1、1圆锥曲线中的最值和范围问题一、 【基础考点】与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点:(1)圆锥曲线的定义和方程；（2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程；（3）a、b、c、p、e 的几何意义及相关关系；（4）二次函数、均值不等式及导数的应用。基础自测：1已知双曲线 (a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的12byax直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2,)2 P 是双曲线 的右支上一点， M、 N 分别是圆( x5) 2 y24 和( x5)2
2、196xy2 y21 上的点，则 |PM| |PN|的最大值为（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.93抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )A B C D4758534已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P 在双曲线的21,(0,)xyabb右支上，且| PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（B）(A) (B) (C) (D)43532735已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 . 326对于抛物线 y2=4x 上任意一
3、点 Q，点 P（ a，0）都满足| PQ| a|，则 a 的取值范围是( B )（A） （，0） （B） （，2 （C） 0，2 （D） （0，2）二、 【方法归纳】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进2行
4、巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。典型例题【例 1】已知点 M(-2，0)， N(2,0)，动点 P 满足条件 .记动点 的轨迹|2MPNP为 W.（）求 W 的方程；（）若 A， B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 的最小值.OAB解：（）依题意，点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （ x0）2xy1 （）
5、当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x x0，此时 A（ x0， ） ， B（ x0， ） ， 2 2 20 AB当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx b，代入双曲线方程 中，得：(1 k2)x22 kbx b220y1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得| k|1，22124()()00kbbxk又 x1x2 y1y2 x1x2（ kx1 b） （ kx2 b）OAB（1 k2） x1x2 kb（ x1 x2） b2 2k41 综上可知 的最小值为 2【例 2】已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=
6、1 上移动， Q 点在椭圆 上移动,试求 |PQ|的最29xy大值。解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心 O1时| PQ|最大，因此要求| PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.设 Q(x， y)，则| O1Q|2= x2+(y-4)2 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) 将代入得| O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 87因为 Q 在椭圆上移动，所以 -1y1，故当 时， 1max3此时 max3P3【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变
7、量取值范围的考察不能被忽视。【例 3】长度为 （ ）的线段 的两个端点 、 分别在 轴和 轴上滑动，点 在线段a0ABABxyP上，且 （ 为常数且 ） ABPB0（1）求点 的轨迹方程 ，并说明轨迹类型；C（2）当 =2 时，已知直线 与原点 O 的距离为 ，且直线 与轨迹 有公共点，求直线 的1l 2a1lC1l斜率 的取值范围k答案：(1)设 、 、 ，则(,)Pxy0(,)A0(,)By，由此及 ，得001()xAB 220|ABaxya，即 （*）221(1)xya221yax当 时，方程（*）的轨迹是焦点为 ，长轴长为 的椭圆0 )0,(a12当 时，方程（*）的轨迹是焦点为 ，长
8、轴长为 的椭圆1 )1,0(a当 时，方程（*）的轨迹是焦点为以 O 点为圆心， 为半径的圆 2（2）设直线 的方程： ，据题意有 ，即 1lhkxy12akh21kh由 得 2249ayxhk 0492)4(92ahkx因为直线 与椭圆 有公共点，所以 1l 22ayx ,081)(922hak又把 代入上式得 ： 2kah 53,572k【例 4】椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在 轴上，其离心率 , 过点 C（1,0）的直线x32e4与椭圆 E 相交于 A、B 两点，且满足点 C 分向量 的比为 2.l BA（1）用直线 的斜率 k ( k0 ) 表示OAB 的面积；（2）当OAB 的面
9、积最大时，求椭l圆 E 的方程。解：（1）设椭圆 E 的方程为 ( a b0 )，由 e = a2=3b2 故椭圆方程12yax 3cx2 + 3y2 = 3b2 设 A(x1,y1)、 B(x2,y2),由于点 C（1，0）分向量 的比为 2，AB 即 由 消去 y 整理并化简0321 21)1(yx)1(32xkyb得 (3 k2+1)x2+6k2x+3k23 b2=0 由直线 l 与椭圆 E 相交于 A（ x1,y1）, B(x2,y2)两点得：13602212kbxABC的 内 分 点 ）是恒 成 立 （ 点而 S OAB |1|23|)1(|23|2| xkxkyyy由得: x2+1
10、= ，代入得： S OAB = 13k 0（2）因 S OAB= ,当且仅当 S OAB取得最大值23|2k ,3k此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2321x将 x1,x2及 k2 = 代入得 3b2 = 5 椭圆方程 x2 + 3y2 = 5 【例 5】设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆 顺次交于 A、 B 两点，若 试求l2941PB的取值范围.解：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ;l 5当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，)(,21yxBA， l 3kxy消去 得y5yO1A2B2A1B.MF02x.解之得 045492kxk .
11、4956272,1kx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情形.0当 时， ， ，0k4956721kx 22kx所以 .12x52 5918225918k由 ， 解得 ，0498)54(2k2k所以 ，5112综上 .15【例 6】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果12byax(0)x 12cxby(0)圆” ，其中 ， ， 22cba0c如图，设点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 是0F12 1A21B2“果圆” 与 ， 轴的交点， 是线段 的中点xyM21（1） 若 是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；012（2）设 是“果圆”的
12、半椭圆 上任意一P12cxby(0)点求证：当 取得最小值时， 在点 或 处；MP12B， 1A（3）若 是“果圆”上任意一点，求 取得最小值时点 的横坐标MP解：（1） ，22012()00FcbcFbc， ， ， ， ，于是 ，2202 121b， 2223744abc，所求“果圆”方程为 ， 4(0)7xyx 24(0)3yx（2）设 ，则()Pxy， 2| caM2 2()1() 04bacxbcxc， 6， 的最小值只能在 或 处取到012cb2|PM0xc即当 取得最小值时， 在点 或 处 12B， 1A（3） ，且 和 同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭|21A21(0)xyxab圆 上，所以，由（2）知，只需研究 位于“果圆”的半椭圆2(0)yxbc P上的情形即可 21a2| yaxPM 2222 4)()()( cabcaxc 当 ，即 时， 的最小值在 时取到，2()c a 2|PM2)(x此时 的横坐标是 P2)(c当 ，即 时，由于 在 时是递减的， 的最小值在ax2)(c2|Pax2|PM时取到，此时 的横坐标是 a综上所述，若 ，当 取得最小值时，点 的横坐标是 ；2ac |PM2)(ca若 ，当 取得最小值时，点 的横坐标是 或ca2|Pac
