1、 1 浅 谈数学思想方法与 中学 数学教学 金光中学 林泽铃 数学起源于人类生产和其它社会实践。数学思想方法伴随着数学的产生而产生，伴随着数学的发展而发展 。由此可见，有关数学思想方法的历史和数学的发展历史是同样悠久的。种种资料显示，历来的数学家和教育家都非常重视数学思想方法的作用。 长期以来 , 传统的数学教学方法在中学数学教学过程中起着主导作用 , 不少数学教育工作者对传统的数学课堂教学作了积极的探索，得出了很多宝贵经验，并取得了一定的成绩。我们在吸取他人经验的同时，要敢于突破传统教育观念的束缚， 现 结合作者本 人的数学实践， 讨论 如何突出数学思想方法在教学过程中的重要作用的问题，阐述
2、关于在教学中渗透数学思想方法的若干思路。 一、 挖掘蕴涵的数学思想方法 我们的数学课堂学什么？运算、概念，是的，这样的数学基础知识对一个人的数学素质是非常重要的，但它是不是影响学生以后一生的学习、生活和工作呢？要回答这样的问题，先让我们来看一组统计数字： 学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占 1%，使用数学的人占 29%，基本不用或很少用数学的占 70%。 再让我们来看一则特具讽刺意味的风景： 以高分数考 上名牌大学的高考宠儿们，当他们 大学毕业时，再让我们回过头做一做曾经手到擒来的高考数学试题时，留在他们脸上却是一片茫然。 面对如此的现实，我们不难发现，在学习数学的过程中，真正对学生以后
3、的学习、生活和工 作长期起作用，并使其终生受益的并不是数学知识，而是数学思想方法。 何为数学思想方法？ 所谓数学思想，就是对数学概念，方法和理论的本质认识，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想，它是数学科学和数学学科固有的，是数学的灵魂；所谓数学方法，就是数学思想指导下处理数学问题的具体手段和工具，是数学思想的具 体化反映，它是数学的根本。在一定的数学知识基础上，运用数学方法解决问题的过程就是感性认 识不断积累的过程。与这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升 为数学思想。数学思想对数学方法起着指导作用，而数学方法较之数学思想具有更大的灵活性，它可促进数学思想的发展。因此，人们通常将数学
4、思想和方法看成一个整体概念 数学思想方法。 在现实的数学教学过程中，由于数学思想方法比其他数学知识更抽象、更概括，加上它的隐蔽性，所以学生难以从教材中独立获取，因此，这就需要教师对数学思想方法的教学应高度重视，在教学中不失 时 机，地进行潜移默化，为学生创设适宜环境，让他们在“随风潜入夜， 润物细无声”中领会基本的数学思想。 在中学数学教学中，有一些数学思想渗透在各类知识之中，在教学的各阶段都起着重要的作用。而从当前的教学实际来看，这一重要的教学内容，恰恰受到不少师生的忽视。正是这一情况的存在，制约着中学数学教学质量的提高，影响着素质教育通过课堂教学这一主渠道得以落实。在中学阶段，学生应掌握的
5、主要有以下八种数学思想方法：符号思想方法，分类讨论思想方法，化归思想方法，数形结合思想方法，函数思想方法，方程思想方法，随机思想方法， 运用数学思想方法。在此分别简述如下： 1、 符号思想方法 符号思想是指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和结论的数学思想，是序化思想的一种体现，其主要特点是：简明性 ，直观性。 例如，分式基本性质，用数学符号表示是： bmam =ba ，2 mbma/= ba（其中 m 是不等于零的整式），显然，它比用文字陈述要简明 、直观 得多； 2、分类讨论思想方法 我们所 处的世界中一切事物都存在于同其他事物多种多样、错综复杂的普通联系之中，他们的本质和规
6、律性也就会在这些联 系中表现出来了。要在事物的相互联系中认识事物， 我们常常使用“分类”这一自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。数学中则依据数学对象属性的不同，将数学对象分为不同的种类，以便于人们把复杂的事物加以合理分类，然后一类一类地去加以考察研究，这是体现在中学数学中的重要思想方法。教师在教学过程中应做有心人，在教学中采用示 范、指导等方式，使学生学会分类处理复杂问题的思想。这种做法，在讲解数学基础知识时就应加以总结。 例如讲解求的绝对值：当 0 时， | |=；当 =0 时， | |=0；当 0 时， | |=-。这里 就体现了分类讨论研究的思想方法。在高中阶段，含有参数的数学问题
