1、诚信声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计） ，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。特此声明。论文作者签名： 日 期： 年 月 日成绩（采用四级记分制）摘 要婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，他在数学方面的成就对于古印度数学的发展颇为重要。他对于不定方程有着特别的兴趣，最有独创性的成就是对婆罗摩笈多关于佩尔（Pell）方程的特殊解法进行改进，将其变为一般解法并称之为循环法（Chakravala 方法）
2、。佩尔方程是最古老的数论方程之一，它作为二次不定方程的经典代表一直深受着各界数论研究者的高度关注。婆什迦罗对于佩尔方程 的求解方法较为巧妙，但因为他2+1=axy并没有做出详细的求解和证明过程，所以此方法并未被欧洲后来学者们过多关注。本论文的主要工作是：1. 对婆什迦罗对佩尔方程的求解方法进行研究，求证 Chakravala 方法的可行性以及有关此方法的一些论证。2. 以佩尔方程为代表的二次不定方程在现今数论研究中的求解方法，以及佩尔方程的应用，并探讨这些方法中有无对婆什迦罗求解方法的借鉴。关键词：婆什迦罗，佩尔方程，求解方法AbstractBhskara ,as the greatest m
3、athematician and astronomer in India ancient and medieval times, his mathematics achievements are important to the ancient Indian mathematics development. To volatile equation he shows a special interest in it, what the most creative achievement is the improvement to the special solution of Pell equ
4、ation, he turned it to a general solution and called it Chakravala method. Pell equation is one of the most ancient number theory equations, researchers has high attention on it fot it is a classic representative of Secondary diophantine equation. Bhskara has a clever way to slove the Pell equation,
5、 but because of he didnt give a detailed solution and proof process,this method didnt owned too much attention by Scholars in Europe .The aims of this passage are as follow:1.researching the special solution of Pell equation given by Bhskara,and proving The feasibility of Chakravala method and the r
6、elevant some demonstration .2.Pell equation, as a representative of the secondary diophantine equation in today in the study of number theory method, we can figure out whether these methods have references to the solution given by Bhskara.Keywords：Bhskara；Pell equation ；the solution目 录1 引 言 11.1 论文选
