1、12.3 导数的应用2.3.4 曲线的凹性及其判定法 2.3.5 曲线的拐点及其求法2.3.6 曲线的渐近线 2.3.7 函数图形的描绘方法一、相关问题1.如图所示，曲线 P= 表示某工厂十年间的产值()fx变化情况。设 是可导函数，从图形上可以看出该厂产()fx值的增长速度变化趋势下面哪个结论描述正确？为什么？(A) 前两年越来越慢，后五年越来越快；(B) 前两年越来越快，后五年越来越慢；(C) 前两年越来越快，后五年越来越快；(D) 前两年越来越慢，后五年越来越慢。二、相关知识1. （ ） 。2(1),01(,2)xxy 曲 线 在 区 间 内 有 (A) 2 个极值点， 3 个拐点； (
2、B) 2 个极值点，2 个拐点；(C) 2 个极值点，1 个拐点； (D) 3 个极值点，3 个拐点。2.函数 在 上有（ ） 。xf（ ） （ ） （ ） ，（ ）(A) 1 条竖直渐近线， 1 条水平渐近线； (B) 1 条竖直渐近线，2 条水平渐近线；(C) 2 条竖直渐近线，1 条水平渐近线； (D) 2 条竖直渐近线，2 条水平渐近线。三、练习题1.证明： （其中 ） 。2ln)(lnl yxyx yxx,0分析 不等式的两边表示式来看，左边是 在 x，y 处的值的和，右边是点ttfln)(x，y 的中点值的 2 倍，所以想到用函数凹凸的定义。证 令 ， （当 ）ttfln)()1l
3、nft01)(tf所以 是凹函数，由凹函数的定义 )lnl(2l2yxyx或即 n)(lnlyxyx2.求 的凹凸区间。319)(23f解 的定义域为（ ）x,P=f (t)P02 5 10 t（ 年 ）（ 年 ）2)2(162186)(2 xxxf)3(单调性及凹凸性讨论如下： 在 （ ）是凸函数； 在 （ ）是凹函数。xf23,)(xf,23在曲线上的点（ ）处，左边的弧是凸的，右边的弧是凹的，从而该点是凹凸的分界215,3点。3.(1)求曲线 的凹凸区间和拐点；(2)设函数 由参1,0(3),xey ()yx数方程 确定，求曲线 向上凸的 的取值范围为；(3)设函数31xty()yx由方
4、程 确定，是判断曲线 在点 附近的凹凸性。()ln0yx()yx1,)解 由 知曲线在定义域10000limlililim(3)0()xx xey内连续。(,)当 时，有0x12,03(),xey 14(2),03,xey当 时，由0x00()()0limlixxyx知函数 在 处的导数不存在，从而二阶导数也不存在。()yx( ),1 （1， 23）（ ，2）32 ( ),)f+ 0 0 +(x 0 + +)f极小值 9 极小值 7 3令 得 于是点 和点 把定义域 分为三个子区间。0y12x12x0x(,)当 时， ，故曲线是凸的；(,)0y当 时， ，故曲线是凹的；102x当 时， ，故曲
5、线是凸的点 和 是曲线的两个拐点。(,)y 21(,)e(0,由于 ，32(1)dttx222323()()41(1)dytttx显然 ；200ytxd200txd所以曲线 向上凸的 的取值范围为 或者()(,)(, 由于 ， ln120yy2ln0y从而在 处， ， (1,)31()所以曲线在点 附近是凸的。4.求曲线 的渐近线。ln(1)xye解 显然 是垂直渐近线；0x又因为 ，所以直线 是水平渐近线；lim0y又因为1ln()ln(1)liilim1xxxxeee1lil()li()lin()llimn0xxxxxx xx ee所以 是一条斜渐近线。y四、思考题1.是否有类似于极值第二判别法的关于拐点的第二判别法？答 有，若函数 在点 某领域内存在三节导数。且 则点xf0 ,0,0 xff是曲线 的拐点。事实上，将 在点 展开泰勒公式，有0,xfyhxf04当 充分小时，等号右端的符号由.0000 hoxfhoxffhxf 第一项 确定。当 时， 与 同号。xf0 0xf当 时， 与 异号。hh 即 在点 两侧变号，点 是曲线 的拐点。上述拐点的充分条xf0 00,xfxfy件的一般形式是，若 在点 某领域内存在 阶导数，且xf012k而 则点 是曲线,.,200 fxf k,0xf 0,xf的拐点。y
