1、探求数与式规律第 1 题. 2007 广西河池课改，2 分）古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，根据它的规律，则第 100 个三角形数与第 98 个三角形数的差为 答案：199第 2 题. （2007 广东河池非课改，2 分）填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = 答案：108第 3 题. （2007 广西玉林课改，2 分）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据 ， ， ， ， 中，951623成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门请你根据这个规律写出第 9个数 答案： 17第 4 题. （2007 贵州贵阳课改，9 分）如图，
2、平面内有公共端点的六条射线 ，OA， ， ， ， ，从射线 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字OBCDOEFOA1，2，3，4，5，6，7，（1） “17”在射线 上 （3 分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律 （3 分）（3） “2007”在哪条射线上？（3 分）答案：（1） “17”在射线 上OE（2）射线 上数字的排列规律：A65n射线 上数字的排列规律：OB4射线 上数字的排列规律：C3射线 上数字的排列规律：D2射线 上数字的排列规律：E1射线 上数字的排列规律：F6n（3）在六条射线上的数字规律中，只有 有整数解解为20735n“2007”在射线 上O第 5 题. （20
3、07 陕西课改，3 分）小说达 芬奇密码中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串ACBA55675320531 ABDCEFO1 72839 410 5116 12令人费解的数按从小到大的顺序排列为： ，则这列数的第 8 个数是 答案：2112358， ， ， ， ， ， 第 6 题. （2007 山东临沂课改，3 分）如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数例如，6 的不包括自身的所有因数为 1，2，3而且 ，所以 6 是完全数大约 2200 多年6123前，欧几里德提出：如果 是质数，那么 是一个完全数，请你根据这个结论写出 6 之后的2n()nA下一个完全数是
4、 答案： 8第 7 题. （2007 山东烟台课改，4 分）观察下列各式： ， ， ，123134145请你将发现的规律用含自然数 的等式表示出来 (1)n答案： 1()22n第 8 题. （2007 湖北荆门课改，3 分）观察下面的单项式： ， ， ， ， 根据你发现的a234a48规律，第 8 个式子是 答案： 812第 9 题. （2007 湖北宜昌课改，3 分）1766 年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循一定的规律，如下表所示：颗次 1 2 3 4 5 6 行星名称 水星 金星 地球 火星 小行星 木星 0.4.71.62.8.距离（天文单位） 0.4104 那么第 7
5、 颗行星到太阳的距离是 天文单位答案：10第 10 题. 观察下列各式：321326321410猜想： 答案：55 2 或 3025333 第 11 题. （2007 湖南株洲课改，3 分）某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，按此规律，5 小时后细胞存活的个数是（ ）A31 B33 C35 D37 答案：B第 12 题. （2007 江苏扬州课改，3 分）有一列数 ， ， ， ， ，从第二个数开始，每一个数都等1a23 na于 与它前面那个数的倒数的差，若 ，则 为（ ）11207 答
6、案：D2072第 13 题. （2007 内蒙赤峰课改，4 分）观察下列各式：2215()1506223()依此规律，第 个等式（ 为正整数）为 答案：n 22(105)(1)05n第 14 题. （2007 辽宁沈阳课改，3 分）有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8 个数为 答案： 50第 15 题. (2007 内蒙鄂尔多斯课改，3 分)观察表 1，寻找规律表 2 是从表 1 中截取的一部分，其中的值分别为（ ）abc， ，表 1 表 21 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 A20，25，24 B25 ，2
7、0，24 C18，25，24 D20，30，25 答案：A第 16 题. （2007 内蒙呼和浩特课改，3 分）观察下列三角形数阵：则第 50 行的最后一个数是（ ）1225 1260 1270 1275 答案：D第 17 题. （2007 山东东营课改，10 分）根据以下 10 个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“ 2 2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来； 16 a20 bc3012 34 5
8、67 8 9 1011 12 13 14 15 （3）试由（1） 、 （2）猜测一个一般性的结论 （不要求证明） 答案：解：112920 29 2；122820 28 2；1327 20 27 2；142620 26 2；1525 20 25 2；1624 20 24 2；172320 23 2；1822 220 22 2；1921 20 21 2；202020 20 2 例如，1129；假设 1129= 2 2， 因为 2 2=（） （） ； 所以，可以令11，29解得，20，9故 2901（或 1129（209） （209）=20 29 2 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是： 12
9、8327465147230 若 ，a，b 是自然数，则 ab20 2400 若 ab40，则 ab20 2400 若 abm，a，b 是自然数，则 ab m 若 abm，则 ab 2 若 a1b 1a 2b 2a 3b 3a nb n40且| a1 b1|a 2b 2| a3b 3| a nb n|，则 a1b1a 2b2a 3b3 a nbn 若 a1b 1a 2b 2a 3b 3a nb nm 且| a1 b1|a 2b 2| a3b 3| a nb n|，则 a1b1a 2b2a 3b3 a nbn 说明：给出结论或 之一的得 1 分；给出结论或之一的得 2 分；给出结论 或 之一的得