7、题的背景、目的和意义 11.2 相关理论 11.2.1 “库塔卡” （Kuttaka）法则 21.2.2 “瑟马萨”组合 22 概 述 32.1 了解婆什迦罗 32.2 佩尔方程的概述 43 婆什迦罗对佩尔方程的求解 53.1 Chakravala 求解法的理论知识 53.2 Chakravala 求解法的实例 64 Pell 方程现今的求解方法 74.1 用渐进分数法求解 Pell 方程 74.2 用 Pell 方程 的分数解求整数解 82-=1xDy5 结论与展望 9参考文献 1001 引 言1.1 论文选题的背景、目的和意义对于佩尔方程的求解问题最早是由古希腊数学家阿基米德在其“阿基米德
8、牛群问题”中提出的，阿基米德将这一问题最后转化为求解 这22-479=1xy一佩尔方程的问题。 1自此之后，各界数学家都在为找出求解佩尔方程解的方法做着各自的研究，而对于其第一个最有意义的进展是由古印度数学家婆罗摩笈多在公元 628 年给出的，他描述了如何用已知的佩尔方程的解去求出此方程的一个新解，并称这种方法为 Samasa。此后印度数学出现了相当长的一段时间的死寂，直到公元 1150 年，婆什迦罗在婆罗摩笈多方法的基础上对佩尔方程给出了一个很巧妙的方法来求其初始解，他自己称这种方法为循环法，这种类型的论证现在被称为“费马递降法” 。 2可是令人遗憾的是，这一很具有历史意义的研究直到十七世纪
9、才被欧洲人了解和取代。1657 年 2 月，欧洲数学家费马（Femat）给费雷尼克尔（B.frenicle）的信中重新提出了当 D 为正的非完全平方数时，求解二次不定方程 有2-=1xDy无穷多组正整数解的问题，并且以此问题向所有数学家提出了挑战。英国皇家学会的第一任会长布朗克尔勋爵（Lord Brouncker）求出了方程的解，但未能证明出解有无穷多个。瓦利斯（J.Wallis）彻底将这一问题解决了。英国的另一位数学家佩尔（J.Pell）在他自己后来的著作中附录了瓦利斯的这一结果。1732 年，欧拉在其所发表的一篇论文中错误地认为瓦利斯的这一方法属于书的作者佩尔，并将这种类型的方程正式的称为
10、了我们现在所熟悉的“佩尔方程”。这个误解使佩尔无形中成为了最大的受益者，使其在数学界获得了不朽的名声。本论文研究的目的在于对婆什迦罗对佩尔方程的求解方法进行研究，领会其巧妙之处，同时对这一方法的一般性进行了解，最后再对佩尔方程现今的发展加以研究。本人在讨论这一选题时，希望能做出一定有意义的探索。佩尔方程的求解也属于初等数论的一个研究范围，所以在此也希望这篇选题的研究能对日后求解初等数论中不定方程解的问题有一定的帮助。1.2 相关理论1为了完成以下论文的研究，在此对相关的一些基本知识进行简单的介绍说明（参见文献3）1.2.1 “库塔卡” （Kuttaka）法则“库塔卡”最早出现在阿耶波多的天文数
11、学著作阿耶波多历数书（499）中，在该历数书的数学章中，他建立了求解丢番图方程 的整=+axbym数解的“库塔卡” （ 原意“粉碎” ）方法，采用辗转相除法接近于连分数算法。为求方程 的整数解，首先对 使用辗转相除法得到系列商=+axbym,ab，以及相应的余数系列： ，依法则： 123,.,nq 123.,0nr， ， （i 2） 1cqe21=+-1-=+iicqe（1.1）计算，得到 的渐进分数序列：ab， 312,.ncee（1.2）有， -1=,=nnacdbee（1.3）于是-1=nxcmye（1.4）是不定方程的特解。1.2.2 “瑟马萨”组合对于佩尔方程 （a 是非平方数） ，
12、婆罗摩笈多首先选择适当的整2+1=xy数 和 ，分别找出 和 的解 和 ，再做所谓的k 2k2+=xky(,)(,)“瑟马萨”组合，得到：， ya（1.5）2为 的解2ax+=ky取 ，若 ，则 是 的解。于是22=+xya2=xky，这样就得到 的解：222+1=aakk212+=,axyk（1.6）2 概 述2.1 了解婆什迦罗婆什迦罗(Bhskara，1114 年-1185 年),，出生在印度的比杜尔，长期在乌贾因的天文台工作，是乌贾因天文台的主持人。从印度数学的发展来看，到中世纪已经积累了很多的成就，而婆什迦罗正是这一时期最伟大的数学家，他通过对前人在数学方面所得成就的吸收和改进同时加
