1、高阶弹性常数 导论(Introduction) 1 广义 Hooker 定理以及晶体的 Neumann 原理 2 应变自由能与弹性常数的关系 3 高阶弹性常数的获得与计算 4 参考文献 显示部分导论(Introduction) 众所周知的是二阶弹性常数是一个二阶四秩张量（Cijkl），三阶弹性常数是三阶六秩张量（Cijklmn ）；更高阶的弹性常数还包括四阶弹性常数（Cijklmnpq ），五阶弹性常数（Cijklmnpqrs ）和六阶弹性常数（Cijklmnpqrsuv），分别是八秩，十秩和 12 秩张量。目前研究报道的最高弹性常数为 6 阶弹性常数。二阶弹性常数的计算由于张量分量较少，同时
2、在计算过程中主要是采用了线性 Hooker 定理，所施加的应变量很小，因此在材料力学性能表征中得到了广泛的应用，三阶弹性常数描述了非线性 Hooker 定理或者非线性力作用下的材料的力学响应问题。三阶弹性常数矩阵形式十分复杂，即使对于立方晶体结构也有 6 个独立分量，对于对称性更低的晶体结构则分量更多，如果采用能量应变的方法来计算各个独立分量，则计算量相当可观。如立方晶体（点群 Oh，O， Td）有六个独立分量，则需要六个不同的应变模式，得到六个多元一次方程组，联立求解得到各个分量数值。若采用应力应变（StrainStress relations）则可以明显减少应变模式的数量，但主要问题在于这
3、要求第一原理计算软件具有计算晶体 Cauchy 应力张量的能力，然而，目前广泛采用的 DFT 计算软件，如 VASP，Wine2K 等等是不能直接得到 Cauchy 应力张量的，只能计算特定应变下的应变能数值。Materials Studio 软件中的 CASTEP 模块是目前为数不多的具有直接计算应变结构 Cauchy 应力张量的软件，因此 CASTEP 模块在计算材料的二阶弹性常数方面十分的方便。此外，对于三阶弹性常数，目前没有软件可以直接计算，需要研究者自行设计方法进行计算。三阶弹性常数可以描述材料在高压下的力学响应情况，鉴于目前高压物理学，行星结构科学等相关领域的飞速发展，对于超硬材料
4、的非线性力学常数受到了越来越多的关注。采用超声腔共振法可以方便的测量材料的二阶弹性常数，但对于非线性弹性常数，试验方面进展十分的缓慢，时至今日，大部分超硬材料的高阶弹性常数仍然是未知的。 1 广义 Hooker 定理以及晶体的 Neumann 原理(The generalized Hookers Law and Neumann Principle) 1.1 广义 Hooker 定理(The Generalized Hookers Law) 与传统线弹性力学中广泛采用的 Hooker 定理相比，广义 Hooker 定理可以认为是包含了高阶非线性应力和应变关系项的 Hooker 定理的 Taylo
5、r 级数展开形式，因此从数学意义上来讲这种应力对应变的阶数可以无限制的进行，正如前文所说，目前广泛采用的弹性常数为应力对应变展开的线性项，展开系数即为 Cijkl，Cijkl 就是弹性常数，由于根据张量运算法则可知 Cijkl 是一个四秩张量，描述两个二秩张量应力（stress）和应变（Strain）之间的关系。Cijkl 矩阵元素有 34 个，考虑到Lagrange 应变为对称矩阵，同时应变自由能与应变路径无关，可以用一个 66 的矩阵来描述，有 36 个矩阵元素。进一步的矩阵元素化简来自于晶体结构点群对称性对物理学性质的限制，即 Neumann 原理。例如对于三斜晶体（Triclinic
6、Crystal Class），独立矩阵元素为 21 个，如果是正交晶体（Orthorhombic Crystal Class）则减少到 9 个，对称性最高的立方晶系（Cubic Crystal Class），仅为三个（C11， C12 和 C44）。 研修班, 北京大学研修班,清华总载班 CijklGeneralized Hooker s Law简单归纳一下 Cijklmnpq.的性质： Cijkl: Second order 4th rank tesnor, 66 matrix with 36 matrix elements and reduces to 21 independent ele
7、ments for Triclinic crystal class (The matrix form see Fig); Second order 4th rank tensor: CijklCijklmn: Third order 6th rank tensor, 216 matrix with 126 elements and for triclinic crystal class the independent numer is 56; Third order 6th rank tensor (Cijklmn)Cijklmnpq: Fourth order 8th rank tensor
