微分和导数.doc

1、第 2 章 微分和微分法导数的简单应用经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.2-1 微分和导数函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎” ，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关

2、系.1.从例子说起(函数局部线性化) 假若函数 随自变量 的变化是均匀的，譬如函)(xy数 . 用 表示自变量 在点 的增量，则函数 的增量为bkxy0xx0 bkxy(图 2-1)()ykbk显然， 与自变量增量 成正比，即函数增量 是关于自变量增量 的线性函数.可是，另有些函数，例如函数 (图 2-2)在点 (相应于自变量增量 )的增量为2xy0xx2200)显然，函数 在点 近旁的变化不是均匀的，即 与 不成正比.但是， 能够被分2xy0 yy离出一部分 ，它与 成正比；而余下的部分 与 相比较，当 时，是高0 2()x0x阶无穷小量，即 .于是，函数 在点 的增量就可表示成)()(2x

3、o002yo我们将把“与 成正比”或“关于 为线性”的那一部分 ，称为函数 在点x0x2xy的微分；而把比例系数 称为函数 在点 的导数.与一次函数 不同，函0x0x0 kbbkxyOy 2x20()x20xy0x图 2-2x0x2()ykxbxO x0 x0+x 图 2-1y x2-1 微分和导数 6161数 在点 的微分和导数都与点 有关.不过，两者的微分都是关于自变量增量的线性函2xy00x数.2.可微微分和导数 一般情形下，设有函数 定义在区间 上.当自变量 在)(xy,abx点 有增量 ( 或 )时，函数 就会相应地有增量0,xab0xx)(图 2-3)00y其中记号“ ”作为一个整

4、体，将表示 的函数.确切地说，应当把 记成 ，y y0(),而 就像一个函数记号( 是自变量).x 自变量 的增量 称为自变量 的微分，记成 ；xxxd 若有与 无关的常数 ，使0()k(2-1)()yo其中 00limlixxyk则称函数 在点 为可微分；并称 为函数 在点 的微分，记成)(xy0 )(x0或 ；其中 关于 是唯一的 ，称它为函数 在点 的导数，0d|xy0()k0 )(xy0记成 或 .因此，微分 .xdy0()0dy根据式（2-1） ， ，于是 .根据极限的基本性质 1（见1-5） ，所以()yoxlimxk关于 是唯一的.0()k0注意，当把 看成有限量时，微分是有限量

5、；而在极限过程 中，微分又是无dx 0x穷小量.因此, 为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算, 我们把微分既看成有限量, 又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)一样.根据本节开始的讨论，一次函数 和二次函数 在任意点 都可ykxb2y0(,)微分，且（微分） , （导数） ;0d()dxkb 0()xkbk（微分） , （导数） . 2 2特别，对于常值函数 ，因为 ，所以 ， .()yc0ydcy0()xyy()xO x0 x0+x x图 2-3第 2 章 微分和微分法导数的简单应用6262上述导数记号 是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrang

6、e, 17361813)引用的，而莱0()yx布尼茨当初把函数 在点 的的导数记成 . 这样，按照莱布尼茨的说法，00d()yx导数就是函数的微分除以自变量微分的商 (简称微商) （*） .若函数 在点 可微分，根据式(2-1)，则有xy0或 limxy00li()(xyyx即函数 在点 连续.这说明：函数连续是函数可微分的必要条件；或者说，函数可微)(0分是函数连续的充分条件.在以下的例子中，注意 是自变量（而把 暂时看成常量，就像上面的 ）.xx0x例 1 函数 ( 为正整数)的可微性 当自变量在任意点 有一个无穷小ny (,)增量 时，函数 在点 的增量为x12(1)()()()nn n

7、nxxxxx 12 1(nnno 方括号内为 )ox因此，根据定义即式(2-1)，函数 在任意点 可微分且微分为ny(,)（其中 ）1d()dx而函数 在点 的导数为 .nxy(,1()nx例 2 函数 和 的可微性 对于任意点 ，设有增量 ，则sicosy(,)x函数的增量为 2in()icosinxx其中，当 时，根据定理 1-1（因为 是连续函数） ，则有0x2cosss(1)2xx又根据 ，则 ，于是有sin(0)xin(0)x 与 相差一个高阶无穷小量i)2osin2x因此， cs(1)()cos()yxx（*） 可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。2-1

8、微分和导数 6363即函数 在任意点 可微分，而且，sinyx(,)（微分） ， （导数） .dsincodx(sin)cosx同理，函数 在任意点 也可微分，而且co(,)（微分） ， （导数） .()ixi例 3 函数 的可微性 对于任意点 ，设有无穷小增量 ，则函数的增lyx(0,)x量为 ln()ln1x1()xoo注意，其中是根据 见式（1-1）l1xxol()()0因此，函数 在任意点 可微分，而且ny(0,)（微分） ， （导数） .1dlnx1(ln)x例 4 函数 的可微性 对于任意点 ，设有无穷小增量 ，则函数的exy(,xx增量为 e(1)e)e()xxx xoo注意，其

9、中 见式（1-2）.因此，函数 在任意点 可微e1()xo y,)分，而且（微分） ， （导数） .dex(e)x为了简化微分和导数的记号，函数 在点 的微分就简记成 ，而导数就简记成)(yyd或 . 于是，xyd； .dxdyx因为有时也把函数写成 ，所以有时也把微分和导数依次写成)(xfy； ()f ()dff可见，莱布尼茨所用的微分记号和导数记号是非常巧妙的，即当把微分看成有限量时，微分和导数之间的转换，可以通过代数运算(乘或除)来完成.在上述关于导数的记号 中，当把其中的 看作常量时，导数是数，而把 看作变量时，)fxxx它是关于自变量 的函数，有时称它为导函数.【注】牛顿当初把(以时

