1、二次函数全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.要点诠释：如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零a 的绝
2、对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ，其中 ； .（以上式子 a0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标( 轴) (0，0)( 轴) (0， )( ，0)( ， )当 时开口向上当 时开口向下( )2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .3.抛物线 中， 的作用：20()yaxbc,abc(1) 决定开口方
3、向及开口大小，这与 中的 完全一样.(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故： 时，对称轴为 轴； (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧； (即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧.(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )： ，抛物线经过原点； ，与 轴交于正半轴； ，与 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式： （a0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.(2)顶点式： （a0）.已知图象的顶点或对
4、称轴，通常选择顶点式.(可以看成 的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：（a0）.(由此得根与系数的关系： ).要点诠释：求抛物线 2yaxbc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；(2)当二
5、次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定.(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题
6、，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系
7、式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在 x 轴上截得的线段长为 6，求抛物线的解析式【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即 ，也就是2(3)yax，再由在 x 轴上截得的线段长为 6 建立方程求出 a也可根据抛物线的2692yax对称轴是直线 x3，在 x 轴上截得的线段长为 6，则与 x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设 ya(x-0)(x-6)【答案与解析】解法一： 抛物线的顶点是(3，-2)，且与 x 轴有交点， 设解析式为 ya(x-3) 2-2(a0)，即 ，2692ya设抛物线与 x 轴两交点
8、分别为(x 1，0)，(x 2，0)则 ，12364(92)| 6|ax解得 抛物线的解析式为 ，即 29a(3)9y2yx解法二： 抛物线的顶点为(3，-2)， 设抛物线解析式为 2(3)yax 对称轴为直线 x3，在 x 轴上截得的线段长为 6， 抛物线与 x 轴的交点为(0，0)，(6，0)把(0，0)代入关系式，得 0a(0-3) 2-2，解得 ， 抛物线的解析式为 ，29a2(3)9yx即 43yx解法三：求出抛物线与 x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为 ya(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得 ，解得 (6)2a9a 抛物线的解析式为 ，即 9y24
9、3yx【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清 ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知抛物线 （ m 是常数） 242ymx（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 ，且抛物线与 轴交于整数点，求此抛物线的解析15x式【答案】 （1）依题意，得 ， ，024abxmabcy42422)( 2168m抛物线的顶点坐标为 ,（2）抛物线与 轴交于整数点，x 的根是整数02m 24164()2 ， 是整数 是完全平方数0xm ， ， 取 1，4，9，15202464()x当 时， ；当 时，
10、 ；当 时， 21m2m29m2 的值为 2 或 或 9抛物线的解析式为 或 或 682xyxy1228109yx类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. 函数 和 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）yaxb2yxbc(0)a【答案】C；【解析】 a0， 分 a0，a0 两种情况来讨论两函数图象的分布情况若 a0，则 yax+b 的图象必经过第一、三象限， 的图象开口向上，可排除 D2yaxbc若 a0，b0，则 yax+b 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， 的图象的对2yaxbc称轴在 y 轴的左侧，故 B 不正确若 a0，b0，则 yax+b 的图象与 y 轴的交点
11、在 y 轴的负半轴上， 的图象的对2称轴在 y 轴的右侧，故 C 正确若 a0，则 yax+b 的图象必经过第二、四象限， 的图象开口向下，故 A 不正2axbc确【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数 a，b 满足一致性，因此讨论a，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在事实上，a，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系 xOy(如图所示)，一次函数 的图象与 y 轴交于点 A，点34yxM 在正比例函数 的图象上，且 MOMA，二次函数 的图象经过点 A、M32yx2bc(1)求线段
12、AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图象上，点 D 在一次函数的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标34x【答案与解析】(1)一次函数 ，当 x0 时，y3，所以点 A 的坐标为(0，3)，34y又 MOMA， M 在 OA 的中垂线上，即 M 的纵坐标为 ，又 M 在 上，当 时，x1，232yx32y 点 M 的坐标为 31,2如图所示， 13A(2)将点 A(0，3)， 代入 中，得 31,2M2yxbc3,1.2bc5,23.bc即这个二次函数的解析式为： 253(3)如图所示，设 B(0
13、，m)(m3)， ， 2(,)Cn3,4Dn则|AB|3-m， ， 213| 4DCyn5|4ADn因为四边形 ABCD 是菱形，所以 |B所以 解得 （舍去）213,45.mn13,0;mn21,.n将 n2 代入 ，得 ，所以点 C 的坐标为（ 2，2） 23yx2Cy【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的类型四、函数与方程4. 如图所示，把一张长 10cm，宽 8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)(1)要使长方体盒子的底面积为 48 cm2，那么剪去的正方形的边长应为多
14、少?(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由【答案与解析】(1)设剪去的正方形的边长为 x cm，则(10-2x)(8-2x)48，即 x2-9x+80解得 x18(不合题意，舍去)，x 21所以剪去的正方形的边长为 1 cm(2)有侧面积最大的情况设此时剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y
15、cm2，则 y 与 x 的函数关系式为：y2(10-2x)x+2(8-2x)x即 y-8x 2+36x，改写为 ，所以当 x2.25 时， 40.529814yx 最 大即当剪去的正方形的边长为 2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 40.5 cm2；(3)有侧面积最大的情况设剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm2若按图所示的方法剪折，则 y 与 x 的函数关系式为：，即 所以当 时， 1022(8)xyx213696yx136x169y最 大若按图所示的方法剪折，则 y 与 x 的函数关系式为：，即 所以当 时， 8(10)2yx278373x83y最 大比较以上
16、两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为73298cm3【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解举一反三：【变式 1】抛物线 与直线 只有一个公共点，则 b=_【答案】由题意得把代入得 .
17、抛物线 与直线 只有一个公共点， 方程 必有两个相等的实数根， ， 【变式 2】二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程 的两个根；(2)写出不等式 的解集；(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围；(4)若方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围【答案】(1)(2) .(3) .(4)方法 1：方程 的解，即为方程组 中 x 的解也就是抛物线 与直线 的交点的横坐标，由图象可看出，当 时，直线 与抛物线 有两个交点， 方法 2： 二次函数 的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ，即 ， . 方程有两个不相等的实数根， ， .类型五、分类讨论
