复杂电路 基尔霍夫方程组等效电源定理、叠加定理、Y等效代换定理一、 定理的表述在此部分，我将所要引用的几个定理作以详细表述。（一）基尔霍夫方程
2、组。1、 基尔霍夫第一方程组。基尔霍夫第一方程组又称节点电流方程组，它的理论基础是恒定条件。我们规定：流向节点的电流前写负号，反之，流出节点的电流前写正号，则此节点处的代数和为 0。.0321I2、 基尔霍夫第二方程组。基尔霍夫第二方程组又称回路电压方程组，它的理论基础是恒定电场的环路定理。我们规定：在一个回路中预先确定一绕行方向，电势从高到低降落为正，从低到高降落为负，则沿回路环绕一周，电势降落代数和为 0。即： .0)(143221 RIrIRIr（二） 电压源与电流源 等效电源定理。1、电压源与电流源。一个实际电源可以看成是电动势为 内阻为 0 的理想电压源与内阻 的串联。当电源两端接上
3、外电阻 时，其上就有电流和电压。r R在理想情况下，r=0，不管外电阻如何，电源提供的电压总是恒定值 ，我们把这种电源叫恒压源（即理想电压源） 。在非理想情况下， ，这样的电源叫0r电压源，它相当于内阻 r 与恒压电源串联，如图 a我们也可以设想有一种理想电源，不管外电阻如何变化，它总是提供不变的电流 ， 相当于恒压源中的电动势。这种理想的电源叫做恒流源。一个电0I池串联很大的电阻，就近似于一个恒流源，因为它对外电阻所提供的电流基本上由电动势和所串联的大电阻决定，几乎于外电阻无关。在非理想情况下，这样的电源叫电流源，它相当于一定的内阻与恒流源并联，如图 b实际的电源既可以看成是电压源，也可以看
4、成是电流源，也就是说电压源与电流源可以等效。所谓等效就是对于同样的外电路来说，它们所产生的电压和电流都相同。在图 a 中的电压源提供的电流为 ,rRI在图 b 中的电流源提供的电流为 .0rI可以看出，当和rI0,0即电流源的 等于电压源的短路电流、电流源的内阻等于电压源的内阻时，两0I电源等效。2、等效电源定理。等效电压源定理又叫做戴维宁定理。表述为：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。同理，可得等效电流源定理，又叫诺尔顿定理。表述为：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的 等于两端短路流经两端点的电流，内阻等于
5、从0I网络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。（三）叠加定理叠加定理可表述为：若电源中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和。（四）Y等效代换定理在某些复杂电路中会遇到电路连接成 Y 型或型，如果我们要计算电路的等效电阻，是很复杂的。可是，如果把 Y 型连接代换成等效的型连接。或相反地把型连接等效代换成 Y 型连接，则可在电路的串并联的基础上简化计算。下面我们说明 Y 型电阻与型电阻之间的等效代换方法。所谓等效，就是指这两种电阻连接之间的代换仍保持电路中其余各部分的电流与电压不变，即要求 Y 型的三个端纽的电势 、 、 以及流过的电流 、 、
6、与型的三1U231I23I个端纽相同。如图：可以证明，从 Y 型连接到型连接，各个电阻之间的变换关系为： ,31212R,112123,21313R从型连接到 Y 型连接的逆变换关系为：由以上公式可以看出，当Y 型连接的三个电阻都等效时，与之等效的型连接的三个电阻也相等，并且等于 Y 型电阻的 3 倍；同理，当型连接的三个电阻都等效时，与之等效的 Y 型连接的三个电阻也相等，并且等于型电阻的 倍。31二、 定理的证明在此部分将只给出 Y等效代换定理的证明，因为对于基尔霍夫方程组和等效电源定理的证明在前面的表述部分已作了证明，在此不再详述；对于叠加原理将在下面的定理的应用部分以立体例题的形式作证
7、明，在此也不详细阐述；然而在此部分，我主要将 Y等效代换定理作以证明：电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起，另一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联结，又称为 Y 型联结，如图(a)所示。电阻的三角形联结:将三个电阻首尾相连，形成一个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连，就构成三角形联结，又称为型联结，如图(b)所示。 ,3121RR,31212,1213RR电阻的星形联结和电阻的三角形联结是一种电阻三端网络，电阻三端网络的特性是由端口电压电流关系来表征的，当两个电阻三端网络的电压电流关系完全相同时，称它们为等效的电阻三端网络。将电路中某个电阻三端网络用它的等效电阻三端
8、网络代替时，不会影响端口和电路其余部分的电压和电流。1.电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系 电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络，它有两个独立的端口电流和两个独立的端口电压。电阻三端网络的端口特性，可用联系这些电压和电流的两个代数方程来表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方法，推导出电阻星形联结和三角形联结网络的端口 VCR 方程。对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源 i1 和 i2。用 2b 方程求出端口电压 u1 和 u2 的表达式为： )(2132211 iRiu整理得到图 2 26对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源 i1 和 i2，将电流源与电阻的
9、并联单口等效变换为一个电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得到：将 i12 表达式代入上两式，得到 )132( )()(232132131 iRiui )( 12231232312132 iRiiuRii )( 12231232312132 iiiii )142( )()(3121332112 122331 iRiRu式(213)和(214)分别表示电阻星形联结和三角形联结网络的 VCR 方程。如果要求电阻星形联结和三角形联结等效，则要求（2-13）和（2-14）两个VCR 方程的对应系数分别相等，即：电阻三角形联结等效变换为电阻星形联结的公式为 型 三 电 阻 之 和端 两 电 阻
10、 之 积接 于iRi由式(215)可解得： ,31212R,112123电阻星形联结等效变换为电阻三角形联结的公式为 端 相 连 的 电 阻不 与型 电 阻 两 两 乘 积 之 和mnYRn)162( 31213231211 RR)52()()(31213212331231 RR)152()()(3121321233231 RR RR31321,21313R当 R1= R2= R3= RY 时，有 在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联结与电阻三角形联结网络的等效变换，可以简化电路分析。 三、 定理的应用在此部分将以例题的形式给出各个定理在解决实际同一问题中的应用，并且在各个定理之间形成对比，显示出哪个更适合解决相应的问题。例一：已知如图所示的电路中，电动势 ， ，内阻 ，V0.31.125.01r，电阻 ， ， ， ,求电路中电流的分0.12r0.1R0.525.43R94布。解：（一）基尔霍夫方程组解法：选择独立回路 ABCDEA，写出基尔霍夫第二方程组：；01312422 rIRIIr对于回路 AEDCA，有：；122131IIrI将上述两方程整理得： 12421321 RrIRI 1r带入数值即可解得：)21( 33121 RR
