1、 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 （带详解） 题组一 导数与函数的单调性 1.(2009广东高考 )函数 f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 说明 ( ) A ( ， 2) B (0,3) C (1,4) D (2， ) 解析： f(x) (x 3)ex， f (x) ex(x 2) 0， x 2. f(x)的单调递增区间为 (2， ) 答案： D 2.若函数 h(x) 2x kx k3在 (1， )上是增函数，则实数 k 的取值范围是 ( ) A 2， ) B 2， ) C ( ， 2 D ( ， 2 解析： 因为 h (x) 2 kx2，所以 h (x) 2 kx2 2
2、x2 kx2 0 在 (1， )上恒成立，即k 2x2在 (1， )上恒成立，所以 k 2， ) 答案： A 3已知函数 y ax 与 y bx在 (0， )上都是减函数，则函数 y ax3 bx2 5 的单调减区间为 _ 解析： 根据题意 a 0， b 0. 由 y ax3 bx2 5，得 y 3ax2 2bx， 令 y 0，可得 x 0 或 x 2b3a， 故所求减区间为 ( ， 2b3a)和 (0， ) 答案： ( ， 2b3a)和 (0， ) 4设函数 f(x) x3 ax2 9x 1(a0， 故 f(x)在 ( ， 1)上为增函数； 当 x ( 1,3)时， f (x)0，故 f(x
3、)在 (3， )上为增函数 由此可见，函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， 1)和 (3， )，单调递减区间为 (1,3) 题组二 导数与函数的极值和最值 5.(文 )函数 f(x) x3 ax2 3x 9，已知 f(x)在 x 3 时取得极值，则 a ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析： 因为 f(x) x3 ax2 3x 9，所以 f (x) 3x2 2ax 3，由题意有 f ( 3) 0，所以 3 ( 3)2 2a ( 3) 3 0，由此解得 a 5. 答案： D (理 )设 a R，若函数 y ex ax， x R 有大于零的极值点，则 ( ) A a 1 B a 1 C
4、a 1e D a 1e 解析： 由 y (ex ax) ex a 0 得 ex a， 即 x ln( a) 0 a 1 a 1. 答案： A 6.若函数 f(x) x3 3x a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 2,2) B 2,2 C ( ， 1) D (1， ) 解析： 由 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)， 且当 x 1 时， f (x) 0； 当 1 x 1 时， f (x) 0；当 x 1 时， f (x) 0. 所以当 x 1 时函数 f(x)有极大值，当 x 1 时函数 f(x)有极小值 要使函数 f(x)有 3 个不同的零点，只需满
5、足 f( 1) 0，f(1) 0. 解之得 2 a 2. 答案： A 7函数 y sin2x x， x 2， 2的最大值是 _，最小值是 _ 解析： y 2cos2x 1 0， x 6. 而 f( 6) 32 6， f(6) 32 6， 端点 f( 2) 2， f(2) 2， 所以 y 的最大值是 2，最小值是 2. 答案： 2 2 8 (文 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线 l 不过第 四象限且斜率为 3，又坐标原点到切线 l 的距离为 1010 ，若 x 23时， y f(x)有极值， (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f
6、(x)在 3,1上的最大值和最小值 解： (1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f (x) 3x2 2ax b. 当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b 0. 当 x 23时， y f(x)有极值，则 f (23) 0，可得 4a 3b 4 0. 由 解得 a 2， b 4. 设切线 l 的方程为 y 3x m. 由原点到切线 l 的距离为 1010 ，则 |m|32 1 1010 ， 解得 m 1. 切线 l 不过第四象限， m 1. 由于切点的横坐标为 x 1， f(1) 4. 1 a b c 4， c 5； (2)由 (1)可得 f(x) x3 2x2 4x 5
7、， f (x) 3x2 4x 4. 令 f (x) 0，得 x 2， x 23. f(x)和 f (x)的变化情况如下表： x 3， 2) 2 ( 2， 23) 23 (23， 1 f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x 2 处取得极大值 f( 2) 13， 在 x 23处取得极小值 f(23) 9527. 又 f( 3) 8， f(1) 4， f(x)在 3,1上的最大值为 13，最小值为 9527. (理 )已知函数 f(x) x3 2bx2 cx 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y 5x 10. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x) f
8、(x) 13mx，若 g(x)的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 g(x)取得极值时对应的自变量 x 的值 解： (1)由已知，切点为 (2,0)，故有 f(2) 0， 即 4b c 3 0. f (x) 3x2 4bx c，由已知， f (2) 12 8b c 5. 得 8b c 7 0. 联立 、 ，解得 c 1， b 1， 于是函数解析式为 f(x) x3 2x2 x 2. (2)g(x) x3 2x2 x 2 13mx， g (x) 3x2 4x 1 m3，令 g (x) 0. 当函数有极值时， 0，方程 3x2 4x 1 m3 0 有实根， 由 4(1 m) 0，得 m 1.
