1、第十二章 机械振动 一、选择题 （在下列各题中，均给出了 4 个 5 个答案，其中有的只有 1 个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内） 1. 在关于简谐运动的下列说法中 ，正确的是 ： （ ） A质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用， 则 该质点一定作简谐运动； B一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动； C物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动； D若一物理量 Q 随时 间的变化满足微分方程 0dd 222 QtQ ，则此物理量 Q 作简谐运动（ 是由振动系统本身的性质决定的 常量
2、） ； E. 篮球运动员运球 过程中 ，篮球作简谐运动 。 解：选 （ B、 D） 。 因为 一质点 作简谐 运 动必须受到 个恒指 向平衡位 置， 且与位移成正比的 弹性 力 （ 或 准 弹性力 ） 的作用 。 根据牛顿第二定律，小球在运动时受到 sin mgF 回复 力的作用，依题意，Ry tansin （式中 R 为 凹球面 半径），即 回复 力为 yRmgF ，满足 简谐运动 动力学判据。 简谐运动不仅是来回往复运动，而且应满足 位移 随时 间 是按正弦（或余弦）规律变化的。 简谐运动 的运动学特征是 0dd 222 yt y ，所以， 物理量 Q的 微分方程 0dd 222 QtQ
3、满足 简谐运动 运动学判据。 篮球运动员运球 过程中， 篮球 除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外，只受到始终向下的重力作用，不满足 简谐运动 动力学判据。 2. 一个沿 y 轴作简谐运动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T， 其 运动方程用余弦函数表示 。 下面左侧是振子的初始状态，右侧列出了一些初相位值， 试 用 连线的方法确定 它们的对应关系： k mm 0y图 12-2 A过2Ay处向 y 轴正方向运动 A/. 初相位为 43B过2Ay 处向 y 轴正方向运动 B/. 初相位为 C过平衡位置处向 y 轴正方向运动 C/. 初相位为 31D过 Ay 0 D/. 初相位为 21解： 由题意可画出
4、各种条件下的旋转矢量。 3. 如图 12-2 所示的弹簧振子，当振动到最大位移处恰有一质量为 m0 的 烂 泥 小球 从正上方落到质量为 m 的物块上，并与物块粘在一起运动。则下述结论 中 正确的是 ： （ ） A振幅变小，周期变小； B振幅变小，周 期不变； C振幅不变，周期变大； D振幅不变，周期变小； 解：选（ C）。 当 振子 正好在最大位移处时， 烂 泥小球 落 在物 块 上， 根据动量 守恒定律 ，在 y 方向有 0)( 0 vv mmm 所以，小球 不会 影响 振子 在 y 方向上的状态，即 不会影响振幅变化， 有 AA 。 由于周期是 由振动系统自 身性质所确定的，即 kmT
5、2烂 泥 小球 落 在物 块 前后， 振子 的质量由 m 变 化 为（ m+ m0），因此 相应的周期将发生变化，即 泥 球 落下前： kmT 2泥 球 落下后： TkmmT 024.已知弹簧振子的弹性系数为 1.3N/cm, 振幅为 2.4cm. 这一 弹簧振子的机械能 为（ ） A. 27.48 10 J B. 21.87 10 J y /mt/ s60 2 4 6-6图 12-3 C. 23.74 10 J D. 21.87 10J 解：选（ C）。 由机械能守恒定律得 22 2 2 211 1 .3 1 0 2 .4 1 0 3 .7 4 1 022E k A J 5. 一质点做谐振动
