1、第 1 页 共 7 页 习题 5 5-1如图， 一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 m2 和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为 2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为 m2 和 m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： maTmg 22 2 mamgT 1 2()T T r J JrTT )( 1 ra ， 2 /2J mr 联立，解得： ga 41 ， mgT 811 。 5-2 如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m ， 平放在摩擦系数为 的
2、水平桌面上，设开始时杆以角速度 0 绕过中心 O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（ 1）作用于杆的摩擦力矩；（ 2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（ 1）设杆的线密度为： lm ，在杆上取一小质元 dm dx ，有微元摩擦力： d f d m g g d x ， 微元摩擦力矩： dM gxd x ， 考虑对称性，有摩擦力矩： 20 12 4lM g x d x m g l ； （ 2）根据转动定律 dM J J dt ，有： 000t Mdt Jd ， 2 0114 12m g lt m l ， 03 lt g 。 或利用： 0M t J J ，考虑到 0 ， 2112J ml ， 有： 0
3、3 lt g 。 5-3 如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 M 、半径为 R ,其转动惯量为 2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： mg T ma JTR aR ， 212J mR 联立，解得： 2 2mga Mm ， 2MmgT Mm ， T第 2 页 共 7 页 考虑到 dva dt ， 002 2vt mgdv dtMm ，有： 2 2mgtv Mm 。 5-4 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子
4、 A 端有一质量为 M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端 B 系了一质量为 4/M 的重物，如图。已知滑轮对 O 轴的转动惯量 4/2MRJ ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 AMaTMg 1 人 BaMgMT 442 物 JRTRT 21 滑轮 由约束方程 : Raa BA 和 4/2MRJ ,解上述方程组 得到 2ga . 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设 u 为人相对绳的速度， v 为重 物上升的速度，注意到 u 为 匀速， 0dudt ， 系统对轴的角动量为： 213( ) ( )4 4
5、 2ML M v R M u v R R M v R M uBAR ( ) ( )体 人 (物 物 体 ) 而力矩为： 13M 44M g R M g R M g R ， 根据角动量定理 dtdLM 有： )23(43 M u RM vRdtdM g R ， 2ga 。 5-5计算质量为 m 半径为 R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为 R ，总重量为 m ，体密度 334 mR ， 考虑均质球体内一个微元： 2 s ind m r d rd d ， 由定义：考虑微元到轴的距离为 sinr 2( sin )J r d m ，有： 2 220 0 0 ( s in ) s inR
6、J r r d r d d 520 012 (1 c o s ) c o s 5 Rrd 225mR 。 第 3 页 共 7 页 5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数 40 /k N m ，当 0 时弹簧无形变，细棒的质量 kg0.5m ，求在 0 的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置？ 解：以图示下方的三角桩为轴，从 00 90时， 考虑机械能守恒，那么： 0 时的机械能为： 22( ) (2 )1123lm g m l （重 力 势 能 转 动 动 能）， 090 时的机械能为： 212kx 有： 2 2 21 1 12 2 3 2lm g
7、m l k x （ ） 根据几何关系： 222 15.1)5.0( x ，得： 128.3 srad 5-7如图所示，一质量为 m 、半径为 R 的圆盘，可绕 O 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： （ 1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率； （ 2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（ 1）设虚线位置的 C 点为重力势能的零点， 下降过程机械能守恒， 有： 221 JmgR ，而 2 2 21322J m R m R m R Rg34 34RgRvc 162 3A RgvR （ 2） 2 73yF m g m R m g （ 重 力 ） （ 向 心
8、 力 ），方向向上。 5-8如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为 m 和 m2 的小球，杆可绕 水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 l31 和 l32 轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为 m 的小球，以水平速度 0v 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后以 021v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守恒，有： 22002 1 2 2( ) 2 ( )3 2 3 3 3llm v l m v l m m 有： 22 004 2 2 1()9 9 3 3l l v l v l 032vl 5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为
9、 R ，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心 O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（ 1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角 速度；（ 2）经过多少时间后，圆盘停止转动。 (圆盘绕通过 O 的竖直轴的转动惯量为 221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。 ) 第 4 页 共 7 页 解：（ 1）利用角动量守恒： 2221 mRMRm vR 得： 2(2 )mvm M R ； （ 2）选微分 dm rdrd ，其中：面密度 2MR ， 20 22 3Rf MM g r d m
10、 gr r dr M g RR 由 fM t J 有： 2221 ( ) 032M g R t M R m R ， 知： 224MmtRMg 将 2 2mM m R v 代入，即得： 32 mvt Mg 。 5-10有一质量为 1m 、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为 2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 1v 和 2v ，如 图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。 (已知棒绕 O 点的转动惯量 2131
