1、注意事项1每名同学完成 3 个题目（每部分选择一个） ；2只需要电子版，以自己的“学号+名字”命名；3第 16 周周五上午上交， 发送至 ；(逾期课程无成绩，后果自负)。4本课程内容讲解已经结束，第 16 周周五是课程考核时间(无需到教室).（初等模型） 1 以下是一个数学游戏：（1） 甲先说一个不超过 6 的正整数，乙往上加一个不超过 6 的正整数，甲再往上加一个正整数，.，如此继续下去。规定谁先加到 50 谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？（2） 如将 6 改为 n，将 50 改为 N，问题又当如何回答？2 甲乙两人约定中午 12：00 至 1：00 之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等
2、待对方 10 分钟，求这两人能相遇的概率。3 某人由 A 处到位于某河流同侧的 B 处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使走的总路程最少？4 敏感问题的调查5 地面是球面的一部分， （直径约为 12.7210 公里 ） ，显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。设一建筑物高为 400 米，地面面积为 2500 平方米，问顶面面积比地面面积大多少？6 建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1) 若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为 ，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。7 消防队员救
3、火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。8 已知在气体中音速 V 与气压 P、气体的密度 有关，试求它们之间的关系。9 风车的功率 P 与风速 v、叶面的顶风面积 S 及空气的密度 有关，试求它们之间的关系。(微分方程模型） 1 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例系数 k 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为 R 且 3 小时中融化了总体积的 7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了 1/4（1） 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（
4、2） 如运输时间需要 2.5 小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3 一展开角为 的圆锥形漏斗内盛着高度为 H 的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4 容器甲的温度为 60 度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为 70度，又过十分钟后温度计读数为 76 度，试求容器乙内的温度。5 一块加过热的金属块初始时比室温高 70 度，20 分钟测得它比室温高 60 度，问：（1）2 小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高 10 度？6 设初始时容器里盛放着含净盐 10 千克的盐水 100 升，现对其以每分钟 3 升的速率注入
5、清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟 2 升的速率放出盐水，求 1 小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7 某伞降兵跳伞时的总质量为 100 公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为 0，经 8 秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为 0.6 试球给伞降兵下落的速度 v(t),并求其下落的极限速度。8 1988 年 8 月 5 日英国人 Mike McCarthy 创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地 179 英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。9 证明对数螺线 r=A 上任一处的切线与极径的夹角 的正
6、切为一常数，（ ）10 实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为 0.005。现有一包裹从离地 150 米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11 生态学家估计人的内禀增长率约为 0.029，已知 1961 年世界人口数为 30.6 亿（3.06 ）而当时的人口增长率则为 0.02。试根据 Logistic 模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？12 早期肿瘤的体积增长满足 Malthus 模型（=V，其中 为常数），（1）求肿瘤的增倍时间 。根据统计资料，一
7、般有 (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于 70 天而小于 465 天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故 是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式D = 13 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为 10m，重约 0.001g.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有 1cm 以上（即已增大 1000 倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有 30 天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，
8、太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于 个时即可凭借体内免疫系统杀灭。14 设药物吸收系数 （k 为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。15 医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到 A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。16 在法国著名的 Lascaux 洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在 1950 年做过检测
9、，测得碳 14 的衰减系数为每克每分钟 0.97 个，已知碳 14 的半衰期为5568 年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。17 2000 年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳 14 仅为原有量的 14%，试计算该动物大约生活在什么时候。18 1956 年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的文物的 每克每分钟衰减数为 3.06 个，试确定该古墓的年代。 19 实验测得一克镭在一年中会衰变掉 0.44 毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？20 根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数