9、 当 m 1 时， g (x) 0 有实根 x 23，在 x 23左右两侧均有 g (x) 0，故函数 g(x)无极值 当 m 1 时 ， g (x) 0 有两个实根， x1 13(2 1 m)， x2 13(2 1 m)， 当 x 变化时， g (x)、 g(x)的变化情况如下表： x ( ， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2， ) g (x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 故在 m ( ， 1)时，函数 g(x)有极值； 当 x 13(2 1 m)时 g(x)有极大值； 当 x 13(2 1 m)时 g(x)有极小值 题组三 导数的综合应用 9.已知对任意实数 x，都有 f
10、( x) f(x)， g( x) g(x)，且 x0 时， f (x)0， g (x)0，则 x0， g (x)0 B f (x)0， g (x)0 D f (x)0， g (x)0 解析： 由题意知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数当 x 0 时， f(x)， g(x)都单调递增，则当 x 0 时， f(x)单调递增， g(x)单调递减，即 f (x) 0， g (x) 0. 答案： B 10某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系是 R R(x) 400x 12x2 (0 x 400)80 000
11、 (x 400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A 100 B 150 C 200 D 300 解析： 由题意得，总成本函数为 C C(x) 20 000 100x， 所以总利润函数为 P P(x) R(x) C(x) 300x x22 20 000 (0 x 400)，60 000 100x (x 400)，而 P (x) 300 x (0 x 400)， 100 (x 400)， 令 P (x) 0，得 x 300，易知 x 300 时， P 最大 答案： D 11设 f (x)是函数 f(x)的导函数，将 y f(x)和 y f (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确
12、的是 ( ) 解析：对于图 A来说，抛物线为函数 f(x)，直线为 f (x)；对于图 B来说，上凸的曲线为函数 f(x)，下凹的曲线为 f (x)；对于图 C来说，下面的曲线为函数 f(x)，上面的曲线 f (x)只有图 D不符合题设条件 答案 ： D 12 (2010南通模拟 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx c在 x 23与 x 1 时都取得极值， (1)求 a， b 的值与函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x 1,2，不等式 f(x) c2恒成立，求 c 的取值范围 解： (1)f(x) x3 ax2 bx c， f (x) 3x2 2ax b， 由 f ( 23) 12
13、9 43a b 0， f (1) 3 2a b 0 得 a 12， b 2， f (x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1)，函数 f(x)的单调区间如下表： x ( ， 23) 23 ( 23， 1) 1 (1， ) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以函数 f(x)的递增区间是 ( ， 23)与 (1， )，递减区间 ( 23， 1)； (2)f(x) x3 12x2 2x c， x 1,2，当 x 23时， f( 23) 2227 c为极大值，而 f(2) 2 c，则 f(2) 2 c为 最大值，要使 f(x) c2， x 1,2恒成立，则只需要 c2 f(2) 2 c，得 c 1，或 c 2.
