1、1高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导（）条件极值- 拉格朗日乘数法（）无条件极值（）曲面切平面、曲线切线（）隐函数（组）求导（）一阶偏导数、全微分计算（）方向导数、梯度计算（）重极限、累次极限计算（）函数定义域求法（）1. 多元复合函数高阶导数例 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 .),cos,(inyxefz xyz2及解 ，yxffx31 yxyxyx efyfeeffyz )sin(cos)sin( 33213122析 1）明确函数的结构(树形图 )这里 ，那么复合之后 是关于 的二元函数.根据结yxewvxu,cos
2、,sinzyx,构图，可以知道：对 的导数，有几条线通到“树梢”上的 ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是， “按线相乘，分线相加”.2） 是 的简写形式，它们与 的结31,f ),cos(in),cos,(in31 yxyxefe zzuvx2构相同，仍然是 的函数.所以 对 求导数为yxe,cosin1fy.yxeff1312)sin(所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.3）f 具有二阶连续偏导数，从而 连续，所以 .yxz2, yxz2练 1. 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 .),2(xyfz 2z2. 设 其
3、中 f 二阶可导， 具有二阶连续偏导数，),sin(2yxegfx g求 .yxz22. 多元函数极值例 1. 求函数 的极值.)2(e),(yxyxfy解 （1）求驻点.由 0e4)2(e),( ,yxyxyxf得两个驻点 ， ，)0,(24（2）求 的二阶偏导数yxf， ，)(e),(2xfx )42(e),(2yxyxfxy ，48yxyy（3）讨论驻点是否为极值点在 处，有 ， ， ， ，由极值的充分条件)0,(2A0BC082BA知 不是极值点， 不是函数的极值；),(f在 处，有 ， ， ， ，而),4(2e6282e10e42C，由极值的充分条件知 为极大值点， 是函数的极大值.
4、0A),4( 8),4(f析 1）这是二元函数无条件极值问题.32）解题步骤：第一步是求出驻点-一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导数；第三步求出驻点的判别式 ，判断是否为极值点以及极大极小.2BAC2. 将正数 12分成三个正数 之和 使得 为最大.zyx, zyxu23解：令 ，则)1(),(23zyxF.12,0,32zyxFzzx解得唯一驻点 ，故最大值为)2,46( .6943mau析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法-拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成.)12(ln2ln),( zyxzyxzyxF2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式 623
5、23427437 zzyxzyx.691方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.3. 求函数 在圆 上的最大值与最小值.2yxz)2()(2yx解 先求函数在圆内部可能的极值点.令 0,yzx解得点 ，而 .)0,(0),(z再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数，9)2()(),( 22 yxyxF.9)2()(,02yxyx解之得 ，而 .,52( 1)2,(,25),5zz4比较 三值可知，在圆)2,(),25(),0zz上函数最大值为 ，最小值为 .92(yx 5z0z析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2）
6、在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算.3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.练 1. 求 的极值.yxyxf 1253),(22. 证明函数 有无穷多个极大值，但无极小值.eecos)(3. 在椭球面 的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的122zbyax四面体的体积最小.4. 求抛物线 与直线 之间的距离.2xy0y3. 偏导数的几何应用例 1. 求曲面 平行于平面 的切平面方程.2132zyx 064zyx解 令 ，),(F曲面在点 处的法向量为zyx，)6,42(),(zyxFnzyx已知平面的法向量
7、为 ，而切平面与已知平面平行，所以 ，从而有)6,41 1/n， （1）2z又因为点在切面上，应满足曲面方程（2）2132zyx(1)、 （ 2）联立解得切点为 及 ，所以所求切平面方程为： ),1(),(，06zyx或 .)2()()( 5析 1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2） 法向量的求法:由曲面方程 得 . 如果曲面方程为 0),(zyxF),(zyxFn,那么 ,或 . 对应的法向量就为 )(yxfz),(fzyxF,f或 .1yxn )1,yxn3）注意不要把 写成 ，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将1/n得出错误结论.4）两个
