1、1目录1 引言 .22 文献综述 .22.1、国内外研究现状 .22.2、国内外研究现状评价 .22.3、提出问题 .23、构造法在数列中求通项公式的应用 .33.1、构造一个等差数列或一个等比数列 .33.2、型如 ( 为常数且 ， )的数列 .4nfpan1p01p3.3、形如 的复合数列 .60,12f3.4、取倒数构造等差数列或等比数列 .73.5、特征方程构造等差数列或等比数列 .83.6、其它特殊数列的特殊构造方法 .93.6.1、取对数来构造新的数列 .93.6.2、换元来构造新的数列 .103.6.3、两个数列的复合构造等差或等比数列 .103.7、逐差构造法求高阶等差数列得通
2、项公式 .113.8、 构造一个具备连续递推功能的简单数列 .133.9、归纳构造法 .134、数列构造法在数列求和中的应用 .154.1、逐差构造法 .154.2、利用组合数公式构造数列的通项求和 .164.3、拆项构造法 .165、数列构造在证明中的运用 .175.1、构造数列证明不等式 .175.2、构造数列证明整除性命题 .185.3、构造数列证明恒等式 .196.参考文献 .2021 引言构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具
3、体问题的特点而采取相应的解决办法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。 数列的实质是“按照一定规律”排列成的一列数，描述这种“规律”的最简单的形式是通项公式。因此，求数列的通项公式是研究数列的一个主要课题。等差数列和等比数列以及它们的前 n 项和所成的数列是一些最特殊最基本的数列。它们的通项公式用演绎法套公式解决。对于其它类型的数列，构造法求通项公式是一种重要的方
4、法，即构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新法案。下面我们通过举例来说明通过数列构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.2 文献综述2.1、国内外研究现状国内外对数列的研究大多侧重于研究数列的通项公式及数列的求和、数列在生活中的应用，如楼梯设计、人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题等多方面的应用2.2、国内外研究现状评价数列是以种特殊的函数，在研究数列的问题上不能只按数列的思想来看待问题，应用函数的观点来看待数列，看待问题2.3、提出问题3高中教材中的数列都是一些简单、低阶的数列，很难培养学生的发散思维和创新能力，因此应把数列穿插到
5、函数中和适当讨论一些高阶的数列的通项公式、求和，以达到训练学生发散思维，提高学生的思想的创新能力.3、构造法在数列中求通项公式的应用3.1、构造一个等差数列或一个等比数列一个非等差、非等比数列，给定初始项的值及一个递推公式（如某些高阶递归数列） ，通过递推关系式直接变形，或应用待定系数法，若能构造成一个等差数列或以个等比数列，那么它的通项公式便可求得。例 1 在数列 中，已知 ， ，求通na1a0121 nnaa项 .na解 递推式 两边同时除以 （0211 nn n1，否则与 矛盾） ；01na121nan构造辅助数列 ；nbna1是与 -3 为首项，-2 为公差的等差数列nb- +1an1
6、n-2n-1a12a= 2bb= =1-32把 代入上式，得1a21na例 2 已知数列 满足 且 ，求通项n 2094311na121a.n解 用待定系数法，构造等比数列 .1n4假设 可转化为094311nnaa 11nnaa即 比较系数可知，则 、 为方程 的两根：94309432X，032X3原关系式化为 112nnnaa构造一个以 为首项， 为公比的等比数列321 132na21nna221332nnn 21233nna把上面各式累加起来：，其中2133nna1a解得 2nn3.2、型如 ( 为常数且 ， )的数列fpann1p01p型如 ( 为常数且 ， )的数列，其本身并不是a等
7、差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式.5（1） （ 为常数） ，可以构造等比数列求解.qnf例 3 已知数列 满足 ， ，求通项 .na2131nna2na解 由 ，得21nn 1nna又 ，故数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列021an22所以 nna11注：一般地，递推关系式 ( 、 为常数，且 ， )qpann1 0p1可等价地改写成 ，则 为等比数列，从而qann1 n1可求 n（2） 为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解.如f（ 为常数） ，两边同除以 ，得 ，则可转化为nqfnq11nnap得形式.pbnn1例 4 已知数列 中
8、， ， ，求通项 .na6511123nnana解 由条件得 231nn令 ，则nab2b即 ，又 ，31n351a341b所以数列 为等比数列，故有n，即3241nb3241nna所以 nna（3） 为等差数列，如 型递推式，可构造等比数列f CBnAa16求解.例 5 已知数列 满足 ， ， ，求 .na1121nan2na解 令 ，则qpbnqpb所以 ，带入已知条件得a11221nnn即 1 qpbn令 ， ，解得： ，02p0q46所以 ，且1nb6nan故 是以 3 为首项， 为公比得等比数列n2因此 ，故 .1n431n注：此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与
9、比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解3.3、形如 的复合数列0,12nnaf形如 的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再,a用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解 例 6 已知数列 满足 ， ， ，求na12a*412Nnann.na解 有已知可得: nnn aa2211又 3122a所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列nn121所以 1132nnna7即 ，nnna2131亦即 ，又621nn 21a所以 数列 是以首项为 2，公差为 6 的等差数列a故 4n因此 1233.4、取倒数构造等差数列或等比数列一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解
10、 例 7 已知数列 中， ， ，求 .na11naNna解 由已知，得 1nn设 ，则nab1nb故 是以 为首项，1 为公差的等差数列n1所以 nbn即 ab1例 8 若数列 中， ， 是数列 的前 项和，且 ，na1nSnannS431求数列 的通项公式 .nn解 由 ，得nnS431431nS令 ，则有nnS1 28故 2131nnS所以数列 是以 为首项，3 为公比的等比数列n1即 ，所以nnS32111nS当 时，由 1nna2得 13832121nnn所以 22ann3.5、特征方程构造等差数列或等比数列对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解如满足 的数列，可
11、00,1 BCADDCBAan ，为 常 数 ， 且令特征方程为 ，变形为 ，如方程由两异根 ，x2xx ,则可令 ，则数列 是首项为 ，nnaca1为 待 定 常 数cna1a公比为 的等比数列；若方程有二重根 ，则可令 cnn1，则数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，然后为 待 定 常 数cna11ac代入 的值可求得 值，于是可求得 .21,acn例 9 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项 .n21a21annan解 令 ，化简得2x0x解得 ，129令 11nnac由 ，得 ，可得254231c所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列1na131故 3nn解得 nna1例 10
12、已知数列 满足 ， ，求数列 的通n216411nna*Nna项 .na解 令 ，化简得642x012x解得 121令 cann1由 ，得 ，求得24321所以数列 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列21na521a故 35nn所以 6103a3.6、其它特殊数列的特殊构造方法3.6.1、通过取对数来构造新的数列求解例 11 在数列 中，若 且 ，求数列 的通na3121na正 整 数 na项 .na10解 由提意可知 ，将 两边同时取对数得0na21na，即nnlg2l1ln所以数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列nal3l1故 12lg2gnn所以 123na3.6.2、通过换元来构造新的数列求解例 12 在数列 中， ， ，求 .n1annn a2416 n分析 本题的难点是已知递推关系式中的 较难处理，可构建新数列 ，令 ，这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化，便nbnn241于化简变形解 令 ，则 ，0nna51bnna24即 241nba则原条件转化为 nnn b241162化简得 ，即2213nnb31n变形得 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列n21故 ，即nnnb2332nb所以 12134nnna3.6.3、对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解.例 13 在数列 、 中， ，且 ，求 ，nab1annba7151na