6、，周期为 T,它由平衡位置沿 x 轴负方向运动到离最大负位移 1/2 处所需要的最短时间为 （ ） A. T/4 B.T/12 C. T/6 D.T/8 解：选 (B)。 找旋转矢量转过的最小角度！ /62 / 12mm Tt T 6. 一 质点 作简谐运动， 其 振动方程为 )2cos( tAy ，则该物体在 0t 时刻与8Tt（ T 为 振动 周期）时刻的动能之比为： （ ） A 1:4； B 1:2； C 1:1； D 2:1。 解：选（ D）。 已知 振动方程为 )2cos( tAy ，则 振动 速度方程为 )2s in (dd tAty v 0t 时 ， A0v ， 222200 2
7、12121 kAAmmE k v 8Tt 时 ， ATTA 22)282s i n (1 v ， 222211 414121 kAAmmE k v 则 动能之比为 1210EE7. 一振动 系统的 振动曲线如图 12-3 所示，则其振动方程为： （ ） A )22cos(6 ty ； B )22cos(6 ty ； C )2cos(26 ty ； D )2cos(26 ty 。 解：选（ A）。 从图 12-3 所示曲线得 m6A ， s4T ， 22 T 还可知，当 t = 0 时， 00y ， 00v ，则由 Oy 3A 1A 2A图 12-8(c) 0cos0 Ay 和 0sin0 Av
8、 得初相位为 2则 振动方程为 )22cos(6 ty8. 一质点 同时 参与 了 两个方向同频率的简谐运动，其振动方程分别为： )34c o s (105 21 ty （ SI） )64s in (103 22 ty （ SI） 则其合振动方程为： （ ） A )34c o s (108 2 ty（ SI） B )64c o s (108 2 ty（ SI） C )34c o s (102 2 ty（ SI） D )64c o s (102 2 ty （ SI） 解：选（ C）。 质点 的同方向同 频率的 两个 简谐运动 方程分别为 )34c o s (105 21 ty )64s in (
9、103 22 ty )324c o s (103 2 t 合振动 仍为 简谐 振 动 ，其频率仍为分振动的频率 4 。 两个 简谐 振 动 的相位差为 332 12 满足相干减弱条件，则合振幅为 m102 221 AAA 可由图 12-8(c)的旋转矢量得 合振动 的初相位为 31 则 合振动方程为 )34c o s (102 2 ty （ SI） 9.一单摆的周期恰好为 1s,它的摆长为 （ ） A. 0.99m B. 0.25m C. 0.78m D. 0.5m 解：选（ B）。 直接带公式 2 lTg。 10. 一质点作简谐振动，频率为 f , 则其振动动能的变化频率为 （ ） A. 1
10、2fB. 14fC. f D. 2 f 解：选 (D)。 )(s i n2121 02222 tAmmvE K 把上式写成余弦函数，频率变成原来的2 倍。 二、填空 1.设质点沿 x 轴作简谐振动，位移为 x1、 x2 时的速率分别为 v1、 v2，此质点振动的周期为 221222221vv xx 。 解 ：由 cos( )x A t得 si n( )v A t ，所以有下式成立： 1 1cos( )x tA 1 1sin( )v tA 2 2cos( )x tA 2 2sin( )v tA 从而： 2 2 2 21 1 2 22 2 2 2 2 2x v x vA A A A 2. 如图 1
11、2-4 所示，垂直悬挂的弹簧振子由两根 轻 弹簧串接 ， 则系统的振动周期 T = 2121 )(2 kk kkm ；若物体 m 由平衡位置向下 位 移 y，则系统势能增量为 pE )(2 21221kk ykk 。 解： 两根 轻 弹簧串接 的系统可用一个等效 弹簧 振子来描述。设该等效 弹簧 振子伸长 y ，由于受力相同，而 k1、 k2 不同，则两弹簧的伸长量 1y 和 2y 就不相同，且 21 yyy (1) 设两弹簧受力为 F，则 ykF ， 11 ykF ， 22 ykF (2) 图 12-4 y / c mt /s01471013105- 10 图 12-5(a) O y01图