8、平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2. 求曲线 ， 在点 处的切线及法平面方程.622zyx0zyx)1,2(P解 曲线方程为 ，0622zyx取 为自变量，则 和 看作 的函数，即 .那么曲线的切向量xyz )(),(xz.,1(xy方程组两边对 求导，得，062zy解得 .zyx,将点 代入，得切向量为)1,2(0P.)1,0(所以曲线在点 处的切线为),(0，1021zyx法平面为.)(z析 1）曲线方程为参数形式6),(,tzytx在点 处对应参数为 ，那么曲线在 处的切向量为),(00zyxP0t0P.)(,)(tzyx由直线的对称式（点向
9、式）方程可得切线方程为，)()()(000tztytx法平面方程为.0)()()( 0000 zttt2）若曲线方程是一般式(隐函数形式 )，,(zyxGF则，那么曲线在 处的切向量为0P.0, PyxzzyF由于此公式较为复杂，我们经常从 三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其x,函数例题中的解法就是如此.练 1. 设曲线 绕 轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点0,1232zyy指向外侧的单位法向量.)2,30(2. 求椭球面 上某点 处的切平面 的方程，使 过已知直线2132zyxM.126:L3. 在曲线 上求点，使该点处的切线平行于平面 .32,xzy 42zyx4. 求曲线
10、在点 处的切线方程.045,)1,(74. 隐函数(组) 导数例 1. 设 ，求 ， .0e2zxy xzy解 方程两端对 求偏导数，得即 = ；0e2)(exzyx xzzxye2方程两端对 求偏导数，得即 = .e)(eyzxy yzxye析 当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将 看成是三个自变量 ，),(Fx， 的函数，即 ， ， 处于同等地位. 方程两边对 求偏导数时， ， 是自变量，yzxzxxy是 ， 的函数，它们的地位是不同的.x2. 设 ，求 .01,22yvuyvxu,解 方程组两端对 求导，得x.,022yvx即 yvux,则 ， .yxu122 vuyxyxuv1
11、212同样方程组两端对 求导，得, .vuxy2vuxy2析 1) 方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.2) 大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.练 1. 设方程 确定隐函数 ，求 和 .xyzeyxfz,z2y2. 设函数 由方程 确定,求 和 .f, 0),(Fxz283. 设 ,而 是由方程 所确定的函数,其中 都具)(txfy),(yt 0),(tyxFFf,有一阶连续偏导数.求 .td4. 设 ，,其中 都具有一阶连续偏导数.求 ，和 .)(,2yvxugvf gf, yuv5. 偏导数及全微分例 1.
12、 设 ，求 ， .)2(lnyxzxzy解 ，x)()(l22y.z )()(ln32yxyx析 1) 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数.2) 也可利用多元复合函数求导公式求导.2. 已知 ，求 .)ln(e),(23sixyyxfxy)0,1(xf解 .于是 ， .0l3f0,3析 1) 此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法.2) 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求.3. 设 ，求)ln(2yxz1dxyz解 设 ，则 ，u2uln所以 ， ，d12zxxd12zuyy从而 = 1xyz11xxyy练 1. 设 ，求 .0,0
13、,),(22yxxf (,)0,xyff2. 求 在点 处的全微分.yzcosln)41(93. 求 的全微分.2sinzuxye4. 证明函数 0,0,1sin)(),( 222 yxyf在点 连续且偏导数存在，但偏导数在 不连续，而 在 可微)0,( )0,(f),(6. 方向导数级梯度例 求 在 的梯度及沿 方向的方向导数.32yzxu)1,2(0P)1,2(l解 ,kzujigrad而 232, yxyux故 ,kzujigrad kyzjxi232)(则在 处的梯度为 .)1,2(0Pkji5grad又 ,故其方向余弦为l,31cos,2s,3cos所以 沿 方向的方向导数为l.38
14、cosscosgrad0 zuyxululP析 1) 熟悉方向导数和梯度概念及求法.2) 需要注意的是只有在才可用 求方向导数.如分cosscoszuyxul 段函数在分界点常用定义求出方向导数.练 设函数 0,0,),( 22yxyxyf10求函数在点 处沿方向 的方向导数)0,()cos,(7. 二重极限及累次极限例 1. 讨论 的收敛性.20limyxy解 令 ,k20liyxy20limxkx,12其值随 的不同而变化，故极限不存在k2. .li)sin(l)sin(lm)sin(l 20202020 yxxyxyyxy练 1. 讨论二元函数 yxf2),(在点 的二重极限及两个二次极限.)0,(2. 讨论函数 0,0,),( 224yxyxf在点 的连续性.)0,(
