1、 2 函数的幂级数展开(一) 教学目的：掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开熟记一些初等函数的幂级数展开式.(二) 教学内容：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式基本要求：(1) 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开(2) 学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开(2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题Taylor 级数设函数 在点 有任意阶导数.)
2、(xf0Taylor 公式： nk nkxRxff000)( )()!)(.nxffxfxf )(!)(!2)()( 00)(20000 )(R余项 的形式:RnPeano 型余项: , )(xnno)0（ 只要求在点 的某邻域内有 阶导数， 存在 ）01)(0xfnLagrange 型余项: 在 与 之间.)(xRn ,)()!01( nnxf 0或 .)(n ,)()!1(1000( nnf1积分型余项: 当函数 在点 的某邻域内有 阶连续导数时, 有xf0.)(Rnxnndttf0)(!1)1(Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy 余项.)(xRn10 ,)
3、()1(!1100)( nnn xxf特别地， 时， Cauchy 余项为0在 与 之间.)(xn ,)(!)1(xfnn xTaylor 公式的项数无限增多时, 得 nnxfxfxfxf )(!)(!2)()( 00)(20000,000)()!nnf自然会有以下问题: 对于在点 无限次可导的函数 , 在 的定义域内或在0x)(xf)(f点 的某邻域内 , 函数 和其 Taylor 级数是否相等呢 ? 回答是否定的.0x)(f例 1 函数 在点 无限次可微. 求得xf10x ,)1(!)(nnxf. 其 Taylor 级数为!)0( ), (nfx. nxx210nx该幂级数的收敛域为 .
4、仅在区间 内有 = . 而在其他点并不相等, ), () 1,()(xf0n因为级数发散.那么, 在 Taylor 级数的收敛点, 是否必有 和其 Taylor 级数相等呢 ? 回答也)(xf是否定的.例 2 函数 在点 无限次可导且有 ，因.0 ,)(21xexf 0x.0)(nf此其 Taylor 级数 ，在 内处处收敛 . 但除了点0), (外, 函数 和其 Taylor 级数并不相等.0x)xf另一方面,由（和函数的性质）知：在点 的某邻域内倘有 , 0x)(xf00)(nnxa则 在点 无限次可导且级数 必为函数 在点 的 Taylor 级数.)(xf000)(nna)(f0综上 ,
5、 我们有如下结论:(1) 对于在点 无限次可导的函数 , 其 Taylor 级数可能除点 外均发散; 0x)(xf x0参阅 复旦大学编数学分析下册 P90 第 9 题 ); 即便在点 的某邻域内其 Taylor 级0数收敛, 和函数也未必就是 . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的 Taylor 级)(xf数.(2) 若幂级数 在点 的某邻域内收敛于函数 , 则该幂级数就是00)(nnxa0 )(xf函数 在点 的 Taylor 级数.)(xf于是 , 为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数，我们只能考)(xf0 )(0x虑其 Taylor 级数.4. 可展条件:定理 1 (
6、必要条件 ) 函数 在点 可展 , 在点 有任意阶导数 .)(xf0)(xf0定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 . 则 在区间f内等于其 Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对0,(0rxr, 有 . 其中 是 Taylor 公式中的余项.)(limxRnxRn证 把函数 展开为 阶 Taylor 公式, 有f.,|)(|)(| xSxnn)(xf ),(limxSn0)(lixRn定理 3 ( 充分条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列f0一致有界, 则函数 可展.)(xfn )(x证 利用 Lagrange 型余项 , 设 , 则有M
7、xfn|)(|.) (,0)!1(|)()!1|)(| 010( nnxMxnfxRnn例 3 展开函数 f ,3231） 按 幂; 2）按 幂.x) (x解 ;1) ( , )0 (, )03)0( fff142x 81, 6f ;0) ( ,4)(ff, 616 0.)()4( nff所以 , 1） .3232!)(!)(0 xxffxx 可见 , 的多项式 的 Maclaurin 展开式就是其本身.)(Pn2） 32)1(!)1(!)1(1)( xfxfxffxf.3258二. 初等函数的幂级数展开式为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开.1 . ( 验证对 R ，
8、在xe0,!n ) ,(xxxnef)(区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).,.xa0ln,!lnaax |x2 , .si012)!() nn ) ,(, .xco02)!( nnx) ,(x可展是因为 在 内一致有界.afsi)( ) , (3. 二项式 的展开式:mx)1(为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;m为不是正整数时, 可在区间 内展开为) 1,(mx)1( nxnmx!)1()2(!2)对余项的讨论可利用 Cauchy 余项. 进一步地讨论可知 ( 参阅 . 微积分学教程Vol 2 第二分册.):时, 收敛域为 ;1m) 1,(时, 收敛域为 ;0时,
9、收敛域为 . ,利用二项式 的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取mx)1(,得， . nxx) 1(2 ) 1,(x时, 21, .3264531xxx 1,(间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻. nxxx132) ()1ln( 11) (nnx 1,(事实上 , 利用上述 的展开式, 两端积分 , 就有1xtd0)ln( 00) (nxndt, . 01) (nn1) (n)1, (验证知展开式在点 收敛, 因此 , 在区间 上该展开式成立.1x 1,(.753arctg02,) (nnx ,由 . 两端积分,有21x02 ,)1 (nnx)1, ( xxnxnn dtdttdarctg000222 )()(01,) (n验证知上述展开式在点 收敛, 因此该展开式在区间 上成立. x 1, 例 4 展开函数 .143)(2xf解 00312)( nnxxf.0 1 | ,)3 (nx例 5 展开函数 .xef1解 xexf)(0!n01!n01)!(!nnx1!n11)!(!)!(nnn.1!nx 0 | ,!nxx