10、间值 为自变量的)函数 的导数记成 (他当时把变量称为“流数” ，而把t()yy第 2 章 微分和微分法导数的简单应用6464导数称为“流率”).在近代数学中, 柯西又把函数 的导数记成 .()yxDy3.可导与可微的等价性 当函数 在点 可微分时，根据式(2-1)，则有00()()1okkoxx因此，有极限(2-2)0000limli ()xxyyx柯西在 19 世纪初就是先用这个极限定义了函数的导数 ，而后用导数又定义了函数k的微分，即(有限量)00d()dyx柯西把有极限（2-2）称为函数 在点 可导.此时，因为x或 0()1()yxo00()(1()()oxyox且 与 无关，所以函数

11、 在点 也可微分.因此，函数可导与可微是等价的.0()x y例 5 设函数 1sin,00xy当自变量 在点 有一个增量 时，函数在点 也有一个增量 . 因为不存在极x01sinyx限(见图 1-10)xxyx1sinlmsillim000所以这个函数在点 没有导数(即在点 不可微分).但是，因为有00li()lis()xxyy所以这个函数在点 是连续的.这说明函数连续的条件弱于可微的条件，即连续只是可微分的必0要条件, 而不是充分条件！例 6 设函数 ( 为正整数).因为nxy nnnn xxx)(1)() 12()nx 所以 y121()()()()nnnxxx 2-1 微分和导数 656

12、5从而，当 时，有极限0x 1210)(limnnx xy因此，函数 在任意点 有导数 (即可微分)，而且ny(导数) ； (微分) .1nn1d()dnnx例 7 设 ，则 ，并且当 时，有 .因为mxmxy0x0y， 从而 ， xym)(所以 mmm yyyx )()(21)( 21 在两端同除以 后，得 1 1()()myx 注意到当 时，也有 ，因此 (在两端让 ) 得0x0y0xmmy11从而得(导数) ； (微分) .11)(mxx 11d()dmxx4.单侧导数 假若讨论函数在区间端点上的可微性，或者研究分段表示的函数在分界点上的可微性时，都需要定义函数的单侧导数：（左导数） （

13、右导数） .()()li;xcfcf ()()lixcfcf显然，有导数 当且仅当 . 例如，研究函数 在点 的可微性时，c 0因为，0 0()()lim1;()lim1x xf f 所以函数 在点 没有导数（即不可微分）.而对于函数()fxln(),)gx显然左导数 ，而右导数(0)1g 100l(1)()imli()lnexxx 因为 ，所以函数 在点 有导数 .()gg5.微分作为函数增量的近似值 若函数 在点 可微分，因为()y0第 2 章 微分和微分法导数的简单应用66660()()yxo而且当 时，右端第二项 比第一项 更快地接近于 ，所以把微分0x)(o0看作函数增量 的近似值是

14、合理的.因此，就得到求函数 在点 近旁函数值的0()y y )(xy0近似值的公式(2-3)000()()xhyxh其中 且 足够小.此时，微分 被看作有限量(而不是无穷小量).hx请读者注意，本书中关于记号“ ”的用法是：当它的两端都是无穷小量时,它表示两端为等价无穷小量(在有的教科书中用的记号是“ ”); 当它的两端是有限量而不是无穷小量时,它:表示两端近似相等.式（2-3）两端都是有限量，而不是无穷小量！例 8 求 的近似值.4203解 因为 ，所以取函数 . 于是，因为4.0340(),2,3yxh，所以根据式（2-3） ，则有32()xy 4.42.3.16.9总结函数的微分和导数都

15、是局部概念，即函数在某点的微分和导数.可微等价于可导，但微分和导数是不同的两个概念.它们就像一对“双胞胎”.函数的微分是函数增量的线性主要部分，而导数是函数微分除以自变量微分的商.习 题1.填空： ， ； ， ；3d()_x3()_x32d()_x32()_x ， ；6sin 6sin ， ；(co)x(co)x ， ；2dl_2l_ ， .(e)x(e)x答案： ； ； ；23d,x1,2x3d,2x ； ； .1,e,2.填空：设函数 在点 有导数 .)(xfa)(f ； .0lim_xa0()()lim_xfafx2-1 微分和导数 6767答案： ， .)(af)(2f3.证明：若函数

16、 在点 是连续的，则函数 在点 可微分，且微分)(xga)()(xgaxf为 ，而导数为 .d()fa)(gf4.设 . 求极限 . 答案： .0)(f xflim005.设函数 . 证明 .)()2(1nx !)1(0nf6.设 . 求导数 . 答案： .naf)( af 17.设 ( 为正整数).求导数 . 答案： .194) )( 948.问：若 ，是否必有 ？若 ，是否必有 ？ 0(f 0)f0f 0)(f提示：用例子（反例）说明上述结论是否定的.9.证明：函数 21sin,0()0,xf在点 可微分.问： . 答案： .0d(0)_,_ff 0,10.填空： ；7 7(),()_xx .5 5d_答案： ； .88d,7x55441d,x11.根据提示，求下面数值的近似值： 55(0.97)(1.03) sini68答案： ； .(3.14) 0.85112.证明近似公式（其中 ）1nx1:并由此计算 和 的近似值. 答案：分别为 ， .39450 9.80.13.证明：当自变量有增量 时，则函数的增量：x( 为常数)； .)(fcxf )()()( xgfxgf 因此， 作为一种运算，具有“齐次性”和“可加性”.