1、1可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收 敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛Several Common Convergence of Measurable Function ColumnAbstract: This artirle introduces the measurable function column of several common convergence: uniform convergence, almost uniform converge
2、nce, almost everywhere convergence, convergence in measure and the relationship between them.Key words: Measurable functions are listed; Uniform convergence; Almost uniform convergence; Convergence in measure; Almost everywhere convergence前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等可是一般而言
3、函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2 函数 在收敛域 内不一致收敛，但对于一个 当 时在 内一()fx0,1 00,致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的” 11 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛 3设 是定义在点集 上的实值函数若对于 存12(),(),(),kfxfxf E0,在 使得对于 都有KNKE()kfxf则称 在 上一致收敛到 记作： (其中 u 表示一致 uniform)()kfxEukf 1.2 点点收敛2若函数列 在点集 上每一点都收
4、敛，则称它在12(),(),(),kfxfxf DE上点点收敛 D例 1 定义在 上的函数列 则 在 上点点收敛到函数0,E1(),kfx()kfx,0.f而且还能看出 在 上不一致收敛到 ，但对于 在 上()kfx0,1()fx0,()kfx,1一致收敛到 1.3 几乎一致收敛 3设 是可测集，若 使得 在 上有 则称E0,E(),mEukff 在 上几乎一致收敛与 ，并记作 (其中 a.u表示几乎一致()kfx()fx.aukff almost uniform) 例 2 定义在 上的函数0,1E()kkfx在 上收敛却不一致收敛但是只要从 的右端点去掉任一小的一段使之成为0,10,1则 在
5、此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以,0()kfx称之为在 上几乎一致收敛与 0E1.4 几乎处处收敛 3设 是定义在点集 上的广义实值函数若存在12(),(),(),kfxfxf nER中点集 ，有 及对于每一个元素 ，有EZ0mxZlim()kxff则称 在 上几乎处处收敛与 ，并简记为 或()kfx ,.kfaeE.aekff 若上文的例 1 也可以称之为在 上几乎处处收敛与 0,1()x1.5 依测度收敛例 3 在 上构造函数列 如下：对于 ，存在唯一的自然数 和 ，0,)()kfxkNij3使得 其中 令2,ikj02,ij1,)2()(,1,20,1).ikjfxxkx任意给
6、定的 对于每一个自然数 ，有且仅有一个 ，使得 数0,1xij01,)2iijx列 中有无穷多项为 1，有无穷多项为 0由此可知，函数列 在 上()f (kf点点不收敛因此仅考虑点收敛将得不到任何信息然而仔细观察数列 虽然0)x有无穷多个 1 出现，但是在“频率”意义下，0 却也大量出现这一事实可以用点集测度语言来刻画只要 足够大，对于 点集k01,)(1,)2kiixfxj的测度非常小事实上1(0,1)()2kimxfx这样对于任给的 总可以取到 也就是取到 使得当 时，有0, 0, 0k()()1kxfx其中 这个不等式说明，对于充分大的 ，出现 0 的“频率”接近 1我们02ih将把这样
7、一种现象称为函数列 在区间 上依测度收敛到零函数，并将抽象()kfx,)出以下定义 3：设 是可测集 上几乎处处有限的可测函数若对于12(),(),(),kfxfxf E任意给定的 有0lim()0,kxf则称 在 上依测度收敛到函数 ，记为()kfxE.mkff 2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道 ，必有 点点收敛于 如例 1ukff ()kfx()fx4反之则不一定成立，如例 2而且还可以得到若 是可测集 上的可测函数列，()kfxE则 也是可测函数()fx2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛 反之则不. .
