1、一.如何求函数的偏导数?偏导数的求解实质是一元函数的求导, 关于某个变量求偏导数 , 将这个变量视为真正的变量, 其它变量视为”常数”, 如设 , 求 时, 将 视为变量, 视为”常数”, 关于 求导. )(zyxfuxuzyx二.求多元复合函数的偏导数, 关键是什么?对于多元复合函数的求偏导数问题, 关键在于分清楚函数之间的复合关系, 弄清那些变量是中间变量, 哪些是最终自变量. 为此可画出函数关系图(路径图), 使变量之间的关系一目了然, 这样利用链法求偏导数时不至于遗漏.三.重积分和定积分有何关系?重积分概念是定积分概念的推广和发展. 定积分概念中讨论的是一元函数, 而二,三重积分中讨论
2、的分别是二,三元函数. 将定积分的被积函数 推广为二元函数 或三元函数 , 将积)(xf ),(yxf )(zyxf分区间 上长度元素 推广为平面区域 的面积元素 或空间立体 的体积元素 ba,dxDd, 就得到了二重积分或三重积分的概念.dV重积分与定积分在定义的结构形式上完全一致, 他们都是”和式的极限”.四.计算重积分, 关键是什么?计算重积分, 关键在于如何选择适当的坐标系及如何选择积分次序.对于二重积分, 当积分区域为圆域,圆环域或扇形时, 常用极坐标系; 其它情形常用直角坐标系.对于三重积分, 当积分区域为球形区域或环形区域与圆锥所围时, 常用球面坐标系; 当积分区域在某坐标面上投
3、影为圆时, 常用柱面坐标系.选择积分次序时, 对于极坐标系 ,球坐标系,柱坐标系一般相对固定 , 而直角坐标系一般是变化的. 选择积分次序的原则有两个, 其一是能够计算出重积分值, 其二是计算量尽可能少(如尽可能不分割积分区域进行积分).另外, 计算重积分时, 要充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性, 简化定积分的计算.五.第一类曲线积分计算的本质是什么? 应注意什么问题?第一类曲线积分计算的本质是将曲线积分化为定积分. 将曲线积分化为定积分时, 应注意两点:1. 根据所给的曲线, 选择适当的参变量作为积分变量, 以便简化计算.2. 确定定积分的上,下限时, 要注意上限一定大于下限.六.
4、格林公式有什么作用? 应用时应注意什么问题?对于第二类积分曲线, 当积分曲线为封闭曲线 , 或者积分曲线虽不是封闭曲线 , 但添补一直线段能成为封闭曲线的, 常用格林公式计算. 这样计算往往可以达到简化计算的目的.应用格林公式 时, 应注意以下两点:dxyQdyPxPLDx)(1. 为封闭的正向闭曲线.2. 在 上有一阶连续偏导数.,七.第一类曲面积分计算的本质是什么? 应注意什么问题?第一类曲面积分计算的本质是将曲面积分化为二重积分. 将曲面积分化为二重积分时,应注意两点:1. 曲面 的方程必须时单值函数, 否则应将 按单值分支的图形分片计算.2. 将曲面 向某坐标投影时, 投影后的积分区域
5、计算要简便.八.为什么要将函数展成幂级数?多项式是最简单的非周期函数类, 若一个函数 可以展开为幂级数, 则在展开式的收敛区间内可)(xf以用它的部分和多项式来近似原来较复杂的函数 , 这在理论和应用上都具有重要意义.九.为什么要将函数展开成傅立叶级数?周期函数反映了客观世界中的周期运动. 为了深入研究周期函数, 有时需要将它展开成由最简单的周期函数 三角函数组成的级数, 即展开成傅立叶级数 . 从工程技术的角度讲, 就是把一个复杂的周期运动分解成许多不同频率的简谐振动的叠加来研究.十.如何用微分方程解决实际问题?在建立微分方程时, 首先要从具体问题出发, 分析什么是未知量, 什么是已知量,
6、然后去寻求未知变量的导数(或微分) 与未知变量及已知量的关系, 建立微分方程 . 再由题意确定定解条件, 求出方程的特解, 从而得到实际问题的答案.例题解析一. 假设 与 均为二阶可导函数 , , 试求 所满足的不含 和 的二阶fg)(xygfzyzfg微分方程.解: yfxz1xgfy22221yfxz2342 xgffy由此得:fyzx222fxy故有: 22xzyzx二. 设 是可微函数, 且满足:0),(2sin)5()xugfyy求 及 的表达式.)(,xgf),(yu解: xfu2sin20)5()5(),( ygyxyx0 fy用 替换 , 得2)1(0)(xgf 2sin)(由