7、处于相当的地位，这对提高学生的敏捷性及数学素质，成为不可缺少的内容。它针对参数在一定范围内不同类别的取值， 会产生不同的效果进行分类讨论研究以及整体考虑，即 进行归纳。分类讨论研究的思想方法，不仅是数学教学，在其他学科的教学和实际生活中处处用到，学生应该通过数学的学习过程，逐步形成这一有用的思想方法。 3、化归思想方法 化归思想方法是一种把待解决或未解 决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的数学思想。这是反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。利用此思想方法，在解决数学问题时且直接解答难以进行时，应 把 陌生问题熟悉化；把
8、复杂问题简单化。例如，经常采用化高次方程为低 次方程、化多元问题为单元问题、化立体问题为平面问题 等具体做法来简化。 例：设 m， n， k是自然数且 n k,m k,证明： 组合恒等式 C0n Ckm +C1n C 1km + +Ckn C0m =Ckmn 分析：组合的许多公式都有现实问题的原型。对这样一个恒等式，如果我们能够构造一个具有两种解法的实际组合问题（即这一数学模型的现实原型），使得其中一种解法与等式左边相 对 应，另一种解法与等式右边相 对 应，那么 问题就得到解决。 事实上，可考虑下面的组合问题： 一年级有 n 名排球运动员，二年级有 m 名排球运动员，从两个年级共选出 k 名
9、排球运动员参加校际竞赛，问有多少种选法？ 解法一：考虑排球运动员来自哪个年级，相当于从（ m+n）名排球运动员中选出 k 名排球运动员，所以有 Ckmn 种不同选法。 解法二：考虑排球运动员来自不同年级，则选取方法有 k+1 类：当一年级选出 j 个（ o j k）时，二年级选出（ k j）个，这时有 Cjn C jkm 种不同选法，所以共有 C0n Ckm +C1n C 1km + +Ckn C0m 种不同选法。 这种解法的答案必须是相等的，因而所要证明的恒等式成立。 4、数形结合思想 数与形是现实世 界中客观事物的抽象和反映，同时也是我们数学的基石。在从十八世纪开始，笛卡尔就把“数”与“形
10、”通过直角坐标系建立了密切的关系，首创在直角 坐标平面上研究函数和几何等问题。在中学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合的思想，因此，在数学教学中，数形结合的结果，更有利学生理解数学知识，一旦学生形成了数形的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。在中学数3 学教学的整个过程中，特别是在教学函数和解析几何阶段，教师要处处提示学生认识数形结合的好处，帮助学生建立起数形结合的思想方法，这无疑是让学生掌握一种解决数学问题的锐利武器，学生对这一武器运用是否熟练，往往体现了学生数学能力的高低。下面就举一个例说明数形结合思想方法的好处。 例：如果 方 程 22 xx = +b 有解，试求参数 b 的取得范围
11、；又若此方程有唯一解，则 b 的取值范围如何？ 分析：本题如直接用代数方程讨论相当繁琐。下面通过数形结合方法，将求解的问题映射成坐标平面上的几何问题来处理，显得异常简单。 我们把原方程左边看成一个函数 y= 22 xx ，它是一个半圆（ y 0）；右边也看成一个函数 y=x+b，其图像是斜率为 1的直线，当参数 b（截距）变动时，形成一个直线族。于是原方程是否有解，等价于上述直线与半圆是否相交；若相交且 只有一个交点，则说明方程有唯一解。当直线与半圆相切时，该直线到圆心（ 1， 0）的距离为半径 1，由于 PAB 是等腰直角三角形，容易求出这时 b=-1+ 2 ，于是借助于几何直观，我们容易得
12、出如下结论：当 -2 b 2 1 时，直线与半圆有交点，即原方程有解；当 -2 b 0或 b= 2 1 时， 直线与半圆有唯一交点，即原方程有唯一解，如图 所示。 上一例子告诉我们，根据方程 结构的特征，构造出相应的几何 图形，并利用（解析）几何的知识 来研究解决问题，可以化抽象 为直观，有助于显露出问题的 内在联系。借助于几何直观可 以提供简捷的解题思路，避免 一些复杂运算和字母取值范围 的讨论，使问题求解更加顺利。 著名的数学家华罗庚教授曾专门写诗称颂数形 结合的重要意义，他写道： “数形本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直接，形缺数时难入微。 数形结合百般好，隔离两家万事休。 几何
