1、树人学校 2017-2018 第二学期高三模拟考试（四）数学第卷（共 70 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 1,23A|(3)0BxAB2.在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点位于第 象限iz3.设 ，则“ ”是“ ”的 条件 （填“充分不必要” 、 “必要不xR2x1x充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要” ）4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为 400 的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 的一等品，2
2、5,30)在区间 和 的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 20,5)3,)5.运行如图所示的算法流程图，输出的 的值为 k6.在平面直角坐标系 中，若抛物线 上横坐标为 1 的点到焦点的距离xOy2(0)ypx为 4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 7.书架上有 5 本书，其中语文书 2 本，数学书 3 本，从中任意取出 2 本，则取出的两本书都是数学书的概率为 8.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 nanS136910a9.记棱长为 1 的正三棱锥的体积为 ，棱长都为 1 的正三棱柱的体积为 ，则 1V2V110.若将函数 （ ）的图象向左平移 个单位所得到的图象关()
3、cos2)fx012于原点对称，则 11.在 中， 是底边 上的高，点 是三角形的重心，若 ， ，ABCHBCGAB4C，则 30()A12.已知函数 （ ， 为正实数）只有一个零点，则 的2)1fxaxb12ab最小值为 13.已知等边 的边长为 2，点 在线段 上，若满足 的点ABCPAC210PAB恰有两个，则实数 的取值范围是 P14.已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值集合为 2|1|,0()xaxfa第卷（共 90 分）二、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，ABCCabc
4、10osA， 2b5c（1）求 ；a（2）求 的值cos()BA16.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 分别为PCPABCABPMN， 的中点P（1）求证： 平面 ；/PBCMN（2）若 ，求证： 平面 AA17.某市为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路 如图所示，已知MNP， 是东西方向主干道边两个景点，且它们距离城市中心 的距离均为 ， 是B O82kmC正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心 的距离为 ，线段 段上的任4k意一点到景点 的距离比到景点 的距离都多 ，其中道路起点 到东西方向主干AB16km道的距离为 ，线段 段上的任意一点到 的距离都相等以 为原
5、点、线段 所6kmNP AB在直线为 轴建立平面直角坐标系 xxOy（1）求道路 的曲线方程；MNP（2）现要在道路 上建一站点 ，使得 到景点 的距离最近，问如何设置站QC点 的位置（即确定点 的坐标）？Q18.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，离xOyC21xyab0a2心率为 63（1）求椭圆 的方程；C（2）已知 为椭圆 的上顶点，点 为 轴正半轴上一点，过点 作 的垂线AMxAM与椭圆 交于另一点 ，若 ，求点 的坐标NN60A19.已知函数 ， （其中 为参数） ()lnxaefx()xgea（1）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；R()0xbb（2
6、）当 时，求函数 的单调区间；aef（3）求函数 的极值 ()fx20.已知无穷数列 的各项都不为零，其前 项和为 ，且满足nannS（ ） ，数列 满足 ，其中 为正整数1nnaS*Nnbnatt（1）求 ；2018a（2）若不等式 对任意的 都成立，求首项 的取值范围；211nnS*nN1a（3）若首项 是正整数，则数列 中的任意一项是否总可以表示为数列 中的其他1anbnb两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由 树人学校 2017-2018 第二学期高三模拟考试（四）数学答案一、填空题1. 2.三 3.充分不必要 4.100 5.926.6 7. 8. 9. 10.310
