1、Matlab 作业题： 1、 作出函数 y=x4-4x3+3x+5 （ x0,6） 的图形，用小红点标出其在 0,6之间的最小值点，并在最小值点附近标出该最小值点的坐标值； 程序： function f=myfun(x) f=x.4-4*x.3+3*x+5; x=linspace(0,6,100); y=x.4-4*x.3+3*x+5; x1=fminbnd(myfun,0,6) y1=myfun(x1) 结果： x1 = 2.9115 y1 = -13.1300 plot(x,y,x1,y1,r*) text(x1,y1,2.9115,-13.1300); 0 1 2 3 4 5 6- 1
2、0 001002003004005002 . 9 1 1 5 , - 1 3 . 1 3 0 02、 某公司有一批以每桶 2 元购进的彩漆 ， 为了获得较高的利润 ， 希望以较高的价格卖出 ，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，投入 3 万元的广告费，销售因子为 1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的 1.85 倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表 2，现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大 ? 表 1 表 2 彩漆的销售量 摘要 在经济学中 ，某种产品的销售
3、量与产品自身的价格存在着负相关关系，即产品价格上升会导致产品的销售量减少，产品价格下降会导致产品的销售量增加 。与此同时， 广告宣传对产品的销售量也是影响深远的。 对一个企业而言，广告费既不是越少越好，也不是多多益善。广告活动的规模和广告费用的大小，应与企业的生产和流通规模相适应，在发展中求节约。 为研究产品销售量与售价和广告费用的关系，我们收集了 某 售价与预期销售量和广告费与销售增长因子的一些数据（见附录一），并建立了 预期销售量 1y 与售价 1x 的线性模型： 11 1333.54222.50 xy 销售增长因子 2y 与广告费 2x 的二次函数模型： 22 0 4 0 9.00 1
4、8 8.1 xy 220004. x 利润 p 与售价 1x 和销售增长因子 2x 的模型： 222211 )00 0 4.004 0 9.001 8 8.1)(13 3 3.542 2 2.50)(2( xxxxxp 关键字： 预期销售量 广告费 销售增长因子 线性回归 一、问题重述 随着经济全球化和市场经济的迅速发展，广告营销在企业营销战略中广告营销活动发挥着越来越重要的作用，是企业营销组合中的一个重要组成部分。为了在竞争激烈的市场中获得优势，我们试图确定一种商品的售价以及广告费投入，使得可以得到最大利润： 1、 对数据进行初步整理，利用数据拟合手段，画出散点图以及拟合曲线，找出各个变量之
5、间大致关系； 2、 在初步分析之后，再进行拟合数据、拟合曲线等的分析，挖掘数据之间的内在联系，初 步建立模型，应用 MATLAB 高级软件进行优化处理，得到所需结果； 3、 分析模型。 二、问题分析 人们购买商品，考虑得比较多的是商品的价格和品牌，一个公司如何在竞争激烈的市场中站稳脚步，靠的是顾客的青睐 ，而顾客的青睐度与产品的销售量是成正比的 。 因此， 制定合理的能让大众接受的产品价格， 至关重要。同时，打造一个良好的品牌信誉也是一个企业生存的必备条件。 由于广告促进了商品销售，也就促使生产成本和销售成本降低，也包括单位广告成本的降低，因此，广告宣传费用的投入是有其利益产生的。但是从经济学
6、的角度来考察，任何现实投入 都存在着边际产出的问题。也就是说，广告的费用投入同样应该适度，过度的投入不但不会使投入产出比增加，相反会引起投入产出的降低，使产品的生产和流通成本增加。因此，广告宣传也必须掌握适度原则。 在得出销售价格和广告费用投入对销售量有重要影响的结论后，研究销售量与销售价格和广告费用之间的关系就很有意义了。 三、符号说明 1y ：彩漆预期销售量 2y ：彩漆销售增长因子 1x ：彩漆售价 2x ：彩漆 广告费用 p：彩漆销售利润 四、 模型的建立与求解 模型建立 ： 记彩漆 预期 销售量为 1y ， 销售增长因子为 2y ， 售价为 1x , 广告费用为 2x 为了大致分析彩
