1、用心 爱心 专心第五讲 定积分的简单应用知识梳理知识盘点1定积分在几何中的应用（1）当 有 时，由直线 和曲线 围成,xab()0fx,(),0xaby()yfx的曲边梯形的面积 _.S（2）当 有 时，由直线 和曲线 围成,x()fx,(),xy()yfx的曲边梯形的面积 .（3）当 有 时，由直线 和曲线,xab()0fxg,(),0xaby围成的曲边梯形的面积()yf_.S（4）若 是偶函数，则 ；若 是奇函数，则x()afxd()fx()_.afd2定积分在物理中的应用（1）作变功直线运动的物体在时间区间 上所经过的路程,ab_S（2）在恒力 的作用下，物体沿力 的方向作直线运动，并且
2、由 运动到FFxa，则力 对物体所做的功()xba_.W（3）在恒力 的作用下，物体沿与力 的方向成 角的方向作直线运动，并且由运动到 ，则力 对物体所做的功()xb_.（4）在变力 的作用下，物体沿力 的方向作直线运动，并且由 运动到FFxa，则力 对物体所做的功()xba_.W（5）在变力 的作用下，物体沿与力 的方向成 角的方向作直线运动，并且由()x运动到 ，则力 对物体所做的功xbF_.特别提醒1研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义，当平面图形的曲边在 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部分在 轴下方时，x其在 轴下的部分对应的定积分为负值
3、，应取其相反数（或绝对值）；x2求含有曲边的平面图形的面积问题时，在平面几何中是很难解决的问题，而定积分为这用心 爱心 专心类问题的求解提供了很好的解决方法，这充分显示了定积分的巨大作用；3利用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.基础闯关1.已知曲线 在 轴的下方，则由 和 所围成的曲边梯()yfx(),yfx013x形的面积 可表示为( )SA B C D31)fd13(fdx13()fd31()fd2曲线 与坐标轴围成的面积是 （ ）cos(0)2yxA.4 B. C.3 D.253若 与 是 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线 所围
4、)(xfg,ba bxa,图形的面积( )A B badf() badxgf)(C D xfg)4由 与曲线 所围成的图形的面积为（ ）2y23yA B C D39325355一物体以初速度 的速度自由下落，则下落后的第二个 内所经过的.865/vtms 4s路程为 。6.曲线 与坐标轴所围成的图形的面积是 。3cos(0)2yx典例精析例 1求抛物线 与直线 围成的平面图形的面积.4yx剖析先求出抛物线 与直线 的交点，将积分区间确定，再求定积分。2解由方程组 解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, 4）xy解法 1:选 x 作为积分变量，由图可看出 S=A1+A2在 A1部分：由于抛
5、物线的上半支方程为 ，下半支方程为 ，所以yx2yx112 20 0()Sdxd31620x284()ASxdx（ ）8,-48（ ）2,2用心 爱心 专心328)214(3xx于是： .68S解法二: 选 y 作积分变量，将曲线方程写为 及 2yxy4.dS2)4(2 432)64(y018警示对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解。变式训练：1求由曲线 与 围成的平面图形的面积 .2yx2x例 2已知函数 在 x=1 处有极值-2bxaxf23)(（1）求常数 a、b；（2）求曲线
6、y=f(x)与 x 轴所包围的面积。剖析利用待定系数法求出 的值，以便于确定函数 的解析式，再将 y=f(x)与,ab()fxy=0 联立，以确定积分区间，利用定积分求平面图形的面积。解（1） ，由 f(1)=2 及 f(1)=0 得： ，解得xxf23)( 0231ba；30ba（2）由（1）知 )3(3)( xxf当 或 时，f(x)0 ，x003x曲线 y=f(x)与 x 轴所包围的面积： 03 )()( dxdxS.0240324119用心 爱心 专心警示要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可正，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意
7、义下总是为正，因此当 时，要通过绝对值处理成正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的()0fx面积，然后再相加。变式训练1 求 与直线 及 轴所围成图形的面积。()tanfx,4xx例 3物体 A 以速度 在一直线上运动，在此直线上与物体 A 出发的同时，物体231vtB 在物体 A 的正前方 5m 处以 的速度与 A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇0t时物体 A 的走过的路程是多少？（时间单位为： s，速度单位为：m/s）剖析对速度函数积分即可得物体 A 所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。解解：设 A 追上 B 时,所用的时间为 依题意有0tB5AS即 ， ， ， =5 (
