1、4 定积分的性质教学目的与要求：1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1. 定积分的性质极其证明方法.2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容：一 定积分的基本性质性质 1 若 f 在a,b上可积，k 为常数，则 kf 在a,b上也可积，且. （1）bbfxdkfxdaa证 当 k=0 时结纶显然成立.当 k 时,由于01 1.,n nii iii ifxkJfxJ其中 J= 因此当 f 在a,b上可积时,由定义,任给,dfab 0,T存 在 当 时1,niiifxJk从而 1.niikf即 kf 在a,b上可
2、积，且.bbkfxdJkfxdaa性质 若 fg 都在a,b可积，则 f 在a,b上也可积，且g（2）.bbbfxgdxfxdxaaa证明与性质类同。注 1 性质与性质是定积分的线性性质，合起来即为,bbbafxgdxafdxgdxa其中 a 为常数。注 2 在 f，g，h=f+g(或 f-g)三个函数中，只要有任意两个在a,b上可积，则另外一个在a,b上可积.在 f，g，h=f+g(或 f-g)三个函数中，只要有一个在a,b上可积，一个在a,b上不可积， 则另外一个在a,b上必不可积.性质 若 fg 都在a,b上可积，则 fg 在a,b上也可积。证 由 f、g 都在a,b上可积，从而都有界，
3、设 ,supabfx,sabgx且，（否则 f、g 中至少有一个恒为零值函数，于是 f、g 亦为零值函数，结论显然成立） 。任给 由 f、g 可积，必分别存在分割 、 ，使得0,T“ ,2fiTxB“ .2giTxA令 （表示把 、 的所有分割点合并而成的一个新的分割 T） 。对于a,b上 T 所属的每一“个 ，有i gfgfigfsup,.,i fg A.gifiAB利用3 习题第 1 题，可知.fgf giiiiiTTABfiiiiT,2这就证得 fg 在a,b上可积.注 在一般情形下 .dxgabfdxgfab思考：有没有相除后可积的性质？若 fg 都在a,b上可积，|f(x)| m0,
4、x a,b,则 在a,b上可积.f事实上，由条件可证 在a,b上可积(本节习题第 7 题).再由性质 3 知 在a,b上可积.1f 1gf性质 4 f 在a,b上可积的充要条件是：任给 ，在a,c与c,b 上都可积。此时又有,cab等式（3）bcbfxdfxfxdac证 充分性 由于 f 在a,c与c,b上都可积，故任给 分别存在对a,c与c,b的分割0,，使得“T与,2iiT“.2iiT现令 它是a,b的一个分割,且有“T “.iiiTTT由此证得 f 在a,b上可积.必要性 已知 f 在a,b上可积,故任给 存在对a,b的某分割 T,使得0,在 T 上再增加一个分点 C,得到一个新的分割
5、由3 习题第一题,又有.iT.T.iiTT分割 在a,c和c,b上的部分,分别构成对a,c和c,b的分割,记为 ,则有 “T和 ,iiiTT“iii这就证得 f 在a,b和b,c上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对a,b作分割 T,恒使点 C 为其中的一个分点,这时 T 在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c与c,b的分割,分别记为 .由于T与 ,iiiiiiTTfff因此当 时,对上式取极限,就得到(3)式成立.0,0,“同 时 有注 性质 4 及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当 时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的fx可加性.如图 9 10 所示,曲边梯
6、形 AabB 的面积等于曲边梯形 AacC 的面积与 CcbB 的面积之和.按定积分的定义,记号 只有当 ab 时才bfxda有意义,而当 a=b 或 ab 时本来是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:规定 1 当 a=b 时，令 adxf;0)(规定 2 当 ab 时，令 baabdxf.)(有了这个规定之后，等式（3）对于 a、b、c 的任何大小顺序都能成立。例如，当 abc 时，只要 f 在a，c上可积，则有 cabc bbabdxfxfxfdxfx )()()()()(= .性质 5 设 f 为a，b上的可积函数。若 则,0)(axf（4）badxf.)(证 由于在a，b上