11、 lmJ ) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 1v 和 2v 方向相反，以逆时针为正向，有： 22 1 1 2 213m v l m l m v l，得： lm vvm 1 212 )(3 又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得： 1 10 12lf mM g x d x m g ll ，利用 f dMJdt ，有： 210011312t m l ddtm g l，得： 2 1 212 ( )23 m v vlt g m g 。 5-11 如图所示，滑轮转动惯量为 2mkg01.0 ，半径为 cm7 ；物体的质量为 kg5 ，用一细绳与劲度系数 N/m200k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相
12、对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（ 1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（ 2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（ 1）设弹簧的形变量为 x ，下落最大距离为 maxx 。 由机械能守恒： 2max max12 k x mg x ，有： m ax 2 0 .4 9mgxmk； （ 2）当物体下落时，由机械能守恒： 2 2 21 1 12 2 2k x m v J m g x ， 第 5 页 共 7 页 考虑到 vR ，有： 2 2 2 21 1 12 2 2k x m R J m g x ， 欲求速度最大值，将上式两边对 x 求导，且令 0ddx ，有： 2
13、1 ( ) 22 dk x m R J m gdx ，将 0ddx 代入，有： )(2 4 5.0 mkmgx ， 当 0.245x m 时 物体速度达最大值，有： 22m ax2121 ()2mgx kxvJm r ，代入数值可算出：max 1.31 /v m s 。 5-12设电风扇的功率恒定不变为 P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 k ，并已知叶片转子的总转动惯量为 J 。（ 1）原来静止的电扇通电后 t 秒时刻的角速度；（ 2）电扇稳定转动时的转速为多大？（ 3）电扇以稳定转速旋转时，断开电 源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（ 1）已知 fMk ，而动
14、力矩 PM ， 通电时根据转动定律有： f dM M J dt 代入两边积分有： dkP Jdtt 0 20 ，可求得： )1(2 tJkekP ； （ 2）见上式，当 t 时，电扇稳定转动时的转速： Pk 稳 定 ； （ 3）断开电源时，电扇的转速为 0 Pk ，只有 fM 作用，那么： dkJdt ，考虑到 dddt d ，有：000 k ddJ， 得： 0J J Pk k k。 5-13如图所示，物体 A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为 ，细绳的一端系住物体 A ，另一端缠绕在半径为 R 的圆柱形转轮 B 上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转
15、轮以 0 绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 A 的速度多大？物体 A 运动后，细绳的张力多大？ 解：（ 1） A 在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒： 2 2 201 1 12 2 2 AJ J m v，其中AvR ，212J mR ， 可算出： 033AvR ； （ 2）物体 A 运动后，由牛顿定律： T mg ma， 考虑到 JTR ， Ra 可求出： 13T mg 。 第 6 页 共 7 页 5-14. 质量为 m 的小孩站在半径为 R 、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 )
16、。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度 为多少？ 解：此过程角动量守恒： 0mRv J，有： mRvJ 。 5-15以速度 0v 作匀速运动的汽车上，有一质量为 m （ m 较小），边长为 l 的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面 A 边翻转。试求：（ 1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（ 2）此时，货物箱 A 边所受的支反力。 解：（ 1）角动量守恒： 20 322 mllmv ， 034vl 根据转动定律 2223lm g ml ， 34gl ； （ 2）如图，支反
17、力 x CxN ma ，而： 00c o s 4 5 c o s 4 5C x C n C ta a a 00c o s 4 5 c o s 4 5x C n C tN m a m a 。 【注：如图，对于立方体绕 z 轴的转动惯量，有： 2 2 2200 2() 3ll mJ x y d x d y m ll 】 思考题 5-1 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量 1m 和 2m的物 体 ( 1m 2m )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解： amTgm 111 （ 1） amgmT 222 （ 2） JrT
18、T )( 21 （ 3） ra （ 4） 联立方程可得 1T 、 2T ， 21TT 。 5-2 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 O 以角速度 按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度 怎样变化？ 答：增大 5-3 个人站在 有光滑固定转轴的转动平台上 ,双臂伸直水平地举起二哑铃 ,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （ A）机械能守恒，角动量守恒；（ B）机械能守恒，角动量不守恒； （ C）机械能不守恒，角动量守恒；（ D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（ C） 5-
19、4在边长为 a 的六边形顶点上，分别固定有质量都是 m 的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（ 1）设转轴、在质点所在的yxzCtaACCnaxN第 7 页 共 7 页 平面内，如图 a 所示；（ 2）设转轴垂直于质点所在的平面，如图 b 所示。 答：以为轴转动惯量 29maJ ； 以为轴转动惯量 23maJ ； 以为轴转动惯量 25.7 maJ 。 5-5 如图 a 所示，半径分别是 1R 和 2R 、转动惯量分别是 1J 和 2J 的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0 ，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为 0。 由 201 JJ ，有小圆柱的最终角速度为： 201 JJ 。 5-6均质细棒的质量为 M ，长为 L ，开始时处 于水平方位，静止于支点 O 上。一锤子沿竖直方向在 dx处撞击细棒，给棒的冲量为 0Ij。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。 答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
