1、3 孤立奇点类型的应用孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算3.1 留数的定义定义 6：设 是解析函数 的孤立奇点，我们把 在 处的洛朗展开式中负0z)(zf )(zf0一次幂项的系数 称为 在 处的留数记作1C0，),(Re0zfs即= ),(0zfs1C显然，留数 就是积分 的值，其中 C 为解析函数 的 的去心邻域内1CdzfiC)(2)(zf0绕 的闭曲线0z从留数的定义可以看到，如果 是 的可去奇点，那么 如果0z)(f ),(Re0zfs是本质奇点，那就往往只能用把 在
2、 展开成洛朗级数的方法来求 若 是极0z 1C点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数3.2 函数在极点处的留数在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求 阶极点处留数的公式n3.2.1 简单法则法则 1：设 为 的 阶极点，afz，nzfa其中， 在 点解析， ，则za0a1limRenzazazsf法则 2：设 为 的一阶极点，afzafz则 Rezasf法则 3：设 为 的二阶极点，afz2zfz则 Rezasf法则 4：设3.2.2 例题例 3.1 求 所有孤立奇点处的留数：21sinfzz解：函数 有孤立奇点 0
3、和 ，而且易知在 内有洛朗展开式)( zR5322 11sinzzz！3！这既可以看成是函数 在 的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函z1sin20数 在 的去心邻域内的洛朗展开式 .所以z1sin2!31,sinRe,!30,iRe22 z3.3 函数在无穷远点处的留数3.3.1 无穷远点处的孤立奇点的定义定义 4：设函数 在无穷远点（去心）领域 N- 内解析，则称)(zf 0:rz点 为 的一个孤立奇点设点 为 的一个孤立奇点，利用变换 ,于)(zf )(zf 1z是 ，在去心邻域 ： （如 规定 ）内解析，1 0K1r0r1就为 的一个孤立奇点 0z()z3.3.2 无穷远点处的留数
4、定义 5：设 为 的一个孤立奇点，即 在圆环域 内解析，则称)(zf )(zf zR（ ） dzfiC)(21R：为 在点 的留数，记为 ，这里 是指顺时针方向（这个方向很自然)(zf,RefsC地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果 在 的洛朗展开式为 ，则有 )(zf()nfzz1,ReCfs这里，我们要注意， 即使是 的可去奇点， 在 的留数也未必是zf )(f0，这是同有限点的留数不一致的地方.定理 5.8 如果 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），)(f设为 ，则 在各点的留数总和为零,21nzz z关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则法则 4： 21Re,Re(),0sfzsfz（ ）
