1、1一元函数积分学及积分应用中的数学模型实验目的：1、掌握用 Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.2、学习使用一元函数积分求平面图形的面积、求曲线的弧长的方法.实验内容：1、计算一元函数的不定积分、定积分。2、用定义计算一元函数的定积分。3、求平面图形的面积、曲线的弧长。5.1 实验准备5.1.1 数学原理：1）曲边梯形的面积曲线 y=f(x)（a=g(x)（a None, “n“, “s1“, “s2“则输出这是 的一系列近似值. 且有
2、120xd 120.sxds例 2 计算 的近似值.10sinx输入Clearg;gx_=Sinx/x;js2=Tablen,s2g,0,1,n,n,3,50则得到定积分的一系列近似值:3, 0.91687, 4, 0.924697, 5, 0.929226, 6, 0.932175, 7, 0.934247, 8, 0.935783, 9, 0.936966, 10, 0.937906, 11, 0.93867, 12, 0.939303, 13, 0.939837, 14, 0.940293, 15, 0.940687, 16, 0.941031, 17, 0.941334, 18, 0.
3、941602, 19, 0.941842, 20, 0.942057, 21, 0.942252, 22, 0.942428, 23, 0.942589, 24, 0.942737, 25, 0.942872, 26, 0.942997, 27, 0.943113, 28, 0.94322, 29, 0.94332, 30, 0.943413, 31, 0.9435, 32, 0.943582, 33, 0.943658, 34, 0.94373, 35, 0.943798, 36, 0.943862, 37, 0.943922, 38, 0.94398, 39, 0.944034, 40,
4、0.944086, 41, 0.944135, 42, 0.944182, 43, 0.944226, 44, 0.944269, 45, 0.944309, 46, 0.944348, 47, 0.944385, 48, 0.944421, 49, 0.944455, 50, 0.944488注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随 n 增大收敛很慢 . 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度. 如果用 NIntegrate 命令可以得到本题的比较精确的近似值为 0.946083.例 3 用定义求定积分 的演示.2baxd输入Clearf, x, a, b;fx_ = x2;4a = 0;
5、 b = 1.5; m = 0;g1 = Plotfx, x, a, b, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;Tablett1 = ; tt2 = ;Fori = 0, i m “intervals“, m, 3, 50, 2执行以上命令, 可得到一系列图形 (共 24 幅). 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义 3intervals, 5intervals, , 49intervals.5.2.2 不定积分计算例 4 求 235(1).xd输入Integratex2*(1-x3)5,x则输出 369125
6、18503xxx例 5 求 2sin.xed输入IntegrateExp-2 x*Sin3 x,x则输出 21(323)xeCosSinx例 6 求 2arct.d输入Integratex2*ArcTanx,x5则输出 23 21166xArcTanxLogx例 7 求 si.dx输入IntegrateSinx/x,x则输出SinIntegratex它已不是初等函数.5.2.3 定积分计算例 8 求 120().xd输入Integratex-x2,x,0,1则输出 61例 9 求 40|2|.xd输入IntegrateAbsx-2,x,0,4则输出4例 10 求 214.xd输入Integra
7、teSqrt4-x2,x,1,2则输出 1346例 11 求 210.xed输入IntegrateExp-x2,x,0,1则输出 12Erf其中 Erf 是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入6NIntegrateExp-x2,x,0,1则有结果0.746824.5.2.4 变上限积分例 12 求2cos0().xdw输入DIntegratewx,x,0,Cosx2,x则输出22cosincosxx注意这里使用了复合函数求导公式.例 13 画出变上限函数 及其导函数的图形.20sinxtdt输入命令f1x_ := Integratet*Sint2, t, 0, x;f2x_ :
8、= EvaluateDf1x, x;g1 = Plotf1x, x, 0, 3, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;g2 = Plotf2x, x, 0, 3, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;Showg1, g2, PlotRange - All则输出如图.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.021125.3 设计实验5.3.1 求平面图形的面积例 14 求曲线 y=x3-2x 与 x 轴所围成的图形的面积，并作图。fx_ := x3 - 2*xPlotfx, x, -2, 2, PlotStyle - Red, Filling - Ax
9、isSolvefx = 0, x0,2,xx输入A = IntegrateAbsfx, x, -Sqrt2, Sqrt2输出27例 15 设 和 计算区间 上两曲线所围成的平面2()cosxfe()4cos(2).gx0,4的面积.输入命令Clearf, g;fx_ = Exp-(x - 2)2 CosPi x;gx_ = 4 Cosx - 2;Plotfx, gx, x, 0, 4, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1FindRootfx = gx, x, 1.06FindRootfx = gx, x, 2.93NIntegrategx
10、- fx, x, 1.06258, 2.93742则输出两函数的图形及所求面积 4.173.s1 2 3 411234x - 1.06258x - 2.937424.17413例 16 求曲线 y = sinx 和 y=cos2x（0 Red, Blue, Filling - 1 - 2A = IntegrateAbsfx - gx, x, 0, PiNA输出8-2 + 3 Sqrt33.19615例 17 求心形线 r=a(1+cost)所围成的图形的面积。输入Clear“*“rt_ := a*(1 + Cost)A = (1/2)*Integratert2, t, 0, 2*Pi输出 23
11、a画出 a=1 时的图形a = 1;PolarPlotrt, t, 0, 2*Pi0.5 1.0 1.5 2.01.00.50.51.0例 18 求阿基米德螺线 r=at（0 Red, Thickness0.022 2 4 6432115.3.2 求平面曲线的弧长例 19 计算 与 两点间曲线的弧长.()sini),fxx(0,)f(2,)f输入命令Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx;Plotfx,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi则输出曲线的图形及所求曲线的弧长 12.0564.1 2 3 4 5 6
12、1.00.50.51.012.0564注: 曲线 在区间 上的弧长 .()yfx,22201()sfxd例 20 求曲线 y=x2（1 Red, Thickness0.01;ShowA, Bs1 = IntegrateSqrt1 + fx2, x, 1, 3s2 = Ns110输出1 1 2 3 451015125637264ArcSinhrcSinh8.26815例 21 求曲线 x=sin t3，y=t （-1 Red, Thickness0.01;ShowA, Bs1 = IntegrateSqrtxt2 + yt2, t, -1, 1s2 = Ns1输出1.0 0.5 0.5 1.01.51.00.50.51.01.512439cosdtt2.81252例 22 求阿基米德螺线 r=at 最初一圈的弧长。输入