8、, 566 matrix with 336 elements and for cubic crystal class the independent nuber is 11; 研修班,北京大学研修班,清华总载班 Fourth order 8th rank tensor (Cijklmnpq)研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Using Voigt notations, we have CijklCij， CijklmnCijk and Cijklmnpq Cijkl; Voigt Notations: examples: C1111C11， C111111C111 and C1111111
9、1C1111； C1122C12；C112233 C123 ； C11112233C1123；C2332C2323C44 and etc. etc. 11 22 33 23(32) 13（31） 12(21) 1 2 3 4 5 61.2 Neumann 原理（Neumann Principle） Neumann 原理指出，任何晶体结构的物理性质所具有的对称性不低于晶体点群的对称性，这表明张量分身最少具有晶体点群对称性，将晶体点群对称操作作用到各个张量分量 Cijkl 上，得到新的张量 Cmnpq ，则 CijklCmnpq ，即张量各个分量相等。对于三阶和四阶弹性常数则可以表示为 Neuma
10、nn Principle对于高秩张量，上述计算必须在计算机上编程进行，否则计算量是十分巨大的。对于晶体结构，如果张量采用了 Voigt 标记法之后，张量在晶体点群对称操作下的变化相当于对张量下标进行变换，对 Voigt 标记数字进行对称变换得到的下标分量的对应关系与对张量本身变换得到的分量关系是一致的。现在存在的问题是晶体点群包含的对称操作的个数很多，如果将每个点群元素对张量进行操作，则不能有效的减少运算量，并且这样的操作大多数是重复的。根据点群的性质，对于每个点群总能找到几个代表性的操作元素（Representative Operations），点群中所有的对称操作元素可以通过代表性元素的幂
11、乘积得到，因此代表性元素称为点群的生成操作（generators ）。因此只要找到点群的生成操作，将生成操作对张量进行变换即可得到点群对称性限制下独立矩阵元素。对于 32 个空间群点群的生成操作在大部分群论方面的书籍中均可以找到，当然也可以借助群论分析软件 Isobyu 获得。 简化后的二阶，三阶以及四阶弹性常数矩阵形式依然十分复杂，这里给出几个例子： 研修班,北京大学研修班 ,清华总载班 examples： Orthorhombic crystal class: Space Group Pmm2; Point group mm2 研修班, 北京大学研修班 ,清华总载班 Cijkl （Cij）
12、 研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Cijkl for Orthorhombic crystals研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Cijklmn （Cijk） 研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Third order Cijk for Orthorhomic crystals研修班,北京大学研修班, 清华总载班 研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Cijklmnpq （Cijkl） 研修班 ,北京大学研修班,清华总载班 The forth order Cijkl for Orthorhombic crystals研修班,北京大学研修班, 清华总载班 Cubic Crystal
13、Class: Space Group P-43m; Point group -43m Cij Cij for Cubic crystalsCijk Cijk for Cubic crystalsCijkl 研修班,北京大学研修班,清华总载班 Cijkl for Cubic crystals研修班,北京大学研修班, 清华总载班 研修班,北京大学研修班, 清华总载班 （下文未注明时弹性常数均为 Voigt notation， CijklCijklmnpq ） 研修班,北京大学研修班,清华总载班 2 应变自由能与弹性常数的关系编辑本段回目录（The Relationship between Stra
14、in energy and Elastic Constants） 应变自由能（Strain energy）定义为应变晶胞与初始平衡结构总能量的差值，应变自由能与弹性常数不能直接对应。实际上如果将应变自由能除以初始晶胞的晶体得到新的参数称为应变自由能密度 （Strain energy density），该参数对Lagrange 应变的 Taylor 级数展开直接对应弹性常数的某个组合或者弹性常数本身。在应变形式比较复杂的情况下，应变自由能密度展开系数一般为弹性常数的线性组合形式，因此如果要通过应变自由能密度来计算弹性常数则需要求解一组多元一次方程组，方程组的个数即为独立弹性常数的个数。如对于四阶
