1、 - 1 -第 26 章 二次函数26.1 二次函数及其图像一、.二次函数定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx例：如果函数 是二次函数，那么 m 的值为 。1)3(2mx解题思路：由二次函数定义 则 m=00【同步练习】、在圆的面积公式 Sr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系、已知函数 y(m2) 是二次函数，则 m 等于（ ）2xA、2 B、2 C、2 D、 2答案：1.D 2.B二、二次函数 的图像2yax(0)（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y（2）函数
2、 的图像与 的符号关系.2xy当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 0例：二次函数 与一次函数 的图象相交于点（1，1） 。2(0)yax(0)kxb（1）求二次函数解析式为，（2）求若一次函数的图像还过点（2、-3） ，求一次函数解析式（3）求二次函数和一次函数的图像另一个交点为【同步练习】1、将抛物线 y2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为。2、把抛物线 向右平移 2 个单位得到的抛物线是( )xA、 B、 C、 D、2y2)x(y2)x(y- 2 -
3、三、二次函数 的图像2()yaxk(0)a的图象 的图象2xy 2)(mxy的图象kxay2)(例：已知二次函数 ，24yx(1) 用配方法把该函数化为 (其中 a、h、k 都是常数且 a0)形式，并画出这个函数2h的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标.【同步练习】1、将 yx 22x3 化成 ya (xm) 2k 的形式，则 y 。2、抛物线 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向215x_。3抛物线 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。42y4.已知二次函数 .312x（1）用配方法化为 的形式.khay)(（2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画
4、出它的图象.（3）根据图像指出：当 取何值时， 随 值的增大而减小.xyx当 取何值时， 有最大（小）值，值是多少？四、二次函数 2yaxbc(0)1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.y2、二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中cxy2 khxay2- 3 -.abckbh422，例、请研究二次函数 的图象和性质：231xy开口方向： 对称轴： 顶点坐标： 图象与 x 轴的交点坐标： 图象与 y 轴的交点坐标： 图象与 y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标： 用五点法画函数的草图求这个函数的最值，当 x= 时， 当 时；y=0，当 时，y0；当 时，y0。图象在 x
5、轴上截得的线段的长是： 求图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积： 根据图像回答：当 x 时，y 随 x 的增大而增大，当 x 时，y 随 x 的增大而减小。【同步练习】、把抛物线 y 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的12x。321xy2.二次函数 的最小值是（ ）2()A.2 B.2 C.1 D.13.二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）2()3yxA.（1,3） B.（1,3） C.（1,3） D.（1,3）五、用待定系数法求二次函数的解析式1、二次函数解析式的三种形式：一般式： ，顶点坐标： 对称轴：直线 )0(2acbxy当 x= 时， = 最 值顶点式： ，顶点坐标：（ ， ）k
6、mxy2)(对称轴：直线 - 4 -当 x= 时， = 值最 .y两根式： ，其中 是 =0 的两个实数根，图象与 x 轴的两个交点)(21xa21,xcba坐标为（ ， ）和 （ ， ） 例 1：如图，二次函数的图象与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上的xy一对对称点，一次函数的图象过点 B、D（1）求 D 点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的 的取值范围x例 2：（2008 江苏镇江）二次函数的图象经过点 ， ， (03)A， (2)B， (10)C，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标
7、；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点【同步练习】1已知一个二次函数的图象经过点（0，0） ， （1，3） ， （2，8） 。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。 （2004 常州）2已知二次函数 的图象经过点（2，0） 、 （-1，6） 。bxay（1）求二次函数的解析式；（2）画出它的图象；（3）写出它的对称轴和顶点坐标。（2003 常州）- 5 -3.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 ，且 是 x 的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, y 21相应的输出值分别为 5, , 34（1）求此二次函数的解析式
8、；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范yx围. 26.2 用函数观点看一元二次方程求二次函数 y=ax2bxc 图象与 x 轴交点，即令 y=0，求出方程 ax2bxc=0 的两个实数根，这两个根就是焦点的横坐标。从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，例 1.已知二次函数 y=kx27x7 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围为：例 2.抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴交于点 A（3，0） ，对称轴为 x=1，顶点 C 到 x 轴的距离为 2，求此抛物线表达式例 3已知抛物线 y=mx2（32m）x
9、m2（m0）与 x 轴有两个不同的交点（1）求 m 的取值范围；（2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上；（3）当 m=1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标，并过 P、Q、P 三点，画出抛物线草图【同步练习】- 6 -1、抛物线 与 x轴有 个交点，相应二次方程 的根的情况283yx 2380x为 2、关于 的方程 25m有两个相等的实数根，则相应二次函数 25ym与 x轴必然相交于 点，此时 3、根据下列表格中二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是
10、（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.204、画出函数 的图象，根据图象回答下列32xy问题（1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程有什么关系？03（3）x 取什么值时，函数值 y 大于 0？x 取什么值时，函数值 y 小于 0？26.3 实际问题与二次函数例 1、(2008 山东 聊城)如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个
11、无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小例 1 题图- 7 -40030060 70y(件)x(元)的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由例 2、 （2008 年山东省青岛市）某服装公司试销一种成本为每件 50
12、 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，试销中销售量 （件）与销售单价 （元）的关yx系可以近似的看作一次函数（如图） （1）求 与 之间的函数关系式；yx（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额 总成本）为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？【同步练习】1. 已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得4)3(2axyABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为
13、 12m 的矩形广告牌， 广告牌的设计费为每平方米 1000 元请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？- 8 -3利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物 售 出 后 再 进 行结 算 ， 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 ） 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 ， 月 销 售 量 为 45 吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用
14、 100 元设每吨材料售价为x（元） ，该经销店的月利润为 y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由4如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽是 20 米，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10 米.x y A B C D O 5(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式.(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到
15、此桥为 280 千米(桥长忽略不计)，货车以每小时 40 千米的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 0.25 米的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 CD 处)，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行.试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米/时？- 9 -5.(2008 兰州) 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 1 所示), 拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的距离均为 5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中( 如图 2 所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱 的长
16、度；EF(3)拱桥下地平面是双向行车道( 正中间是一条宽 2m 的隔离带 ),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)? 请说明你的理由.6.(2008 内江) 如图 4,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子 ,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.yxO BAC图 220m10mEF图 16m- 10 -7.如图 26-3-2 所示，一位运动员在距篮下 4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当
17、球运行的水平距离是 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05m（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式（2）该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上 0.25m 处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？8.如图 26-3-15 所示，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm（1）求 S 与 x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为 45m2 的花圃，AB 的长是多少？（3）能围成面积比 45m2 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由
