1、6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数2010-08-19 16:30 杨爽 赵晓婷 高璞 译 人民邮电出版社 我要评论 (0) 字号：T | T综合评级：想读(0) 在读(0) 已读(7) 品书斋鉴(2) 已有 7 人发表书评 普林斯顿微积分读本阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第 6 章讲述如何求解微分问题。本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。AD： 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时间了),我们想要求的
2、导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1 及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f 和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2 及 g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积 h 的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即 h0(x)6=?5x4+2?24x7?14x6?4x3?3.说 h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取 f 的导数并用它和 g 相乘(不是 g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在
3、一起. 这就是法则：因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1?3x8?2x7?x4?3x,我们将 h 写成 f 和 g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g：现在,我们可以使用乘积法则并做一些交叉相乘. 你看,我们需要用左下方的 f0(x)和右上方的 g(x)相乘,然后用左上方的 f(x)和右下方的 g0(x)相乘,并将它们相加在一起. 这样我们得到你可以将这个结果乘开,但这会比将原始的函数 h 乘开然后求导还要糟. 就让它这样吧.还有另外一种方式来写乘积法则. 事实上, 有时候, 你必须处理 y = 用 x 表示?p
4、的项, 而不是 f(x) 的形式. 例如, 假设 y = x3+2x (3x+ x+1), dy=dx 是什?p 么呢？在这种情况下, 令 u = x3+2x 及 v = (3x+ x+1) 会更容易一些. 然后, 我们可以使用以上形式的乘积法则并作一些替换：首先, u 替换 f(x), 这样就使 du=dx 替换 f0(x); 对于 v 和 g(x) 我们做同样的操作, 会得到因此,在我们的例子中,我们有你想要求 dy=dx. 你可以将它乘开在求导, 或者你可以使用适用于三项的乘积法则：在我们完成本例之前,来看一个记住以上公式的小窍门吧：就是把 uvw 加三次,但对于每一项, 要将 d=dx
5、 放在不同的变量之前. (同样的诀窍适用于四个或多个变量 |每一个变量都要进行一次微分运算！)不管怎样,在我们的例子中,我们要令 u = x2+1, v = x2+3x 及 w = x5+2x4+7,这样, y 就是乘积 uvw. 我们有 du=dx=2x, dv=dx=2x+3 及 dw=dx=5x4+8x3.根据以上公式,我们有由于我们没有将以上 y 的原始表达式展开并化简,我当然不准备化简这个导数！然而, 我确实想说的是, 你不能总是将所有的一切都展开. 有时候你只需要使用乘积法则就行了. 例如, 当你在下一章学了如何对三角函数求导之后, 你就会想要能够使用乘积法则来求像 xsin(x)
6、 这样的导数了. 你真的不能将这个表达式展开 |它已经是展开的形式了. 因此, 如果你想要对它关于 x 求导, 没有什么简便的方法能够避免使用乘积法则.6.2.4 通过商法则求商函数的导数我们处理商的方式和处理乘积的方式类似, 只是法则稍有不同. 让我们说你想对关于 x 求导. 你可以令 f(x)=2x3?3x+1 及 g(x)=x5?8x3+2,然后, 将 h 写成 f 和 g 的商,或 h(x)=f(x)=g(x). 以下就是商法则：注意到, 除了正号变成了负号外, 等号右边分式的分子和乘积法则中的分子是一样的. 在我们的例子中,我们需要对 f 和 g 求导并将结果总结如下：我们的总结表如下：正如你看到的一样,商并不比乘积难多少 (就是有点乱).