12、12-5(b) 将式 (2)代入式 (1)，得 21 kFkFkF 则等效 弹簧 振子的劲度系数 k 应为 2121 kk kkk 所以，等 效 弹簧 振子的振动周期为 2121 )(22 kk kkmkmT 3. 当谐振子的振幅增大 2 倍时，它的周期 不变 ，弹性系数 不变 ，机械能 增大 4 倍 ，速度最大值 增大 2 倍 ，加速度最大值 增大 2 倍 。 4. 一简谐 运 动的 振动 方程用余弦函数表示，其 y t 曲线如图 12-5(a)所示，则此简谐 振动的三个特征量为 ： A = 10 cm； 6rad/s； 3rad。 解： 由 图 12-5 可知， cm10A 当 00t 时
13、， cm50 y ， 00v ，可由如图 12-5(b)所示旋转矢量图得 30当 s11t 时， 01y ， 00v ，可由如图 12-5(b)所示旋转矢量图得 21而 231011 t则 632 5. 一质点作简谐运动， 角 频率为 ，振幅为 。当 t0 时，质点位于 20 Ay 处，且向 y 正方向运动，则 其 运动方程为： y = )3cos( tA ； 质点的速度 v 也作同频率的简谐运动，若仍以余弦函数表示，则速度 v 的初相位为 v 6，速度的 最大值 为 mv A 。 解： 由题意知， 当 t0 时，20 Ay ，且 00v ，则有 cos20 AAy 得 3 又由 0s in0
14、 Av ，知 0sin 则得 3则运动方程为 )3cos( tAy 又由于 速度的初相位 比位移 初相位 超前2，即有 速度的初相位为 2v 623 速度的 最大值 为 Am v 6. 一弹簧振子振动频率为 0 ，若将弹簧剪去一半，则此弹簧振子振动频率 和原有频率 0的关系 02 。 解 ： 弹簧截去一半后剩余部分的劲度系数变为原来的 2 倍。弹簧振子的角频率公式：2k m ， 所以在振子质量不变的条件下，弹簧的劲度系数变为原来的 2 倍后，振子的固有频率变为原来的 2 倍 。 7. . 如图 12-6 所示 ， 一弹簧振子置于光滑水平面上，静止于弹簧原处 ， 振子质量为 m。现 有一质量为
15、m0 的子弹以速度 v0 射入其中，并一起作简谐运动 。 如 以 此时刻作为计时起点，则初相位 2 ； 振幅 )( 0 00 mmk m v。 解： 由于 子弹 与 振子 的碰 撞满足动量守恒定律，则有 0000 )( vv mmm ，即 0000 vv mm m 式中 0v 为系统 作简谐运动 在 t = 0 时的初速度，也是系统速度最大值的负值，即 mvv 0 。 设 速度方程为 )cos( vvv tm ，则有 vvvv c o s0 mm 图 12-6 得 v 则位移的 初相位为 222 v由于系统 作简谐运动 时满足机械能守恒定律，则有 2200 21)(21 kAmm v 系统的
16、振幅 )( 0 0000 0000 mmk mmm mk mmk mmA vvv8. 作 简谐运动的质点， t 时刻的相位分别为 （ a） 45；（ b） ； （ c）3； （ d）2。试 在图 12-7 中 画出对应的旋转矢量图 。 分析与解题 各条件下的 旋转矢量 图如图 12-7 所示。 9. 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。则它们的相位差为 32 ；若将这两个分振动合成，则合振幅为 A A ；并在图 12-8 上用旋转矢量表示此相位差和合振幅。 解： 设这两个简谐运动方程分别为 )cos( 11 tA
17、y ， )cos( 22 tAy 由题意知，当 21 Ay 时，也有 22 Ay ，但运动方向相反。 即 31t时，应有 32 t图 12-7 图 12-8 则相位差为 212 4 52 3x= A si n( t)110.0 2 36 10 3.6 1022kE m v 合振幅为 AAAAA 32c o s2 222用旋转矢量表示的相位差和合振幅如图 12-8(b)所示。 10. 一谐振子的质量为 20mg ,周期 T=0.6s,振子经平衡位置的速度为 12cm/s,则再经 0.2s后振子的动能为 3.6 10-5J 解 ： 振子由平衡位置开始计时，位移图像按正弦规律变化 x=Asin( t) ,速度按余弦规律变化 v=A cos( t)，则再经 0.2s 后，即 T/3,由速度表达式知 Av= 2 =6,所以动能 2 4 5110 .0 2 3 6 1 0 3 .6 1 022kE m v 图 12-8 (b)
