1、课 型 新 授课题 7.4 定积分的应用课 时 2教学目标1、巩固定积分的几何意义及计算；2、掌握用定积分求直角坐标系下平面图形的面积的方法；3、综合运用知识分析解决问题，培养学生思维能力和应用数学意识。 教 学重 点难 点重点：应用定积分解决平面图形的面积，体会定积分的价值。难点：如何选择积分变量，确定被积函数。教 学方 法讲练法，行为引导法，讨论分析法，分层教学法。教 学 程 序 师 生 活 动 设计意图教学过程情景导入复习提问展示周庄的拱桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】拱桥图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向
2、定积分跟面积的关系1、定积分的概念、几何意义是什么？.2、定积分的计算方法有哪些？ 【学生训练】练习一计算 计算 dx224设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。复习定积分的几何意义及计算，培教学过程新课讲授2sindx【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. 22214dx0yx0sind【问题探究】（一）、探究由曲线所围平面图形的面积a b XA0y【学生活动】思考、探究、讨论【课件展示】 展示结论养学生复习的学习习惯。复习定积分的几何意义培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。巩固了学生教学过程新课讲授【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过
3、实践来检验。【例题实践】例 计算由曲线 与2xy所围图形的面积xy2【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形-画图得到曲 边形.2.曲边形面积解法-转 化为曲边梯形，做出辅助线 3.定积分表示曲边梯形面积-确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书主要分析过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组 得到交点横坐标为2xy及0x1曲边梯形 OABC 曲边梯形ssOABD的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突出了教学重点。xyOABCD2xy11-1-1教学过程新课讲授dx101
4、0210310233【巩固练习】练习 3求下列曲线围成的图形1.y=ex, y=e, x=0 2.y=x3, y=2x【问题探究】（二）、定积分表示曲边梯形面积的两种形式练习2用定积分表示阴影部分面积图1 图2【学生活动】回忆并口答图 1 的答案；引导学生由 x 为积分变量的定积分类型来发现以 y 为积分变量的另一种定积分类型。【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型. 【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】图 1 选择 X 为积分变量，曲边梯形面积为培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学xyNMO a bAB
5、CD)(1xf)(2fyxyNMOabA BCD)(1yf)(2yfdxfdxfAbaba)()(21教学过程新课讲授图 2 选择 Y 为积分变量，曲边梯形面积为【例题实践】例 计算由 与 所4xyxy2围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程（同例 1）【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组 得到交点坐标为(2,-2) 及2xy(8,4)选 为积分变量1826)82(14dyS【抽象归纳】（三）解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳难点。探索到的结果通过实践，学生都得到了一些
6、解题心得，及时指导学生进行抽象归纳。dfdfAbaba)()(12教学过程新课讲授巩固练习【教师点评】帮助学生修改、提炼，强调注意选择 y 型积分变量时，要把函数变形成用 y 表示x 的函数 .【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1画草图，求出曲线的交点坐标2将曲边形面积转化为曲边梯形面积3根据图形特点选择适当的积分变量 （注意选择 y 型积分变量时，要把函数变形成用 y表示 x 的函数）4确定被积函数和积分区间5计算定积分，求出面积.练习计算由曲 线 与 及xysinxycos、0x2所围平面图形的面积【学生活动】学生独立思考邀请一位同学把自己的成果展示给大家xyO1 2xyc
7、osxysin4S1 S221A通过学生做这题体现分层教育法，使不同层次的学生都有不同的提高。教学过程成果展示dxdxA40401 sincosxx2424cossin【师生活动】解答思路清晰，表达正确问：此题还有其他解法吗？答： 所以只算一个 A，取 2 倍就可21A以了.做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.【例题实践】例 3求椭圆 所)0,(12bayx围成的面积【学生活动】学生独立思考.请一位同学讲解这道题目【课件展示】解题步骤如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数 h，宽为常数 b 求抛物线拱的面积探究解题方法1.建立平面
8、直角坐标系 确定抛物线方程巩固解题方法，锻炼发散思维把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。巩固定积分解题的基本方法和步骤。hbxhby0 ),2(hb教学过程教师点评个别提问应用提升师生活动2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.【学生活动】学生独立求解抛物线方程.投影学生练习如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方，)0(2axy代抛物线上一点 入方程，),2(hb则有 解得 ，所以抛物 线a24bha方程为 .24xbhy在投影中与全班同学一
9、起点评学生的练习.【师生活动】探究、并在投影中完成该题问：所求图形有什么特点？答：左右对称；可以解答一半取 2 倍.【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半的教学过程教师点评互动小结面积为 S，则有 dxbhs)4(220032)4(2xbh3问：本节课我们做了什么探究活动呢？答：用定积分解曲边形面积。问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？答：1.画草图，求出曲线的交点坐标2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积3.根据图形特点选择适当的积分变量 （注意选择 y 型积分变量时，要把函数变形成用 y 表示 x 的函数）4.确定被积函数和积分区间5.计算定积分，求出面积问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。课本163 1 2（1、2、5、6、）【课外思考】提问式的课作业布置有一水沟，沟沿是两条 长 100 米的平行线段，沟宽 2 米，与沟沿垂直平面沟的交线是一条抛物线，顶点为 0 点，对称轴与地面垂直，沟深 为1.5 米，水深 1 米，问：沟中的水有多少立方米？堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。作业即是探