7、 ，因此 f 的任一积分和都为非负。由 f 在a，b上可积，则有0fbaniiiTxfdxf10.0)()(lm推论（积分不等式性）若 f 与 g 为a，b上的两个可积函数，且 a，b，则),(xgf有（5）babadxxf.)()(证 令 F a，b，由性质 2 知道 F 在a，b上可积，且由性质 5 推得xg,0)(0()(),bbbaaadgxfx不等式（5）得证.性质 6 若 f 在a，b上可积，则 在a，b上也可积， ，且f（6）babadxx.)()(证 由于 f 在a，b上可积，故任给 0，存在某分割 T，使得 由绝对值不等.fiTx式可得知 于是有,)()(xffxff ,fi
8、fi.ffiiiTTx从而证得 在a,b可积。f再由不等式 应用性质 5（推论） ，即证得不等式（6）成立。,fxffx注 这个性质的逆命题一般不成立，例如为 无 理 数为 有 理 数xf,1,(在0，1上不可积（类似于狄利克雷函数） ；但 它在0，1上可积。,1)(xf例 1 求 其中,)(dxf2,0,()1.xfe解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即10110)()()( dffdxf).1(20)(1exxe注 1 上述解法中取 其中被积函数在 x=0 处的值已由原来的010,2)dxdxf由3 习题第 3 题知道这一改动并不影响 f 在-1，0,2(0)( xx
9、ef改 为上的可积性和定积分的值。注 2 如果要求直接在-1，1上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算 这1 ),1()(Fdxf时 F（x）应取怎样的函数？读者可对照2 习题第 3 题来回答。例 2 证明：若 f 在a,b上连续，且 ba bafdxfxf .,0)(,)(,0)(则证 用反证法。倘若有某 x0a,b使 f 则由连续函数的局部保号性，存在 的某邻0域 ，使在其中 时 则 为 右 邻 域 或 左 邻 域或 ba00,由性质 4 和性质 5 推知.2ffxdxfbdxfdxfadxfb 000000,2xfdxf这与假设 相矛盾。所以 。 dxfab.,baf注 从此例证明中看到，即使
10、f 为一非负可积函数，只要它在某一点 处连续，且0x则必有 （至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参0,fx0.bfxda阅6 习题第 7 题.）二 积分中值定理定理 9.7 （积分中第一中定理） 若 f 在a,b上连续，则至少存在一点 ，使得,ba（7）.abfdxfab证 由于 f 在a,b上连续，因此存在最大值 M 和最小值 m.由 ,使用积,baxMfm分不等式性质得到 或,abdxfabm.1fb再由连续函数的介值性，至少存在一点 使得,ba)(1)(dxfbfa这就证得（7）式成立。 积分第一中值定理的几何意义：如图 9 11 所示，若 f 在a,b上非负连续，则
11、 y=f( )在a,b上的曲边梯形面积 等于以（ ）所示的 为高，a,b为底的矩形面积。而f dxfab1则可理解为 在区间a,b上所有函数值的平均值。这xf 是通常有限个数的算术平均值的推广。注 把定理中 f 在a,b上连续，减弱为 f 在a,b上可积.定理结论为：若 f 在a,b上可积， 则存在 使,in(),xabm,sup(),xabMf(),mM.fd事实上，由 ， ，有 从而有()mfxM,ab,abMdxfabm,fxdba令 ，则 且 .bfxa,mM()()bafxdba性质 7 中的 f( )与这里的 都可看作函数 在区间a,b上所有函数值的平均值。f例 3 试求 在0，
12、上的平均值。sinxf解 所求平均值为0 .20cos1si1)( xxdf定理 9.8（推广的积分第一中值定理）若 f 与 g 都在a,b上连续，且 g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点 a,b，使得（8）babadxfdxgf .)()(（当 g(x)=1 时，即为定理 9.7）证 不妨设 g(x)0，xa,b，这时有,),()()( bxMgxfxm其中 M、m 分别为 f 在a,b上的最大、最小值。由定积分的不等式性质，得到 bababadxdfdg.)()()(若 则由上式知 从而对任何 a,b， （8）式都成立。若badxg,0)( xf,0则得 由连续函数的介值性，必至少有一点 a,b，使(),ba.)(Mdxgmba得 这就证得（8）式成立。.)()(badxgff注 1 类似于定理 9.7 的注，本定理的结论亦可推广.其结论见 第 9 题.20P注 2 事实上，定理 9.7 和定理 9.8 中的中值点 必能在开区间(a,b)内取得(证明留作习题 第219P8 题),但这并不排除中值点同时能在端点 a 或 b 取得，因为中值点可以是不唯一的.积分第二中值定理将在下一节里给出.课后作业题：3. 2) 4) 4. 5. 6.
