1、- 1 -不等式恒成立问题中的参数求解策略 在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决 。常常有以下两类情况：可化为二次函数在 R 上恒成立问题设 ，)0()(2acbxxf（1） 上恒成立 ；在00且（
2、2） （2） 上恒成立 。Rxf在)( 且a例 1 对于 x R，不等式 m32恒成立，求实数 m 的取值范围。解：不妨设 )(f，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使(0)f，只需 0，即 0)(4)(2，解得 2(2，。变形：若对于 xR ，不等式 x恒成立，求实数 m 的取值范围。此题需要对 m 的取值进行讨论，设 3x2f。当 m=0 时，30，显然成立。当 m0 时，则1,并且必须也只需 ()gf故 loga21,a1, 1(4sinco2)则f()=4sin+co2x2f()= 4sinx+cosixi1=-(i+3 -a530,t -1,1恒成立。设 f(t)= 2t2-4t+4
3、-a，显然 f(x)在-1，1内单调递减， =f(1)=2-a, 2-min)(tfa0 a0,若将等号两边分别构造函数即二次函数 y= x2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y 1= x2+20x=（x+10） 2-100, T2：y 2=8x-6a-3,则如图所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。 （包括l1但不包括 l2)当直线为 l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,
4、a= ;63当直线为 l2时，直线过点（0，0） ，纵截距为-6a-3=0，a= a 的范围为 ，21613） 。16、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+12p+x 恒成立的 x 的取值范围。-1 o xyxyl1l2l-20 o- 7 -分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 p 的一次函数函数值大于0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于 f(p)0 在 p-2,2上恒成立，故有：方法一： 或 x3.10(2)xf(2)0xf方法二： 即 解得：()0f1342x13x或或x3.oy2-2 xy-2 2 x