13、代数统一体，永远联系莫分离。” 5、函数思想方 法 函数是现代数学的精髓，中学几何内容中的轨迹曾使不少中学生感到困惑，但用函数来描述，就显然很自然易懂。特别在高中阶段，教师若不注重引导学生建立函数的思想方法，那是无法学习高中数学的，更不能指望他们用函数的观点来处理面对的各种实际问题。 6、方程思想方法 方程思想方法指的是根据实际问题 建立方程并求解方程的基本数学思想。在中国古代数学中，解答数学应用问题主要是凭经验和技巧，缺乏一个适用各类应用问题的一般解法。 在现代数学中引入字母代表未知数之后，应用问题中的等量就可用未知数和符号组成的等 式即方程来表示，解答方程， 应用问题也就得出了答案。在中学
14、数学教学中，应通过方程、方程组以及 不等式、不等式组的解法，以及动用方程解答各类实际应用问题，培养学生学会方程求解的思想方法，并 熟练 运用。 7、随机思想方法 y=x+ 2 -1 y=x y= 22 xx y=x-2 4 随机思想早已应用于工农业生产、各经济领域、军事领域和科学研究及现代化生活各个领域，作为预测和决策的根据。在数学教学中，注重向学生渗透随机思想，对学生今后的人生道路将起到领路的作用。 8、应用数学思想方法 （ 1） 数学模型思想 。 数学模型思想 是用数学解决实际问题的最基本的方法 数学模型方法的指导思想，处 于所有数学之心脏，也处于某些最抽象的纯数学的核心之中，具备实践性、
15、实用性、综合性、简单性等特点。现实生活中的人口增长、银行复利、分期付款等与日常生活相关的问题都可以通过数学模型来解决 。 （ 2） 优化思想 。 在高度重视素质教育的今天，优化思想指 导下的“最优化”方法在解决现实生活中各种问题 显得特别重要。我国经济日益发达，经济方 面的数学问题已日渐成为人们的常识，如果我们的数学教学仍然 只满足于“思维体操”的功能，不管实际应用，恐怕要落后时代，误人子弟。因此，在数学教学中，重视应用数学思想方法已不容忽视。 二、 数学思想方 法教学应该遵循的原则 1、 渗透性原则 正因为数学知识是“点石成金”后的金 ， 而数学思想方法才是“点石”之指，这就要求我们在数学知
16、识教学的同时，必须注重数学思想方法的有机渗透和充分发挥 其自身具有的统帅作用。只有这样，才能有助于学生形成一个既有肉体又 有灵魂的活的数学知识结构，从而不仅会促进学生数学能力的发展，而且还会推动学生思维品质乃至整体素质的提高。 所谓渗透，就是在数学教学时 ， 必须以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，通过逐步积累，让学生对数学思想方法的认识由浅入深，由表及里， 渐渐地达到一定的高度。因址，在数学教学过程 中 ， 对思想方法的教学应做一个“渗透”的有心人。 2、 渐进性原则 古往今来，世人给我们留下的数学思想是非常丰富的。这些数学思想与我们所教学的数学知识一样，有难有易。因此，数学
17、思想方法教学必须结合两个实际，即教材实际和学生实际。而数学 思想方法是融合在数学知识之中的，所以这就需要我们教师全面地 熟悉教材，对教材中所反映的数学思想要有明确的认识，对教材内容从思想方法的角度作认真分析，在教学中不失时机地抓住机会，不断地一点一滴地再现有关数学思想方法，由浅入深，由易到 难分层次地贯彻数学思想的教学，做一个“层次”的选择者。 3、 明确性原则 从数学思想方法教学的整个过程看， 不明确地渗透，将会影响学生从感性认识到理性认识的飞跃，会 妨碍学生有意识地去掌握和领会。因此，在反复渗透的过程中，教师在适当时机予以明确是必要的。也就是说，数学思想方法教学应以明确性原则为目标。 4、
18、 参与性原则 由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。所以我们的教学活动过程中，教师作 为数学思想的传播者，应该认真组织好学生，让他们以一种积极的状态，主动的参与到数学教学过程中来，通过他们自己的学习劳动，以及教师的启发引导，逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。在这个过程中，学生的参与度非常重要，没有学 生的参与，那就不可能对数学知识、数学思想产生体验，没有了体验， 数学思想只能是一种空话，所以，我们应该创设能够吸引学生参与到数学教学过程中来的那种情境，让他们在数学知识的学习过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。 总之，教学要源于教材，又不拘泥于教材，要创造性地使用教材， 积极开发利用各种教学资源，在教学过程中 不失时 机地把蕴涵在教学内容中的数学思想渗透给学生，使学生在获取数学知识的同时，理解和掌握数 学思想方法，并能够灵活运用数学思想解决问题，这样的学生才有远见，才有 洞察力、创造5 力，才能使我们的数学教学朝气蓬勃、充满生机。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。 （责任编辑 潘振南）
