1、定积分的应用（一）平面图形的面积1求曲线 与直线 所围成的平面 图形的面积.（1990 年）2yx2yx【解答】 219()Sd2已知曲线 与 在点 处有公共切线如图， （1）yax,0lnyx0(,)y求 的值与切点坐标；（2）两曲线与 轴所围成的平面图形的面积aS.(1994 年)【解答】在该点既相交又相切（纵坐标相等；斜率相等）(1)由题 意知 得 .00ln()()xxay0012axA解得 即有 ，切点为 ；01,lnax1ae(,)e（2）选取 作为积分变量，则有 .y 212201()6yeSd3在曲线 上某点 A 作一切线，使之与曲 线以及 轴所围2,0x x成的平面图形的面积
2、为 试求（1）切点坐标；（2）过切点 A 的切线方,程.（1988 年）【解答】切点坐标为（1，1），切线方程为 1.yx4设曲线 与两坐标轴 所围成的平面区域被曲2:1,01Lyx线 分为面积相等的两部分，其中 为大于零的常数，试确22:a a定常数 的值.（1991 年）【解答】 ， 则有120()aSxd12120()SxdS2 335.设曲线 ，试在曲线上找一点使过该点的切线与两坐标轴,0xye所围成的平面区域面积最大，并求出该面积.（1992 年）【解答】设切点为 ，则过该点的切线斜率为 ，切线方程为(,)aPe ae；切线与两坐标轴分别交于 和 ；ayex (0,1)(,0)从而求
3、得 ，求得驻点为 1，1（舍去）.21()aSe()S所求点为 ，面积为,1.6设 是 上的任一非负连续函数,()yfx0(1)证明存在 使得在 上以 为高的矩形面积等于 上1,()f,1以 为曲边的曲边梯形的面积;()yfx(2)若 在 内可导且 ,证明 是唯一的.f(0,1)2()()fxfx（1998 年数一 6 分) 难度 0.28,区分度 0.43(II)【考查知识点】(1)根据 题目描述的几何意义,列出欲求的 应满足的式子; 1()()ffxd(2)列出 ,并验证它所满足的罗尔定理的条件；1()xFf（本题核心)(3)证明 的单调性,从而证明满足 =0 的 的唯一性.() ()Fx
4、提示: 要证 , 设1()ffxd1()xfd以微分中值定理作为解题主要理论依据的题在考研中经常出现,本题也属此类,但以积分形式出现,有新意.7. 设曲线极坐标方程 为 ，则该曲线上相应于 从 0 变到(0)ae的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .2 41()ae（2003 年数学二填空）【分析】在极坐标系下，由曲线 ，直线 及 所围成的平()r面图形的面积为 ，于是有 .21()rd201()aAed201aed8（ 位于曲线 下方， 轴上方的无界图形的面积0)xyex是 1.（2002 年数学二填空）【分析】这是无穷区间上的广义积分的几何应用题，所求面积用广义积分表示为 ；本题难度值为
5、0.80，区分度为 0.45，属于第 V0xed类试题.9(2001 年数学二)设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 到(,)0Pxy坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在 轴上的截距,且 L 过点 .y1(,)2(1)求曲 线 L 的方程;(2)求 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小.【分析】第一问显然是解微分方程的定解问题,其中关键是列出微分方程 ;第二问是最值问题,关键是写出图形面积的表达式.2xyx本题得分率较低,一个主要的错误是对截距的理解,写成了 ,这样yx往下就不好做了.本题难度值为 0.35,区分度为 0.55,属于 V 类.10设 S
