1、第 1 页 共 8 页第五章 定积分及其应用主要内容内容提要：一、定积分的定义二、定积分的简单性质bababa dxgxfdxgf )()()(k0)(axfbabdxfd)(bcca fxf )()(当 是奇函数时， ；0ax当 是偶函数时， )(xf aadxfdf0)(2)(三、微积分基本公式CFdf)()()()()( aFbFfaba 四、定积分的计算：方法与不定积分相同1换元积分法（1）定积分的凑微分法 baba xdfdxf )()()(baufu)(F（2）定积分的第二类换元法令 ， ，则)(a)(badttftxdf )(2分部积分法第 2 页 共 8 页baba xdvux
2、vu)()(baxdu)(vx)(五、积分上限函数的导数：（1） )()(xfdtfxa（2） )()( xuftfxu（3） )()( xfdx 六、反常积分1、 ；1,pxp发 散收 敛2、 ,)a(dbp发七、定积分的应用（微元法）1平面图形的面积2体积：只要求旋转体的体积3弧长第 3 页 共 8 页第五章 定积分及其应用单元自测题一、填空题：1 0 。xdsin4分析 设 ，则fi)(4，)(sin)s(4xfxx即 是奇函数。)(xf2 = 。其中 = 。0df65)(xf2)21(0x分析 11020 )( dffxf 10)(dx。652(310x3利用定积分的几何意义计算定积分
3、 。24dx分析 表示上半圆 的面积，即圆 的面积的一半。24dxy42y因此，。2122 S4正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积xysin,0xx。 V2分析 0022cos1sindxdx。00 2sin40第 4 页 共 8 页5 .3114xd分析 。31lim313314 xx二、选择题： 1下列说法中正确的是（ B ） 。（A） )(xf在 ,ba上有界，则 )(xf在 ,ba上可积；（B） 在 上连续，则 在 上可积；（C） )(xf在 ,上可积，则 )(xf在 ,上连续；（D）以上说法都不正确。2设 1,2)(xf，则 在 2,0上的表达式为（
4、A ） 。xdtf0)()(（A） ；（B） 1,)(2x；（C） ；2,0)(2x x2（D） 2分析 当 时，。10x xdttfxxx2)()(00当 时，21tfdt11)(。22110xtx3设连续函数 满足： = ，则 =（ B ） 。)(xf)(f10)(df)(f(A) ； (B) + ； (C) ； (D) + .24243x23xx23分析 两边同时积分： 1021010 )()( dfxdf 102102)(df第 5 页 共 8 页。103)(2dxfx10)(32dxf解得 ，即 。从而， 。)(310df 410f 243xf4设 连续，且 ，若 ，则 =（ D ）
5、 。u2)(dx010)()(dfxkk(A) ； （B）1； （C）2； （D）4.分析 20010 )(4)()2( dufkudfkxdxfk 2020)()(4dxfdxfk解得 。45下列反常积分中收敛的是（ D ） 。（A） ； （B） ； （C ） ； (D) .1dx132dx102)(dx21xd分析 （1） ；（2）,pxp发 散收 敛 p,)a(bp发三、计算题：1 23cosd。 解 34)sin31(i220x。 20220323 sin)i1(coss xdxdx2 。04解 令 ，则 ，且当 时， ；当 时， 。txsintdxcos2x0t2xt所以， 0232
6、03 cossin4i84 tdtt202203 cs)1(cos2sin8 tttdtt第 6 页 共 8 页。1564)cos315(3220tt3 。10)lndx解 1021022102 ln)ln()ln( dxdxxd2102210210 arcsi)arcsi(arcsin xxxd 1021022102 ln)l(|)ln()l( dxdlarctln1l 102 x。23)(2121002 xd4。0sincosex解 31)lim(31)31(314 xxd 1020sin20sin sinicos udeudeexx。)(10101 e5 xdtexsinlim3022。
7、解 )(limli 40402222 xdtexdtexxxtesili3022第 7 页 共 8 页214lim4)(lim203)(0 xexexx。)arcsin(l)(l1n)(ln1 122 eee dxd4、应用题：1求由曲线 xy与直线 xy， 所围成平面图形的面积解 已知函数 在 的某邻域内可导，且 ， ，求)(f120)(lim12xfx 104)(li12xfx。312)(limxdtutfx解 212312312 )(3lim)(li)(li xdufxttfxdtutf xxx )12(6(lim)12(3lim1212 xfdufxfxx 。208)(li6)(li
8、122 fffff xx由 xy1知，两曲线的交点为 )1,(， ),，所以， 2ln3|)ln2()(2121 xdxA2求由曲线 与直线 xy所围成平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积2xy解 由 知，两曲线的交点为 )0,(， 1,第 8 页 共 8 页所以， 1042102102 )( dxdxdxV5)3(053求由曲线 cos4r（ 2）所围成平面图形的面积解 上半圆周为： ，16xay4下半圆周为： ，2所以， 42424 16)16()( dxadxadxV 。222031aa解得 2222 cos8cos8)cos4( dddA5)sin21(2。4求曲线 上相应于 x从 0 到 1 的一段弧的长度y解 由题意知， 02102)(dxds令 ，则 ，且当 时， ；当 时， ，txantdx2ecxt14t所以， 403402secst1 tdtds ).12ln(1|)tan|ltan(ec240