7、 两边对 求导, 得2x)3(cos)(gf由 得 3),1(xf21即 Csin)(xfgi)(21yyxyu5cosin)52in()(),(1三. 设四边形各边长一定, 分别为 , 问何时四边形面积最大?dba,解: 如下图所示, 设四角为 , adc于是四边形面积 sinsi2121cdabS其中 满足: , cos2o2d令 )cs(sini 22 abcdabF由 0F得 )3(0cos2cos220ins 122 dabdc由 可得: )(,1tt即 或 (舍去)故 由此可知 由实际问题可知 确有最大值, 故当四边形的两角之和为 时, 最大.S S四. 设 , 试证明不等式: 1
8、:2yxD52)(sin6532dxyD证明: ddxyID2sin)(si!5)(10!3)(103223因被积函数是莱布尼兹级数,故有 I1041010!342)(由于 1651010!34)(2d52因此 16I五.设曲线 是球面 与平面 的交线, 试求 .T122zyx 1zyx dsyxT)(2解: 由对称性得.TTTTds dszyxszyxdsI321 223132 )()()(易知 是一个圆(如下图所示), 其内接正三角形的边长为 , 可求得 对应圆的半径 2T3260sin/r故 964I六. 在 时到 时的什么时间内, 一个时钟的分针恰好与时针重合?13解: 将圆周角 等份
9、, 设每份为 个单位, 又设 (分钟 )时刻分针和时针分别位于 和 处. 由于601t )(tx)(ty初始时间为 时, 而分针与时针的速度分别为 (单位/分钟)与 (单位/分钟), 故有6050)(xdt5)(12ydt解得: 5,12tytx令 , 得12(分钟)60t分 秒57故分针恰好与时针重合的时间约为 分 秒.527七. 判别级数 是否收敛? 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?12tan)(n解: )2(0tan)(ta22易知 单调减少且 , 故级数收敛( 莱布尼兹判别法).nta2 02limnn又 nnn212ta2且 发散, 因此 发散.1n |ta)(|1n因此原级数条件
10、收敛.思 考 题1. 设变换 可把方程 : 简化为 , 求常数 (设 具有连续ayxvu20622yzxz 02vuzaz二阶偏导数). 答案: 32. 求 在 上有连续二阶导数, 且二元函数 满足 )(tf,1 1)(,)1(ff )()(22yxfz, 求 在 上的最大值.02yzx)(tf,1答案: e/13. 设 在 上连续, 且设 , 求 .)(f10)(Adxf10),(xdyf答案: 2/A4. 设 是正的连续函数, 证明 .)(xf baba adxfxf 2)()1)(5. 求 在 内具有一阶连续导数, 是上半平面( )内的有向光滑曲线, 其起点为 , f, L0yba终点为
11、 , 设 dc dyxfdyxfIL22 1)(1(1) 证明曲线积分 与路径 无关.I(2) 当 时, 求 值. 答案: cab dcba/6. 设流体的流速 , 为半球面 , 求流体流向 外侧的流量. kzjyxiv)2(21yxz答案: 3/27. 求级数 的和. 答案: 02)1()nn 27/8. 设正项数列 单调减少, 且 发散, 证明级数 收敛.na1)(nnanna19. 设 , 其中 为连续函数, 求 .xdte0)()(x)(x答案: 2sicoxe10. 一个半球体状的雪堆, 其体积融化的速率与半球面面积 成正比, 比率常数 , 假设在融化过程中雪S0k堆始终保持半球形状, 已知半径为 的雪堆在开始融化的 小时内, 融化了其体积的 , 问雪堆全部融0r38/7化要多少小时? 答案: 小时6