15、弹性常数 Cijkl 对于正交晶体有 42 个独立变量，则至少应该有 42 个多元一次方程组，同理立方晶体至少为 11 个。研修班,北京大学研修班,清华总载班Strain energy density and elastic constants3 高阶弹性常数的获得与计算 （The calculations for Higher order elastic constants） 3.1 实验测量（ Experimental determination） 高阶弹性常数的试验测量主要是采用超声腔共振法（Ultrasonic Resonance Method），如对于二阶弹性常数 Cij，可以直接采
16、用该方法，设置不同波长的纵波（P Wave）和横波（S Wave），其中纵波对应晶体结构中的疏密变化，即拉伸模量数值，如 C11，C22，C33 等；而 S 波则对应剪切变形即 C44，C55 ，C66 等。在施加混合波形情况下可以得到 C12，C13 等混合应变模式下的弹性常数数值。对于C11 而言可以施加一个沿100方向传播的 P 波得到，具体关系为 Cijklpv2(p: density; v: Velocity)。对于三阶弹性常数，可以通过测量二阶弹性常数与温度之间的关系得到，同时注意到 Cijk 是 Cij 对应变一阶导数，因此也可以通过对晶体预先施加特定的应变（应力模式），然后测定
17、声速的变化来对曲线进行拟合得到。更高阶的弹性常数如 Cijkl 则需要通过计算 Cijk 在特定应变下的波速变化计算，由于高阶弹性常数独立变量很多，因此试验测定高阶弹性常数遇到的极大的困难，到目前位置大部分晶体的三阶以上弹性常数都是未知的。 3.2 理论计算 （Theoretical Calculations） 研修班,北京大学研修班,清华总载班 由于计算机的飞速发展和固体理论，凝聚态物理理论方面的巨大进度。高阶弹性常数目前可以通过理论计算获得，主要是基于密度泛函理论的第一原理计算（The ab-initio calculations based on density functional t
18、heory).正如前文提到的，目前计算方法有两个：应力应变关系和应变能应变关系。前者基于广义 Hooker定理，后者基于应变能密度的 Taylor 级数展开。两个方法各有优势，StressStrain 方法最大的特点是所需要计算的应变模式很少就能计算出全部的弹性常数，如 Cubic 晶体，只需要一个应变模式即可得到 C11，C12 和 C44，但若采用应变能密度应变关系则需要设计三个应变模式分别计算获得三元一次方程组，求解得到全部常数，应变应力计算主要需要计算出晶体的 Cauchy 应力张量，但由于晶体 Cauchy 应力张量对边界条件敏感，因此如果精度计算方法对拟合精度都有严重影响；应变能密
19、度应变关系特点是计算量很大，但数值精度稳定，计算结果比较可靠。4 参考文献编辑本段回目录（ References） 研修班,北京大学研修班, 清华总载班 1. Hiroshi Soma, Yosio Hiki, Journal of the Physical Society of Japan, 37 (2), 544 (1974) 2. Shigeru Mori, Yosio Hiki, Journal of the Physical Society of Japan, 45 (5),1449 (1978) 研修班 ,北京大学研修班,清华总载班 3. Yosio Hiki, Annual Re
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22、he matrix forms of them are also tabulated, very good article!) 9. Lars Fast and et.al., Physical Review B, 51 (24), 17431 (1995) (The Second order elastic constants for Hexagonal crystals were studied) 10. S.K.R. Patil and et.al., Physical Review B, 73, 104118 (2006) (The second order elastic const
23、ants for Orthorhombic and Tetragonal, Cubic crystals) 11. O.H. Nielsen, Physical Review B, 34 (8), 5808 (1986) (both of the Second and third order elastic constants of Diamond were calculated) 研修班, 北京大学研修班,清华总载班 12. Jijun Zhao and el.al., Physical Review B, 75, 094105 (2007) (The general method for the calculation of higher order elastic constants using density functional the