7、漆预期销售量 1y 与售价 1x 和 销售增长因子 2y 广告费用 2x 的关系，首先利用表（ 1）的 数据分别作出 1y 对 1x 和 2y 对 2x 的散点图（见图 1 和图 2中的圆点） （程序见附录 二 ） 2 3 4 5 615202530354045图（ 1 ）y1 对 x1 的散点图0 20 40 60 8011 . 21 . 41 . 61 . 822 . 22 . 4图（ 2 ）y2 对 x2 的散点图从图（ 1）可以发现，随着 1x 的增加， 1y 的值有比较明显的线性递减趋势，图中的 直线式用 线性模型： 1101 xy （ 1） 拟合的 (其中 是随机误差 )。而在图（
8、 2）中，当 2x 增大时， 2y 有向上弯曲增加随后又向下弯曲减少的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 2222102 xxy （ 2） 拟合的。 模型求解 ： 直接利用 matlab 统计工具箱中的命令 regress 求解，使用 格式为： b,bint,rint,stats=regress(y,x,alpha) 模型（ 1） : b,bint,rint,stats=regress(Y1,X1,alpha) （程序见附录 三 ） 其中输入 Y1 为模型 （ 1）中 y1 的数据 的转置 ,X1 为对应于回归系数 ),( 10 的数据矩阵 ,1 1x ， alpha 为置信水平 ；输出 b 为
9、 的估计值，常记作 ， bint为 b 的置信区间， r 为残差向量 xy ， rint 为 r 的置信区间， stats 为回归模型的检验统计量，有 3 个值，第一个是回归方程决定系数 2R （ R是相关系数），第2个是 F 统计量值，第 3个是与 F统计量对应的概率值 P. 得到模型（ 1） 的回归系数估计值及其置信区间（置信水平 =0.05）、检验统计量 2R ， F， P的结果见表（ 1） 表（ 3） 参数 参数估计值 参数置信区间 0 50.4222 48.5762 52.2682 1 -5.1333 -5.5725 -4.6941 2R =0.9909 F=763.8589 P=0
10、.0000 结果分析 ： 表 （ 3）显示， 2R =0.9909 指因变量 1y （销售量）的 99.09%可由模型(1)确定， F 值远远超过 F 检验的临界值， P 远小于 ，因而模型（ 1）从整体来看是可用的。 表（ 3）的回归系数给出了模型（ 1）中 0 , 1 的估计值，即 0 =50.4222，2 =-5.1333. 销售量预测：将回归 系数的估计值代入模型（ 1），即可预测公司未来的彩漆销售量 y,预测值记作 1y ，得到模型（ 1）的预测方程： 1101 xy （ 3） 只需知道售价 1x ，就可以计算预测值 1y 模型 （ 2） ： b,bint,rint,stats=re
11、gress(Y2,X2,alpha) （程序见附录 四 ） 其中输入 Y2为模型（ 2）中 2 y 的数据的转置 ,X2为对应于回归系数 ),( 210 的数据矩阵 ,1 222 xx ，得到模型（ 2）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平 =0.05）、检验统 计量 2R ， F， P 的结果见表（ 4） 表（ 4） 参数 参数估计值 参数置信区间 0 1.0188 0.9702 1.0673 1 0.0409 0.0377 0.0442 2 -0.0004 -0.0005 -0.0004 2R =0.9970 F=819.7929 P=0.0000 结果分析： 表 （ 4）显示， 2R
12、=0.9970 指因变量 1y （销售量）的 99.70%可由模型 (2)确定， F 值远远超过 F 检验的临界值， P 远小于 ，因而模型（ 2）从整体来看是可用的。 表（ 4）的回归系数给出了模型（ 2）中 0 , 1 ， 2 的估计值，即 0 =1.0188， 1 =-0.0409， 0004.02 . 销售量预测：将回归系数的估计值代入模型（ 2），即可预测公司未来的彩漆销售增长因子 2y ,预测值记作 21y ，得到模型（ 2）的预测方程： 2102 xy + 222 x （ 4） 只需知道售价 2x ，就可以计算预测值 2y 某公司销售彩漆的利润可由以下公式算出： 广告费用成本销售
