1、圆锥曲线中的定值问题摘要：在圆锥曲线中常遇到定点定值问题，含参 变量的问题对 于学生来说经常都比较难；由于需要在变当中寻找不变所以学生若遇到时常不敢面对。本文希望通过对一些基本题型的研究对此类问题进行简单的一个分析，需求有助于此 类问题的较深入探 讨关键词：圆锥曲线 定值 定点 方程组正文: 定值问题在圆锥曲线中常会出现，如何在变当中找出不变这个问题很多学生都不敢面对，本文通过对此类问题的解析希望能有助于学生或老师的学习与研究。先来看看抛物线的两个性质：直线过抛物线 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，2yPx性质一：若 ，证：12(,)(,)AxyB2211,4解析：（法一）当直线 AB
2、 垂直 X 轴时，易得 ，所以(,)(,)AB2211,4Pyx当直线 AB 不垂直 X 轴时，A，B 在抛物线上， ，由 A，F，B 三点共线得：221,yP，整理得： ；121212 2yyPxyP21上式两边同时平方得： ， ，24121,yxP214x（法二）设直线 AB 方程： ，联立抛物线方程： ，得：xky2220yPk又韦达定理得 ，又由法一得21yP214x性质二 ， 求解方法与上雷同。1|AF| 1|BF|从上述经典题型中，我们可以直观感受到定值定点（求定点即求定值）的求解方法。（1）从特殊入手，求出定值（点） ，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理，计算，并在计算推理的
3、过程中水运变量，从而得出定值（点）在圆锥曲线中，若遇直线与圆锥曲线相交问题，常联立其方程组，代入消元后利用韦达定理。例 1.已知椭圆 1，过右焦点 F 作不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 A、 B 两点， AB 的垂直平分线x29 y25交 x 轴于 N，则| NF| AB|等于 （ ） A B C D23214解析：本题是选择题，可采取特殊值入手，不妨设直线为 X 轴，易得答案 B。解：由已知 ，设直线 AB 的方程：(,0)F(2)ykx由 得：2195ykx22(95)36450kx设 ，线段 AB 的中心 ， ，则由韦达定理得12(,)(,)AxyB0(,)Cxy(,)Nn，于是22136
4、3645959kkx218095k另外由 得： ， ，NCNCAB0xn20895kxy2280()9595kkF又 2221130(1)()495kABxx:1:3NFAB例 2已知抛物线 y24 x 上两个动点 B、 C 和点 A(1,2)，且 BAC90，则直线 BC 必过定点 解析：设 B( ， y1)， C( ， y2)， BC 的中点为 D(x0， y0)，则 y1 y22 y0，直线 BC： y214 y24x y214y24 y214，即：4 x2 y0y y1y20 ；又 0， y1y24 y020，代入式得：y y1y2 y1 ABC2(x5) y0(y2)0，则动直线 B
5、C 恒过 x50 与 y20 的交点(5，2)由上两例求解可得，只要利用条件，围绕方法，按部就班求解，即可水到渠成。以下题型中只要抓住上面的求解方式，那么一切将变得如此美妙。1.直线 l 与抛物线 y24 x 相交于 A、 B 两点 若 4，证:直线 l 必过一定点（2，0） 。OAB2.已知，椭圆 C： 13E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值 23.设轨迹 E： 225xyb与 x轴交于 BD、 两点,在 E上任取一点 1,(0)Qxy（ ） ,直线QBD，分别交 轴于 MN， 两点.求证:以 为直径的圆过两定点.