10、量分别为 A 和 B，两物质反应的质量之比为 a : b，求 t 时刻溶液中生成物的数量 x(t)。21 牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5 ，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为 32 度，一小时后再次测量，测的体温约为 30.5 度，试推测该受害者的受害时间。22 已知铀 238 的半衰期为 4.51 10 年，已测出某颜料每克白铅中铀 238 的分解数为 100个/每分钟，试计算：（1） 每克白铅中有多少铀 238 分子（2） 铀在这种白铅中所占的百分比有多大？23 人们普遍认为新产品的畅销期为 x(t)位于 0.2K 至 0.8K 之间，试
11、求新产品畅销期的持续时间长度。24 某人每天由饮食获取 2500 大卡的热量，其中新陈代谢约需 1200 大卡，每公斤体重约需运动消耗 16 大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于 10000 大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。25 由于各级火箭的质量不同， 应当是不同的。请对三级火箭求出最优设计。26 在 2003 年上半年 Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。27 医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为 1/2 周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被
12、隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些。考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有 1/2 周的潜伏期及大约两年的周期性。28 人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流动的液体里，试建立模型来描写这一现象。29 自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。例如，对（3.23）曲线 和 可以证明：任一轨线都必垂直地穿过 f 的等斜线而水平地穿过 g 的等斜线。利用这一点画出 P-P 模型平衡点周围的轨线。30 是某一捕食系统的数学模型
13、，其中。研究此捕食系统，证明：不管开始时食饵 多么丰富，捕食种群 最终必将绝灭。31 大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。32 香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授的“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立的模型与那里给出的模型作一比较，看看你自己的模型建得如何）。 （逻辑模型） 1 设 p 为任一正整数且 p 不是某数的完全平方，证明 p 的平方根必为无理数2 证明自然数中有无穷多个素数3
14、 证明每两个相邻的奇素数之和必可表示为 3 个大于 1 的整数的乘积，例如3+5=222，7+11=233 等。4 一条直线将平面划分成两部分,两条直线最多能将平面划分成 4 部分，n 条直线最多可将平面划分成多少部分？请证明你的猜测。5 证明在 7 阶两色完全图中必存在 4 个 3 阶单色完全图6 9 名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意 3 人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为 3 种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有 3 人可用同一语言交谈。7 将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中
15、找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。8 举例证明：存在只含两个三阶单色完全图的 6 阶双色完全图。 9 证明：在 7 阶双色完全图中至少存在 4 个三阶单色完全图。10 举例证明：存在只含 4 个三阶单色完全图的 7 阶双色完全图。11 给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的 4 阶完全图）。12 在一次 9 个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这 9 人中必可找出 4 人，他们是两两相识的。13 某教室中共有 9 排椅子，每排均有 7 把，
16、学生恰好坐满教室。现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。14 有一个 88 格的正方形迷宫，任意相邻的两格间都有门相通，考虑以下问题：（1）项从最左下的格子进入迷宫，不重复地进入每一格子一次，最后由最右上方的格子走出迷宫，问这一想法能否实现。（2）仍从最下格进入迷宫，想进入每一格子一次最后从某格走出迷宫，这一想法在什么情况下是可以实现的？15 画出两个网络，根据这两个网络可以构造出两个不同的 10 阶完美长方形（不能相似）16 设 f(n)是正整数 n 的函数，其值为非负整数且： （1）f( m + n )f(m)f(n
17、) = 0 或 1 （2） f(2) = 0, f(3) 0, f(9999) = 3333求 f(2002)17 令 f(x)= ，你会发现 f(1) = 13，f(2) = 17， f(3) = 23， f(4) = 31，所有计算结果都是素数。据此猜测：对一切正整数 n，f(n)均为素数。这一猜测对吗？请研究这一问题，并给出你的结果。18 请按德.拉.鲁拜尔法则作出一个 7 阶的魔方19 证明 n 阶魔方的行和、列和等均为，例如，你上题求得的 7 阶魔方的行和等应为 175。20 研究为什么可以用德.拉.鲁拜尔法则来构造奇数阶的魔方是十分有趣的，你愿意试一下吗？（提示：方法之一是研究其中
18、的对称性，你不妨可以用定义、定理、推论的方法来逐步证明。方法之二是将所有的数都减去 1，然后利用 n 进制来表示所有的数，仔细观察一下，你就会找到原因了）21 设计出一种调整方法，利用图 11.10 中的 4 个 3 阶魔方构造出一个 6 阶魔方。得出你的 6 阶魔方后，总结一下你获得成功的原因，或许你还能想出别的办法来。22 计算例 7 中的城 2、城 3 各应负担多少费用。23 某公司场地如交给甲经营预计年获利为 10 万元，交给乙经营预计年获利为 50 万元，交给丙经营预计获利为 60 万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为 100 万元。试用Shapley 公式计算，在甲乙丙共同经营时各
19、方应分配到的利益。24 若只有两名候选人，证明简单多数规则满足 Arrow 的公理 1-525 举例说明简单多数规则和 Borda 数规则不能满足 Arrow 的所有公理。26 议会有 100 个席位，分别为 4 个党派所拥有，党派 A、B、C、D 各拥有的席位数为40、30、20 和 10 席。设法律规定提案被通过至少需达到 2/3 多数赞成，试用 Shapley 的公式计算各党派在议会中的权重，（设同党派议员投票一致）。27 设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。（
20、2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。28 设某实验可能出现 n 种结果，则每次实验提供的平均信息量为熵。证明：如将实验设计成出现每种结果的概率相等（均为 1/n），则能使每次实验提供的平均信息量最大（离散实验的最大熵原理）。29 猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0999 之一）的数字让乙猜。在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。乙可提问题，但甲只回答是或者不是。（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。30 在例 16 伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。你知道原因吗？31 举例证明：对多种商品的情况，按 定义的物价指数均不可能同时满足公理系统的要求。32 举一实例说明 Laspeyres 公式不满足公理（7）。33 关于物价指数的 8 条公理不是互相独立的，证明（1）（2）（3）可推出（4），（2）（3）（7）可推出（5）。
