1、1第 2 章 导数与微分2.1 学习目标（1）让学生掌握导数概念及实际意义，（2）掌握微分的概念，熟练掌握求导法则，（3）会应用导数或微分解决实际问题。2.2 知识脉络导 数 的 定 义导 数 导 数 的 几 何 意 义导 函 数 的 求 法 （ 复 合 函 数 、 隐 函 数 等 ）导 数 与 微 分 微 分 定 义微 分 微 分 的 求 法可 导 与 可 微 的 关 系2.3 重点和难点（1）重点：导数的概念及几何意义；一个函数在某点可导与连续的关系,可导与可微的关系（2）难点：求导的计算；复合函数、隐函数求导数的计算。22.4 疑难问题与分析2.4.1 导数的概念在点 处可导是指极限)(
2、xf0xxffx)(lim00存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 0)(li0xfx函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上点 处)(xf0x)(f )(xfy)(,0xf切线的斜率。曲线 )(fy在点 )(,0f处的切线方程为 )()(00xfxfy函数 )(xfy在 0点可导，则在 0点连续。反之则不然，函数 )(xfy在 0点连续，在 0x点不一定可导。2.4.2 函数求导方法常见函数的求导方法有（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数
3、表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数 ，求 。xy2)1(y在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即212321)1( xxxy再用导数的加法法则计算其导数，于是有323213xxy这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数 ，求 。321xyy显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 )2ln(31)l(lnxx两端求导得 )()1(2xy整理后便可得 )2(6823xx若函数由参数方程 )(ty的形式给出，则有导数公式 )(dtx能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的
4、求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。2.5 典型例题解析2.5.1 用导数的定义求函数导数的方法例 2.1 求 在 处的导数.xy0解 由导数的定义知.0lim0li)(lim)( 00 xxxfff xx例 2.2 求 ，的导数.ln1()f，4解 当 时， ， 0xxf1)(当 时， ，x)(f当 时， ，0 xfxfxx )0(lim0)(li00 所以 ，1m)(fx，1eln)1l(i)ln(i00 xxxf因此 ，1)(f于是 1,()fx0.x小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数
5、的求导公式求得.2.5.2 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例 2.3 设 求 .,1)(3xxf)(xf解 ，316123)( f.1543632()fxx例 2.4 设 求 .)lnyy解 利用复合函数求导法求导，得 2 221ln()(1)yxxx )(12x )1(22 xx5. 11222 xx小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数 在点 可导，否)(xf0则法则失效. 如 在 点，用四则运算法则求导， 不存在， 但由例 1 知 xy00y在 的导数为 0.对于复合函数，要根据复
6、合结构，逐层求导，直到最内层求xy0完，对例 4 中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.2.5.3 对数求导方法例 2.5 已知 = ，求 .yx2)(1y解 两边取对数，得： ，)2ln()1l(nl2xx两边对同一自变量 求导，得x，21)2l()1l(n1 222 xxy.)()(ln)( 222 xx小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数， （2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.2.5.4 隐含数的求导法例 2.6 已知 求 .2arctnl,xyy解 两端对 求导，得 )(1)(1222 yxxy2222 xxyx 整理得 ，故 )( y6
7、上式两端再对 求导，得x2)()(1)(1xyxyy= 2)(xy将 代入上式，得xy.2)(xy 32)(yxx32)(xy小结 在对隐函数求二阶导数时，要将 的表达式代入 中，注意，在 的最后表y达式中，不能出现 .y2.5.5 由参数方程所确定的函数的求导法例 2.7 设 求 ， .cosinxty， dyx2解 d()1sicottx2ddcoscos1()()()d1sin1ininytttxxxx .22si(i)csi(si)ttttt小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分 、yd，然后作比值 ，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须
8、分清xdxyd是对哪个变量求导.2.5.6 求函数微分的方法7例 2.8 求函数 的微分.xytanle解一 用微分的定义 求微分， 有fd)( xxxy dsectan1ee(d 2ltanltanl .)2si1tl解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得xxxytanltanltanl ede)(d)t(ltltlant1etanltanl xxdcosd2tltl.xx)2sin1(etanl小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.2.5.7 利用微分求近似值例 2.9
9、求 的近似值.29sin解 设 ，由近似公式 ，得xf)( xfxfxf )()(0000cossin)sin取 ，则有0,6180x.4890)1(239sin0例 2.10 有一批半径为 的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层铜，厚度为cm1，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 ）cm01. 3cmg.解 所镀铜的体积为球半径从 增加 时，球体的增量.故由 知，所c01v34r镀铜的体积为 v04.4)34(d1r8质量为 .g219.804.m小结 利用公式 计算函数近似值时，关键是选取函数xfxfxf )()(000的形式及正确选取 .一般要求 便于计算， 越小，计算出函数)(xf ,
10、 , x的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时， 必须换成弧度.2.5.8 求曲线的切线方程例 2.11 求曲线 的切线，使该切线平行于直线 . 2235(1)()4xy28xy解 方程 两端对 求导，得 x32(1)()0xy， y2)3( y3由于该切线平行于直线 于是28,x， ， ， .23yx)3(1y042yxyx24因为切线必在曲线上，所以，将 代入曲线方程得42235()1()4y2500y，解之 ，此时 ,12y1 242(), 4()0xx切点的坐标为 , ，切线的斜率为直线 的斜率)(08y2因此得切线的方程分别为， 即 ，)2(1xy 032x， 即 .
11、0y2.5.9 求函数的变化率例 2.12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是 ，问 2 末受到扰动的水面面积的增大率为多少？6ms9解 设最外圈波纹半径为 ，扰动水面面积为 ，则 rS2r两边同时对 求导，得 t trtd2从而 2222 16dtttt rrS又 为常数，故 （类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系） ，6t因此 ，故有 .12tr )(142dsm22tS因此，2 末受到扰动的水面面积的增大率为 .s s2小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法
12、，弄清是对哪个变量的导数.2.6 同步习题及解答2.6.1 同步习题 A 组1、求下列函数的导数（1） ； （2） ； （3） ；xeay7 4sectan3xxy xtycos1in（4） ； （5） ； （6） ；1ln52 63i2（7） ； （8） ； （9） .xy3cos xytal yln2、求下列函数的二阶导数 2dx（1） ； （2） .xycos 12xey3、求由下列方程所确定的隐函数的导数 dxy10（1） ； （2）xy2 yxxsinco4、求下列函数的微分（1） ； （2） ；xln yarsi（3） ； （4） ,21tay 2tnl3coxB 组1、单选题（1
13、） 在 处（ ）2xyA.连续 B.不连续 C.可导 D.可微（2）下列函数中（ ）的导数等于 x2sinA. ； B. ； C. D. .xcosx2coscox2sin（3）已知 ，则 （ ）ycs10yA. ； B. ； C. ； D. .sinsxsincos2、填空题（1）函数 上点 处的切线方程为 .xyln10,1（2）已知 ，则 .32f hffh23im0（3）若 可导，则 的导数为 .uf xfysin3、判断下列命题是否正确？为什么、（1）若 在 处不可导，则曲线 在点 处必无切线；xf0 fy0,xf（2）若曲线 处处有切线，则函数 必处处可导；fy（3）若 在 处可导，则函数 在 处必可导；xf0xf0（4）若 在 处可导，则 在 处必可导。4、求下列函数的导数（1） ； （2） ； （3） ；2secxy xxyarcosrtnxy12（4） ； （5） （6） ；s1in1cot