10、3 分第 18 题. 2007 山东德州课改，10 分）根据以下 10 个乘积，回答问题：12982746156471920（1）试将以上各乘积分别写成一个“ ”（两数平方差）的形式，并将以上 10 个乘积按照从小到大的2A顺序排列起来；（2）若乘积的两个因数分别用字母 表示（ 为正数） ，请观察给出 与 的关系式 （不要求ab， ， ab证明）（3）若用 ， ， ， 表示 个乘积，其中 ， ， ， 为正1ab2 n 1a23n， ， 123nb， ， ， ，数请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论 （不要求证明）答案：解：（1） ； ；2221901801370； ； 21460；
11、；2505264 278； ； 9这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：129381274615264172381920（2） ab（注：若 ，则 4020422ab（3）若 ，123nababm且 ，nab 则 ，123 （注：若 12340nabab且 ，1 nab 则 9 分）23 第 19 题. （2007 山东济南课改，4 分）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示： 1236141452056363017414217则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ ）A B C D 答案：B132609560第 20 题. 观察下列等式：；65；41；3927；49163 用自然
12、数 （其中 ）表示上面一系列等式所反映出来的规律是 答案：n12()9第 21 题. (2007 山东威海课改， 3 分) 观察下列等式：， ， ， ， 2394102485025640265705283970请你把发现的规律用字母表示出来： 答案：mnA 2mn第 22 题. （2007 山西临汾课改，3 分）如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出五个数字，请你用含其中一个字母的代数式表示 abcde， ， ， ， 这五个数字的和为 答案： （或 或 或 或 ）5cb5d4a50e第 23 题. (2007 四川德阳课改，3 分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图
13、中“ ”方向排列，如（1，0） ， （2，0） ， （2，1） ， （3，2） ， （3，1） ， （3，0） 根据这个规律探索可得，第 个 10点的坐标为_答案： (148)，第 24 题. (2007 浙江湖州,4 分 )在平面直角坐标系中，已知 的坐标为 ，将其绕着原点按逆时针方向旋1P(0)，转 得到点 ，延长 到点 ，使 ，再将点 绕着原点按逆时针方向旋转 得到 ，延302P2O3P32O3 304P长 到点 ，使 ，如此继续下去，则点 的坐标是 4O55401答案： 104()，第 25 题. （2007 广东深圳课改，3 分）刘老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：1
14、2 3 4 59 10 11 12 1317 18 19 20 2125 26 27 28 2933 34 35 36 3741 42 43 44 45ac dbeO (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)x(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(3,2) (4,2)(4,3)(5,4)(5,3)(5,2)y输入数据 1 2 3 4 5 6 输出数据 712347那么，当输入数据是 7 时，输出的数据是 答案： 62第 26 题. （2007 浙江舟山课改，8 分）给定下面一列分式： ， （其中 x0）3579234,xxyy（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了
15、什么规律？（2）根据你发现的规律试写出给定的那列分式中的第 7 个分式答案：（1）规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于 ；2xy（2）第 7 个分式应该是157xy第 27 题. （2007 重庆，3 分）将正整数按如图所示规律排列下去若用有序实数对 表示第 排、从()nm， n左到右第 个数，如： 表示实数 9，则 表示的实数是 m(4)， (72)，1 第 1 排2 3 第 2 排4 5 6 第 3 排7 8 9 10 第 4 排答案：第 28 题. (2007 广西钦州课改， 2 分)按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ， ，按此235810724635规律排列下去，这列数
16、的第 个数是 （ 是正整数） 答案： （写成nn()n或 均可）21n2()第 29 题. (2007 四川资阳，8 分) 设 a1=32-12，a 2=52-32，a n=（2n+1） 2-（2n-1） 2 （n 为大于 0 的自然数）（1） 探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2） 若 一 个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“ 完全平方数” 试找出 a1，a 2，a n，这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由） 答案：(1) a n=(2n+1)2-(2n-1)2= ，241418
17、nn+-=又 n 为非零的自然数， a n 是 8 的倍数. 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数 .说明：第一步用完全平方公式展开各 1 分，正确化简 1 分.(2) 这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16， 64，144，256.n 为一个完全平方数的 2 倍时，a n 为完全平方数 .第 30 题. (2007 湖南邵阳课改， 10 分) 观察下列等式， ， ，1213143将以上三个等式两边分别相加得： 111324234（1）猜想并写出： 1()n（2）直接写出下列各式的计算结果： ；1342067 12(1)n（3）探究并计算：14682068答案：解：（1） ；1n（2） ；067 或 ；1（3）原式 1112462820681208346第 31 题. (2007 湖南岳阳课改， 3 分) 观察下列等式：第 1 行 341第 2 行 594第 3 行 716第 4 行 按照上述规律，第 行的等式为 答案：n 221()nn第 32 题. (2007 湖南张家界课改，3 分)观察一列有规律的数：4，8，16，32，它的第 2007 个数是（ ）A B C D 答案：C207207120206第 33 题. (2007 青海课改，2 分)观察规律并填空： ，第 5 个数是 ，第 个数是 1348， ， ， n答案： ；153n