6、 表示夹在 x 轴与曲线 之间的面积,对2,0(),xeF ()yFx于任意的 t 0, 表示矩形 的面积.1()t ,0ttt求 的表达式与最小值.(2004 年数学四)1()()Stt【分析】画出 S, 的 图形，然后建立它们的表达式：S矩形面积 ，计算 S=1 要用到无穷积分，建立 的21()tte 1()()Stt表达式；（这就考察了考生能否把一个实际问题转化为数学问题的综合能力）最后应用函数导数与函数极值的关系定理求出 S 的最小值.（在计算过程中考察了考生对无穷积分敛散性的概念是否理解及计算无穷积分的能力，同时也考察了考生是否会求函数的最小值.）【解答】(I) , 21()tSte
7、2()1,(0)tSe(II) 是唯一驻点2()tt可知， 为极小值。或110,0;,()02tStSt1,2t()St为 极小值也是最小值.24()8)ttee (e11已知抛物线 （其中 ）在第一象限内与直线2ypxq0,pq相切，且此抛物线与 轴所围成的平面图形的面积为 S.问5xy和 为何值时，S 达到最大 值？求出此最大值.（2001 年数学三）pq【分析】这是一道综合了微分与积分等概念的题目.利用定积分求出 S的面积 ，再利用抛物线与直线相切的条件，确定 和 的关系，(,) pq从而将求 的极值化为一元函数极值问题.,Spq本题难度值为 0.54，区分度为 0.55，属于第 V 类
8、试题.【解答】依题意知，抛物线如图所示，求得它与 轴的交点横坐标为x面积120,qxp20()qpSxd32.6qp因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组得 ，其判别式必等于零，因而有25,xypq2(1)5xq.1()0从而得到 解得驻点320(1)qS320()()1qS3.q当 时， 当 时，03q;.于是当 时， 取得极大值，即最大 值 .()q此时 ，从而最大 值为45p25.3S（二）平面曲线的弧长1.设位于第一象限的曲线 过点 ,其上任一点 处的()yfx21()(,)Pxy法线与 y 轴 的交点为 Q, 且线段 PQ 被 x 轴 平分.(1)求曲 线 的方程;()fx
9、(2)已知曲 线 在 上的弧长为 ,试用 表示曲线 的弧siny0,ll()yfx长 s.(2003 年数学二)【分析】本题是微分方程与定积分几何应用题,涉及内容有曲线的法线,一阶微分方程求解,定积分几何应用等.根据已知条件求出曲线的方程以及用定积分表示曲线 在 上的弧长都是基()yfx sinyx0,本要求.但由于 是椭圆位于第一象限的部分,其弧长以及()yfx在 上的弧长 都是算不出来的,故需通过定积分的换元法sinyx0,l找到 与 s 之间的关系.l主要错误是没有弄明白第二问的题意,不写出 的表达2201coslxd式,便试图从 找出与 的关系,当然就无从下手了. 2201sinsdl
10、【解答】（1）曲线 在点 处的法线方程为 ，()yfx(,)Py1()YyXx其中 为法线上任意一点的坐标.令 X=0,则 ，故 Q 点(,)XY xy的坐标为 .由 题设知 ，即 ，积分(0,)xy 0xy20.dx得 （C 为任意常数） .曲线过点 ，因此可得 C=1,故曲2x1(,)线的方程为 .21y（2）曲线 在 上的弧长为 ；sinx0,2201coslxd曲线 的参数方程为iycos,in2xy故 .2201sincosd 201sid作变量代换 ，则 .t220cot4l2. (2001 年数学二)设 是抛物线 上任一点()xyx处的曲率半径, 是该抛物线上介于点 A(1,1)
11、与(,)1MxysM 之间的弧 长,计算 的值.(在直角坐标系下曲率公式为223()d)32(1yk【分析】曲率半径 与弧长 都是 x 的函数，所以求 与()x()sds即是参数方程求导.2ds【解答】由 31,24yxx所以抛物线在点 处的曲率半径 (,)My()x1k32()y；321(4)x抛物线上 的弧长为 .A()sx21ydx14dx由参数方程求导公式得 ； ；dsx62s()dx61从而 9.223()ds本题得分率只有 40%,究其原因是不少考生没有弄清题意,不知道求什么;其次,虽然给出曲率的一般公式(目的是减少考生背公式的数量)但仍然有不少考生不知道曲率半径为曲率的倒数,从而
