1、（一） 改变质量对地月系的影响,据研究表明，月球上有着丰富的矿产，世界许多国家也把开采月球矿产列为21世纪战略目标之一。那么，如果大量将月球上的矿产开采并运回地球，对地月系统会造成什么样的影响呢？,假设月球绕地球做匀速圆周运动，周期为 ，运动半径为 ，地球质量为 ，月球质量为 ，万有引力常量为G 于是可由月球绕地球做匀速圆周运动得,若将月球上质量为 的矿产运往地球，忽略运输时间，则月球的能量变为,由于 ，故E0恒成立。因此月球将绕地球做椭圆轨道运动（可视圆轨道为特殊的椭圆轨道）,设月球近地点距地心 ，速度大小为 ，远地点距地心 ，速度大小为,由角动量守恒可得,由机械能守恒可得,于是可解得,设月
2、球新的周期为 ，则由开普勒第三定律得,于是解得,因此月球绕地球运动的周期变短了！,以上考虑的仅为极为特殊的情况，实际情况要复杂的多。实际上并不可能一次将质量为 的矿物运往地球，而应是一个连续的过程。这里相当于每次都在月球的远地点实施搬运过程。但就定性研究来说，这种假设并不影响推导结果！,同样的，假如人类要在月球上建立“太空城”，采取类似推导也可得到相应结果。只需将 前的符号取反即可。在这种情况下可知，月球绕地球运动的周期变小了！ 实际情况应综合以上两种情况考虑，鉴于数学推导过于复杂，这里只作定性了解，不再推导。,（二）暗物质对行星运动的影响,由于是圆轨道，故 ,于是 应满足方程,（2）,若此行
3、星轨道稍偏离圆轨道，则r可写成,式中 是轨道半径的偏离量，它将随时间t变化，将上式代入方程（1），可得 所遵从的微分方程为,假设宇宙中的暗物质是均匀分布的，其密度为 ，并假设行星在运动中不与其发生碰撞作用，但却会受其万有引力作用。 对于绕恒星做匀速圆周运动的行星，按物质的作用实际上是增加了一个附加的向心力。因为对于行星轨道半径围城的球体外部的暗物质来说，其对行星的合作用力为零，这是从万有引力定律可以推导出来的，此处证明略。 设行星质量为m，恒星质量为M，行星轨道半径为r 则对行星运动有影响的暗物质质量,故行星所受暗物质的附加引力为,式中G为万有引力常量， =常量,由牛顿第二定律，行星在径向的动
4、力方程为,即,行星角动量为,因行星受力沿径向，故角动量守恒，L为常量，于是,（1）,由于 ，上式中 的高次项可忽略，得,利用（2）式，得,即,这是简谐振动的微分方程， 随时间t做简谐振动，圆频率为,而行星绕恒星做半径为 的圆周运动的角速度为,当无暗物质时， ，此时,这表明，行星绕恒星运行一周，r的振动也恰好经历一个周期，r的值去一次极大值一次极小值。因此行星的轨道是稳定的椭圆轨道，恒星位于椭圆的一焦点上，如图,当存在暗物质时， ，从而 ， 。这表明行星轨道不是一个严格的椭圆，因k很小， 只比 稍大。古仍可近似看作一椭圆，但不再稳定。因振动比圆运动超前一相位，椭圆将作进动。若行星逆时针运行，则椭圆进动方向为顺时针，设进动角速度为 ，则椭圆的轴转一周所需时间（即进动周期）为,进动一周时，原运动与振动之间的相位差为 ，即,故可得进动角速度 为,式中,代入得,假如我们可以观测到具有如此进动轨道的行星，那么一定程度上就验证了暗物质的存在，再根据暗物质会引发的其他现象综合起来，就有可能最终确定暗物质的存在！,
