1、【本讲教育信息】一. 教学内容：导数与单调区间、极值二. 重点、难点：1. 在某区间（ ）内，若 那么函数 在这个区间内单调递增，若，那么函数 在这个区间内单调递减。2. ，在 ，则称 为 的极大值。3. ， 在 ，则称 为 的极小值。4. 极值是一个局部性质5. 时， 是 为极值的既不充分也不必要条件。【典型例题】例 1 求下列函数单调区间（1）解： （2） （3）定义域为 例 2 求满足条件的 a 的取值范围。（1） 为 R 上增函数解： 时， 也成立 ）（2） 为 R 上增函数 成立， 成立 （3） 为 R 上增函数 例 3 证明下面各不等式（1） ，证： 令 在 任取 即： 令 在（0
2、， ）上 任取即（2）令 例 4 求下列函数的极值。（1）解： （ ，0） 0 （0，1） 1 （1，+ ）+ 0 + （2） （ ，0） 0 （0，）（ ，1） 1（1，+）+ 0 0 + 0 + （3） （ ， ） （ ，） （ ，1） 1（1，+） 0 + + 0 + 例 5 在 处取得极值 10，求 。解： 或 （舍） 例 6 曲线 （ ），过 P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。解：由已知 令 （ ） 2（2，0） 0 + 例 7 已知 在区间 上是增函数，求实数 a 的取值范围。解： 在1，1 上是增函数 对 恒成立，即 0 对 恒成立设 ，则 解得例 8 已知
3、函数 的图象如下图所示（其中 是函数 的导函数），下面四个图象中 的图象大致是（ ）答案：C例 9 设 是 R 上的偶函数，（1）求 的值；（2）证明 在（0， ）上是增函数。解：（1）依题意，对一切 ，有 。即 ，即 。所以对一切 ， 恒成立。由于不恒为 0，所以 ，即 。又因为 ，所以（2）证明：由 ，得当 时，有 ，此时 。所以 在（0，+ ）内是增函数例 10 已知 （ ）在 时取得极值，且（1）试求常数 的值；（2）试判断 是函数的极小值还是极大值，并说明理由。解：（1） 是函数 的极值点 是方程 ，即 是方程 的两根由根与系数的关系得 又 （3）由（1）（2）（3）解得（2） 令
4、，得 或 ；令 ，得 函数 在 和 上是增函数，在（1，1）上是减函数 当 时，函数取得极大值 ，当 x=1 时，函数取得极小值 f（1）= 1【模拟试题】1. 设函数 在（ ， + ）内可导，且恒有 ，则下列结论正确的是（ ）A. 在 R 上单调递减 B. 在 R 上是常数C. 在 R 上不单调 D. 在 R 上单调递增2. 若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ ）3. 函数 的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 4. 关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）A. 在区间（ ）内， 为增函数 B. 在区间（0，2）内， 为减函数C. 在区间（2，+ ）内， 为增函数D. 在
5、区间（ ） （2， + ）内， 为增函数5. 设 是函数 的导函数， 的图象如下左图，则 的图象最有可能的是（ ）6. 下列说法正确的是（ ）A. 当 时，则 为 的极大值 B. 当 时，则 为 f（x）的极小值C. 当 时，则 为 f（x）的极值D. 当 为函数 f（x）的极值时，则有7. 函数 有（ ）A. 极小值1，极大值 1 B. 极小值2，极大值 3C. 极小值2，极大值 2 D. 极小值1，极大值 38. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 （ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 29. 函数 的定义域为（ 0，+ ），且 ， ，那么函数 （ ）A. 存在极大值 B. 存在极小值
6、C. 是增函数 D. 是减函数10. 函数 有极值的充要条件是（ ）A. B. C. D. 11. 函数 在（1，1）内的单调性是 。12. 已知函数 在 R 上是减函数，则 的范围为 。13. 求下列函数的单调区间。（1） ，（2）14. 求函数 的极值。15. 求 的极值16. 已知函数 ， ，求 的单调区间和值域。17. 已知函数 在 与 x=1 时都取得极值，求 的值与函数 的单调区间。18. 已知函数 的图象过点 P（0，2），且在点M（1 ，f（1）处的切线方程 ，（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。19. 已知函数 是 R 上的奇函数，当 x=1 时，f （x）取得
7、极值2。（1）求 f（x）的单调区间和极大值；（ 2）证明对任意 ，不等式恒成立。【试题答案】1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. D 7. D 8. A 9. C 10. B11. 增函数 12. 13. 解：（1） ，令 得 或 ，令 得 函数的递增区间为（ ）和（2，+ ），递减区间为（0，2）（2） 函数的定义域为（ 0，+ ）， ，令 得或令 得 或 函数的单调区间为（ ），单调减区间为（0， ）14. 解： ，令 解得当 x 变化时， 的变化情况如下表：2 （2，2） 2 （2，+ ）+ 0 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当 时，函数有极大值，并
8、且 ；当 时，函数有极小值，并且 。15. 解： ，令 ，解得当 变化时， 的变化情况如下表：1 （1，0） 0 （0，1） 1 （1，+ ） 0 0 + 0 +单调递减 无极值 单调递减 极小值 0 单调递增 无极值 单调递增因此，当 x=0 时，函数有极小值，并且16. 解： 令 解得 或 （舍）当 x 变化时， 的变化情况如下表：0（ ） （ ）1 0 + 4 3 当 时， 是减函数，当 时， 是增函数，当 （0，1）时， 的值域为17. 解：（1） 由 ， 得 ，当自变量 x 变化时， 和 f（x）的变化情况如下表：（ ） （ ，1）1 （1， ）+ 0 0 + 极大值 极小值 所以函
9、数 f（x）的递增区间是（ ）和（1， ），递减区间是（ ，1）18. 解：（1）由 f（x）的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以 ，由在点 M（ ）处的切线方程为 即 ，解得故所求的解析式是（2） 令 ，解得当 或 时， ；当 时，故 在 内是增函数，在（ ）内是减函数，在（ ）内是增函数19. 解：（1）由奇函数定义，应有即 因此由条件 为 f（x）的极值，必有 ，故 ，解得因此，当 时， ，故 在单调区间（ ）上是增函数当 时， ，故 在单调区间（ ）上是减函数当 时， ，故 在单调区间（1， ）上是增函数所以 在 处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知， 是减函数，且 在1，1 上的最大值 在 1，1 上的最小值所以对任意 ，恒有