8、s)002(31)5t tdx322200(1)()tt0t所以 = =130 (m)AS205t因此 5 秒后两物体相遇，此时物体 A 走过了 130 米。警示利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。变式训练3. 列车以速度 72km/h 行驶，当制动时列车获得的加速度 ，问列车应在进站20.4/ams前多少时候，以及多少距离处开始制动？例 4直径为 20cm，高为 80cn 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2 的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？剖析对变力 F 进行定积分即可
9、得变力所作的功。解设上端为活塞，且如图所示取定 轴.x另设底面面积为 ，活塞压缩至 位置时气体的体积为 ，压强为S()Vx，由于 （其中 为常数），则()PxVk， ，()hx()kPShx其中 0)8080()kNcmJ故所求的功为 221ln2.hWFdkd hxF O用心 爱心 专心警示求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。变式训练4证明：将质量为 m 的从地球表面升高至 处的高空所做功为 （其中h.()mMhWGR是引力常数， 是地球的质量， 为地球半径）GMR例 5已知抛物线 ，将以（0，0），（b，0），（b，h），（0，h）为顶)(2axy点的矩
10、形分成两部分，其面积之比为 1：2，试求抛物线方程中的系数 a剖析由于点（b，h）的位置可以在曲线 的上方可能在其下方，故应分)0(2axy两种情况加以讨论。解如图分两种情况讨论：（1）如图一： ，ah ahdxS0 321)(ahbahdxS022，由已知 ，解得 .3121S24bha（2）如图二：，babhdxaS0 321 1)( badx03221由题意知： ，解得 。212警示对于积分区间不定的问题，应注意针对积分变量的不同进行分类讨论，解决此类问题的最好的办法是画出示意图，根据示意图进行探讨。变式训练5设抛物线 为过点 A（1,2）的抛物线 C 的切线， ，求21:,Cyxl 2
11、:(1)lxa由曲线 C、 、 所围成图形的面积。1l例 6（2005 年上海模拟）设 是二次函数，方程 有两个相等的实根，()yfx()0fx且 ()2.fx用心 爱心 专心（1）求函数 的表达式；()yfx（2）若直线 把 的图象与两坐标轴围成的面积二等分，求 的值。01t()yfx t剖析要求 的值，根据题意，利用面积相等建立方程，通过解方程求出 的值。t解（1）由于 是二次函数，设 ，则()yfx2()faxbc(0)，由已知得 ，即 .()fxab2,1x2fxc又因为 有两个相等的实根，所以 ，即 ，041即 21.（1） 依题意知： ，022()()t txdxxd所以 即323
12、1()| |.t tx32321ttt所以 ，即 ，于是60tt32()0t3.所以 的值为 3.警示对于未知函数的解析式求定积分的问题，应根据题设条件先求出函数的解析式，然后再根据题意进行求解。变式训练6已知点 P 在曲线 上，它的横坐标为 ，由点 P 作曲线 的切线21yx(0)a2yx为切点）。,(Q（1）求切 的方程；（2）求证：由上述切线与 所围成图形的面积 S 与 无关。2能力提升1 与 轴所围成图形的面积是（ ）sin(02)yxxA3 B4 C5 D6 2根据 推断，直线 和正弦函数 所围成的曲边20id0,2,0xysinyx梯形的面积时，正确的结论为（ ）A面积为 0 B曲
13、边梯形在 轴上方的面积大于其在 轴下方的面积xC曲边梯形在 轴上方的面积小于其在 轴下方的面积xD曲边梯形在 轴上方的面积等于其在 轴下方的面积3（2006 年山东烟台）一辆汽车以速度 的速度行驶，这辆汽车从 到 这23vt0t3段时间内所行驶的路程为（ ）A B1 C3 D274已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）()fxab12()fx()fa用心 爱心 专心A B C D219,19,2219,19,25以初速度 坚直向上抛掷一物体， 秒时刻的速度为 ，则此物体所40/mst 240vt能到达的最高高度是（ ）A B C D16383403m2036（2006 年广州调研）若两曲线
14、与直线 及 轴围成的图形的面积是2yxkykx，则 的值为_ 9Sk7汽车以 作变速直线运动时，在第 1 秒至第 2 秒间的 1 秒内经过的路程是 .2/vts8（2006 年广东清远）若 是一次函数，且 那么函数()fx007()5,(),6fxdfxd的解析式是 .()fx9定积分 的几何意义是 .12xd10一物体在变力 的作用下沿坐标平面内 轴的正方向由 处运动到236()FNx8x处，求力 在这一过程中所做的功。18xx11.求由曲线 与曲线 所围成的图形的面积。3,0xy3yx12. 如图所示，直线 分抛物线 与 轴所围成图形为面积相等的两部分，kxy2xy求 的值。k用心 爱心 专心