13、收入利润 p 即： 2211 )2( xyyxp 代入模型（ 1）、（ 2）的预测方程（ 3）、（ 4）可得： 222211 )00 0 4.004 0 9.001 8 8.1)(13 3 3.542 2 2.50)(2( xxxxxp （ 5） 利 用 MATLAB 工具对利润方程（ 5）求解 (程序见附录五 )得到： 1x = 5.9113 2x 35.2074 -118.9437p 可知，当售价为 5.9113 元，广告投入为 35207 元时，利润最大，最大利润为 118943.7 元。 模型改进 ： 在 利润模型 中我们可以看到，这个模型是以产品售价和广告费为自变量的，而在实际操作中
14、，顾客购买同类产品会更多地注意不同品牌之间价格的差异，而不是它们的价格本身，产品 的销售量或者说利润，不仅与售价有关，更多的还与同时期、同种产品的价格有关，这就需要引入价格差的概念，即与同时期市场上其他商家的该产品的售价差，因此，在研究最优营销策略时，用价格差代替售价将更为合适。 五、 模型总结 销售利润模型中有交互项 21xx ，考虑到了售价 1x 和广告费用 2x 的交互作用，说明该利润模型还是比较可信的。 从模型（ 2）的系数来看， 22x 的 系数 2 =-0.0004，趋近于零， 对整个模型最终的结果影响不会太大，可以考虑用其他多项式组合模型来表述本问题 。 六、参考文献 1 岳朝龙
15、，黄永兴， SAS 与现代经济统计分析，合肥：中国科学技术大学出版社， 2009 年。 2 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社， 2003 年。 3 易丹辉，数据分析与 Eviews 应用，北京：中国统计出版社， 2002 年。 4 张志涌，杨祖樱， MATLAB 教程，北京：北京航空航天大学出版 社， 2006年。 5 汪远征，徐雅静， SAS 软件与统计应用教程，北京：机械工业出版社，2007 年。 6 张尧庭，方开泰，多元统计分析引论，背北京：科学出版社， 2006年。 附录一 表（ 1） 售价 2 00 2 50 3 00 3 50 4 00 4 50 5 00 5
16、50 6 00 预期销售量（千桶） 41 38 34 32 29 28 25 22 20 表（ 2） 广告费（千元） 0 10 20 30 40 50 60 70 销售增长因子 1 00 1 40 1 70 1 85 1 95 2 00 1 95 1 80 附录 二 x1=2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00; y1=41 38 34 32 29 28 25 22 20; p=polyfit(x1,y1,1); x3=linspace(2,6,100); y3=polyval(p,x3); subplot(1,2,1) plot(x1,y1,
17、o,x3,y3) title(图（ 1） ) xlabel(y1 对 x1 的散点图 ) x2=0:10:70; y2=1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80; q=polyfit(x2,y2,2); x4=linspace(0,70,100); y4=polyval(q,x4); subplot(1,2,2) plot(x2,y2,o,x4,y4) title(图（ 2） ) xlabel(y2 对 x2 的散点图 ) 附录三 Y1=41 38 34 32 29 28 25 22 20 X1=ones(9,1) 2.00 2.50 3.00 3.50
18、4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 b,bint,r,rint,stats=regress(Y1,X1,0.05) 附录四 Y2=1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80; X2=ones(8,1) 0:10:70 0:10:70.2; b,bint,r,rint,stats=regress(Y2,X2,0.05) 附录五 function p=myfun(x) p=-(x(1)-2).*(50.4222-5.1333*x(1).*(1.0188+0.0409*x(2)-0.0004*x(2).2)+x(2); x0=1,10; x,p=fminunc(myfun,x0)