13、以自己的研究和进一步证实，使其所得成就远远高出前人。他所写的的两本代表着古印度数学最高水平的著作分别是莉拉沃蒂和算法本源 。算法本源主要是算数和代数方面的，其中对零的一些相关的运算法则作了较为完整的论述，在书中婆什迦罗分别把零以及以零做分母的分数当作无穷小量和无穷大量来处理，并给出了计算实例。 4特别是在对零做除数这个问题上他引入了一个有意义的概念，他写道：“一个数除以零便成为一个分母是符号 0 的分数例如 3 除以 0 得 3/0这个分母是符号 0 的分数，称为无穷大量在这个以符号 0 作为分母的量中，可以加入或取出任何量而无任何变化发生，就像在世界毁灭或创造世界的时候，那个无穷的、永恒的上
14、帝没有发生任何变化一样，虽然有大量的各种生物被吞没或产生出来” ， 5 然而他对于零不可能做除数却是并不了解的。 6莉拉沃蒂共分了 13 章：第 1 章给出了几个算学中的计算表；第 2 章则是关于整数和分数的运算，包括平方根和立方根的计算，并且使用了十进制记数的方法；第 3 章中讨论了各种计算法则以及计3算技巧，比如反演算法和试位法；第 4 章讲解有关利率方面的应用题；第 5 章重要是数列的计算问题，给出如等差数列和等比数列等算术级数的一些求和问题；第 6 到 11 章是有关平面几何和立体几何的一些计算问题和测量问题；第12 章讲的是代数问题，包括不定方程问题；第 13 章涉及到一些组合的问题
15、。婆什迦罗对于不定方程的研究有着浓厚的兴趣，他将阿耶波多建立的求解丢番图方程的“库塔卡”方法进行改进和推广，并在前人补充注释的基础上，将其最终得到圆满的解决。 7除此之外，婆什迦罗把婆罗摩笈多关于佩尔方程的解法进行了一些改变，由其特殊性变为了一般性。格内什（Ganesa）称赞婆什迦罗为“数学家中的一颗明珠” 。 82.2 佩尔方程的概述通常的佩尔方程是指不定方程2-=1,4()xDyxyZ（2.1） 其中，D 是非完全平方的正整数（以后如若无特殊说明我们都这么认为）广义的佩尔方程是对上述方程形式的一种推广，分别为以下两种基本情形2-=(,)xDykZ（2.2）且 2-1,4(,axbyab0)
16、（2.3）还有一种形式是被欧拉误传至今的，为我们所熟知的佩尔方程形式2-=1xDy（2.4）以上这四种不定方程我们通称为佩尔方程。 佩尔方程作为最古老的不定方程在印度和希腊都有着悠久的历史。公元45 世纪时，古印度就有一位数学家在求 的近似值之前就已求出不定方程2的解为 ， ， 。与此同时，毕达哥拉斯学2-=1xy,=3,2xy17,5,408派也得到一个关于 的递推公式，同样的阿基米德得出了 的- 2-3=1xy不定方程的一个解（x，y）= （1351,780） 。从数学史的漫长研究中可以发现，佩尔方程（2.4）存在无穷多组整数解，且任意的一组解都可由某一特殊的解4（称其为最小解）表示出来。
17、这样看来，此问题就变成了求最小解的问题。1795 年，英国的大数学家欧拉把 展成连分数的形式并给出求解方程D（2.4）的方法。他的思想是：如果 和 满足上述方程，那么 是 非常xyxyD好的近似值。但是他无法证明这个方法总可以求出解，并且他也没办法证明所有解都可以由 的连分数展开之后而得到。一直到 1776 年拉格朗日才得以D完全解决这个问题。除了可以用连分数的方法之外，人们还发现了可以令代入到 中来，一直到它变为一完全平方数。但是不论是用连=1,23y 2+1y分数法还是实验法，都无法摆脱与冗长的计算，并且只能针对具体的 的值来D求解。所以求最小解是解佩尔方程过程中最为重要的一步，因此杨仕春
18、将此求最小解的问题列为尚未解决的 15 个著名的不定方程的问题之一，同时提出：“佩尔方程 的最小解有什么规律？有没有求其最小解的简便的方法2-=1xDy呢？” 9对于另外一个佩尔方程2-=1xDy（2.5）也称为负佩尔方程，人们发现其不是总有解的。方程（2.5）是否有解和化成的循环连分数有关系：如果化成的循环节里有奇数个个数，那么方程D（2.5）就有解；相反地，如果化成的循环节里有偶数个个数，那么方程（2.5）则无解。3 婆什迦罗对佩尔方程的求解3.1 Chakravala 求解法的理论知识婆什迦罗对佩尔方程的求解方法是建立在婆罗摩笈多的方法之上的，使婆罗摩笈多的方法变得具有一般性。对于 ，婆什迦罗首先找出适当的整2+1=axy数 ，找出 的一组特殊解 ，代入方程得 ，另外再找d2+=axdy,2+=ad到一个整数 ，使得 是方程 的一组特解，使用（1.5）的m1,22(-)m组合形式，可以得到满足 ，即=+xya22(-)=xday可得到