7、31669311.6 12. 13. 14.52822,二、解答题15.解：（1）在 中，因为 ， ， ，ABC10cosA2b5c所以 ，22cs25()910ab因为 是 的边，所以 ABC3a（2）在 中，因为 ，所以 ，10cosA(,)2A所以 ，223sin1cs1()01A在 中， ，即 ，所以 ，ABCsiniabB32sin10B5si又 ，所以 ，所以 ，(,)2(,)2225cosin1()所以 5030cos()csosin()151BABA16.证明：（1）在平面 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ，PMNPB/MNPB又 平面 ， 平面 ，PBCNC所以 平面 /
8、（2）在平面 中， ， ，所以 ，ABP/NBAN在平面 中， ， 为 中点，所以 ，PCMCP因为平面 平面 ，平面 平面 ，A所以 平面 ，MAB因为 平面 ，所以 ，PCMB又 ， 平面 ， 平面 ，CNNCMN所以 平面 AB17.解：（1）线路 段上的任意一点到景点 的距离比到景点 的距离都多 ，所MAB16km以线路 段所在曲线是以定点 ， 为左、右焦点的双曲线的右上支，NB则其方程为 （ ， ） ，264xy810x6y因为线路 段上的任意一点到 的距离都相等，所以线路 段所在曲线是以 为圆心、PONPO以 长为半径的圆，由线路 段所在曲线方程可求得 ，ONMN(8,0)则其方程
9、为 ，264(0)xy故线路示意图所在曲线的方程为：段： ，MN264(810,6)xyxy段： P2,（2）当点 在 段上，设 ，又 ，则 ，Q0(,)xy(,4)C220|(4)Qxy由（1）得 ，即 ，2064xy20|8Q则 ，即当 时， ，20|7()C0ymin|62k当点 在 段上，设 ，又 ，则 ，QNP1,x(,4)C21|(4)xy由（1）得 ，即 ，2164xy1|80Qy即当 时， ，10min|5Ck因为 ，6245所以 的坐标为 ，可使 到景点 的距离最近Q(17,2)QC18.解：（1）因为椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，所以C2632,63bca又 ，解得 所以
10、椭圆 的方程为 22abc6,2ab216xy（2）因为 为椭圆 的上顶点，所以 AC(0,)A设 （ ） ，则 ，又 ，所以 ，(,0)Mm2AMkmAN2ANmk所以直线 的方程为 ，AN2yx联列 与 得 ，所以 ，2myx162(3)10mx213Nmx所以 ，23AN在直角 中，由 ，得 ，M60AN3AM所以 ，解得 ，2 213mm6所以点 的坐标为 6(,0)319.解：（1）分离参数得：对任意 ， 恒成立，求导得 ，令xR()bgx1()xge，则 ，()0gx1x(,1)1 (,)()g0x极大值故 ， max1()()geb（2） 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，()
11、f(0,)2(1)xaefx1e，12()xefx由（1）知 ，即 ，当且仅当 时取等号，xe10x1x令 ，则 ，()0fx(0,1)(1,)()ffx极大值所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ()fx(0,1)(1,)（3） （ ） ，由上面知 ，又 ，故 ，2()xeafxxe0x1xe下面讨论处理：当 时， ，此时 在 上递增，在 上递减；0a0xe()fx0,1(1,)所以 ，无极小值；()(1)fxfa值当 时， ，此时 在 上递减，在 上递增，ae0x()fx0,1(1,)所以 ，无极大值；()(1)fxfae值当 时，令 ，下面证 在 ， 上各有一个零点0aex()x0,1(
12、,)因为 ， ， 在 上递减且连续，所以 在()0a1()0ae,a()x上有唯一零点 ，且 ，,1a1x1x易证： 时， ，故 ，0x2xe12()1()0aea又 ， 在 上递增且连续，所以 在 上有唯一零点 ，1()ae()x, ()x1,a2x且 ，2x故 在 上递减，在 上递增，在 上递减，在 上递增，()f10,1(,)x2(1,)x2(,)x所以 ， ，()()fxfae值 11()()lnlnxaeff a值22()()ln1lnxff值综上得：时， ，无极小值；0a()(1)fxfae值当 时， ，无极大值；1eff值当 时， ，0a()(1)fxfae值，11()lnlnaefxfx值22()()llxff a值20.解：（1）令 ，则 ，即 ，又 ，故 ；1n21aS21021a由 ，得 ，两式相减得 ，又 ，故1nnaS121n 21()nna10n，2所以 2018(1)09a