8、( )auaekkfff 然，如例 2而且还可以得到若 是可测集 上的可测函数列，则极限函数()kfxE也是可测函数应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算()fx和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E opoB)定理 5：设 是 上一列 a.e收敛于一个(),nmEfa.e有限的函数 的可测函数，则对于任意的 ，存在子集 ，使 在f 0Enf上一致收敛，且 E()注 定理中“ ”不可去掉如：例 4 定义在 的函数列E(,)1,(0,()1,2).)mxmf则 在 上处处收敛于 1，但对于任何正数 及任何可测集 ，
9、当时mf(0,)E时， 在 上不一致收敛于 1这是因为，当时 时，EmfE ()m不能全部含于 中，必有 ，于是有 (,(,)mx)0xfsup)mxEffx所以 在 上不一致收敛与 1，也即定理中“ ”不可去掉 4()mxf ()E由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设 是 上 a.e有限的可测函数，则对于任意的 ，存在闭子集()fxE05，使 在 上是连续函数，且 EF()fxF ()mEF也就是说：在 上 a.e有
10、限的可测函数 “基本上 ”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)也即我们可以用连续函数来逼近 a.e有限的可测函数2.4 几乎处处收敛与依测度收敛的关系例 5 取 ，将 等分，定义两个函数：(0,1E，(1)1,(0,2,xf(1)210,(,2,xf然后将 四等分、八等分等等一般的，对于每个 ，作 个函数：(0,1 nn()1,(,2,2.0,nn nj jxjf我们把 ，先 按后按 的顺序逐个的排成一列：(),12,njxf j()()()()()1122,nnffxffx (1)在这个序列中是第 个函数可以证明这个函数列是依测度收敛()njxf jN于零的这是因为对于任何的 ，0
11、()njfE或是空集(当 )，或是 (当 )，所以11,2(nj1()02nj nfm(当时 时，左端为 0)由于当 趋于 时 ，由此可见2(1,2.)nnjN ，(0)lijNEf6也即()0mnjxf 但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛事实上，对于任何点 ，无论 多0(,1xn么大，总存在 ，使 ，因而 ，然而 或j01(,2njx()01njxf()njf，换言之，对于任何 ，在 中必有两子列，一个恒为()10njxf0,x()j1，另一个恒为 0所以序列(1)在 上任何点都是发散的(这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F
12、Riesz) 5 设在 上 测度收敛于 ，则存在子列 在 上EnffinfEa.e收敛于 f例 6 如例 4，当 当 但是当 时，()1()mxfx01(,)mfE且 这说明 不依测度收敛于 1(,)n这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue) 5 设 ， 是 上 a.e有限的可测函数列， nfE在 上 a.e收敛于 a.e有限的函数 ，则nfE()()mnxff 此定理中的“ ”不可去掉，原因参看例 1定理也说明在的在的条件m下，依测度收敛弱于几乎处处收敛有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设 ， 是 上的可测函
13、数列，那么 依测度收敛于 的充要条件Enf nff是： 的任何子列 中必可找到一个几乎处处收敛于 的子序列nfk证明（必要性） 由于 依测度收敛于 ，由定义知道这时 的的任何子nffnf序列 必也依测度收敛于 ，由黎斯定理可知 中必存在几乎处处收敛于knf kn7的子序列f（充分性） 如果 不依测度收敛于 ，即存在一个 ，使得nff0()nmE不趋于 0因此必有子序列 ，使得knf()0.liknfa这样 就不可能再有子序列几乎处处收敛于 了，否则由勒贝格定理知将有knf f依测度收敛于 ，即k f()0.limknkEf这与上式矛盾，所以 依测度收敛于 nf应用 依测度收敛在概率统计中有重要
14、的意义，如例 3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算 7结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同参考文献：1马克思主义基本原理概论教材编写课题组马克思主义基本原理概论M 高等教育出版社，2009,72 华东师范大学数学系数学分析( 第三版)M 高等教育出版社， 2001,63 郭懋正实变函数与泛函分析M 北京大学出版社， 2005,24 柳藩，钱佩玲实变函数论与泛函分析M 北京师范大学出版社， 19875 程其襄，张奠宙，魏国强等实变函数与泛函分析既基础M 高等教育出版社，2003,76 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编实变函数与应用泛函分析基础M上海科学技术出版社19877 茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计教程M高等教育出版社，2004,78学年论文成绩评定表评 语成 绩： 指导教师(签名): 20 年 月 日学院意见：学院院长(签名): 20 年 月 日