12、无从下手解题.本题难度为 0.51,区分度为 0.57,属于 V 类试题.3设曲线 L 的极坐标 方程为 ， 为 L 上任意一点，()r,)Mr为 L 上一定点.若极径 与曲线 L 所围的曲边扇形面0(2,)M0O积等于 L 上 两点间弧长值的一半，求曲线方程.（1997 年数学二）0,（三）旋转体的体积1（平面图形 A 由 及 所确定,求 A 绕 旋转一周的2xyx2x旋转体体积.(1993 年数学二,9 分)2（求由曲线 与 轴所围成的封闭图形绕 旋转一周的231yx 3y旋转体体积.(1994 年数学二,9 分)（四）综合题目1 过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成lnyx
13、lnyx平面图形 D,求 D 的面积 A;求 D 绕 旋转一周所得旋转体的体积xeV.(2003 年数学一)【分析】本题考察切线方程的求法；平面图形的面积；旋转体的体积等基础知识，比较容易.【解答】设切点为 ，切线斜率为 ，0(,ln)x01yx切线方程为 .001l()y以(x,y)=(0,0)代入得 .于是切点为 ，切 线方程为 .0xe(,1)exey（1（ 面积 1()yAd.2（2（ 体积 1200()yVeed25(13)6e【典型错误】本题第一问的解答情况很好，绝大多数考生都能够得到正确的面积值.只有少数考生将面积写成 ；10()yAed第二问的考试结果比预想的要差，从解答情况上
14、看，旋转轴不是坐标轴并不是出错的主要原因，错误多数是因为用错了体积公式，如将公式写成 ，或 120()yVed120()()yVeed这说明有些考生仍然只是死记公式，并不了解公式的来历，从而也没有真正理解公式中各部分的意义.2. 求曲线 ，与直 线 以及 轴所围成的平面图形2yx1,3xx面积为 S,并求 该平面图 形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积 V.(1997y年数学四)s=2;3 (2004 年数学二)曲线 与直线 及 围成2xey0,()xt0y一曲线梯形, 该曲线梯形绕 轴旋转一周得一旋转体,其体积为 ,()Vt侧面积为 ,在 处的底面积为 .(I)求 的值;(II) 计算极限()S
15、txt()Ft()StVlim.()tF【分析】分别写出旋转体的体积,侧面积以及底面积, 不必积分, 便可求 及计算()StV()li.tSF（I） ,20()1tydx 20()xted=2. 20()xteV()StV(II) 2()xtFty2()xe()limtF202()lixtttted1limttte考查 知识点 求解旋转体的体积,侧面积,底面积即定积分在几何上的应用部分内容,主要错误是有一些考生对旋转体体积,侧面积的公式的来龙去脉不了解,死记硬背,因而常常会出现错误.设直线 与抛物线 所围成的平面图形面积为 ,它们与直线yax2yx1S所围成的平面图形面积为 ，且 ，（1）试求
16、 的值使 达1x 2Saa12到最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋x转体的体积.（？）3.有一平底容器,其内侧壁是由曲线 绕 y 轴旋转一周而()0)xy成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为 2m.根据设计要求当以的速率向容器内注入液体时,液面的面积以 的速率3/min 2/min均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)(1) 根据 t 时 刻液面的面 积,写出 与 t 之间的关系;()y(2) 求曲 线 的方程.()xy本题为综合性应用题,为了给学生提供解题思路,设计了台阶即第一问,因而降低了难度;建立旋转体体积和 ,从而得到 与 t 之间的关系,()y()y然后通过对求导得到微分方程.法 2:根据液体体积的变化用微元法直接建立微分方程.最后解微分方程即得到曲线 的方程.()xy
