1、双变量恒成立题型的思路探求陕西师范大学数学系 （710062） 罗增儒2012 年高考数学陕西卷文、理科最后一题（第 21 题）都有一问是“双变量恒成立题型” ，我们将其整理为：例 1 已知二次函数 ，若对任意的 ，有2fxbc12,x，求 b的取值范围24fxf它与下述竞赛题形式上有点类似（都是二次函数在闭区间上给出一个绝对值不等式，求某个系数的取值） ，但内在的数学结构很不相同：例 2 已知 ，当 时， 试求320fxacxda1x/1fx的最大值 （2010 年高中数学联赛第 9 题）a本文的重点是探讨“双变量恒成立题型” （例 1）的解题思路（同时也会涉及考试技术），分 4 步作讲解如
2、下1弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有 2 个： （1）给出 上的二次函数 这时，二次函数的相关性质可以,12fxbc视为已知比如，图象的开口向上，对称轴为 ，最大值为 ，1,maxf最小值需分类讨论：或为 （当 时） 、或为 （当 时）2bf1,inf2b等这些性质在尔后的解题中可能用到、也可能用不到，没关系，理解题意时都要进行广泛的收集与动员（2）这个二次函数满足：对任意的 ，有 这句话12,x124fxf可以运算为 ，但不便于继续操作，因此，对这句话的数学含义21124xbx作更便于操作的理解是本题求解的一个关键我们说，其中一个等价解释是：在 上的最大值不超过 41
3、2ff,， （第一步转化）1212,xmaffx而 在 上的最大值，等于 在 上的最大值减去f, fx1,在 上的最小值，又有等价条件x, （第二步转化）1, 1,4xxmafinf这时，差 只与 有关（ 会在求差运算中消去） ，实质上是1, 1,xxmafinfbc的函数，记为 ，有 （第三步转化）b, 1,xGbmif4G下文会进一步揭示 2b当 时当 时2弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？题目的结论是一句话：求 的取值范围包含充分性与必要性两个方面，不妨理解为两个结论（1）必要性：满足条件的 b都在这个“范围”里；（2）充分性：这个“范围”里的 都满足条件3弄清题目的条件与结论
4、有哪些数学联系，是一种什么样的结构条件间接提供 的不等式 ，结论求 b的范围，把两者联系起来，在我们的眼4G前就出现这样一个数学结构：建立并求解 的不等式；也可以说，找出一个有上界 4 的函数 ，由上界求自变量 b的范围Gb问题是，不等式 中有两个变量 在 上任意取值，如何处124fxf12,x,理“两个变量恒成立”构成了本题的难点和关键，也区别于“一个变量恒成立”问题（如例 2） 我们认为至少有两个途径可以化解难点、抓住关键：（1）一步到位，找“充要条件” 如上所说条件“任意的 ，有 ”，等价于12,x124fxf, ,xxMmafin问题转化为求 ， ， ，这是可操作1,1,f1, 1,x
5、xmafinf的由抛物线的性质知： 1, ,xaff1221cb ,1minf22f1cb 1, 1,2x bminfiff, , 1 22ifbb当 时当 时21+, , 1 4cb当 时当 时记 ，有1212,xGmaffxb, ,xin 1,20, ffbfb当 时当 -时当 时当 时22, 10, 2 bbb当 时当 -时当 时当 时2, 1 当 时当 时这实际上是确定了函数 的表达式，然后便可由值域去确定自变量的范围显然Gb有 42Gb（2）分两步走，先找“必要性” 、再验证“充分性” 这在可靠性上比找“充要条件”低（很容易出错） ，但比找“充要条件”容易下手如特别地，取 为 由任意
6、的 ，有 ，更有12,x12,x124fxf，4bff得 下来，只需验证 时，对任意的 ，有 恒成立212,x124fxf特别地，取 为 ，有1,x，对任意的 恒成立，bffx,x得 ，对任意的 恒成立，24x1即 ，对任意的 恒成立，1,x得 1,2xbma下来，只需验证 时，对任意 ，有 恒成立12,x124fxf至此，两条思路都基本打通4基本解法下面给出两个基本解法，读者不难写出更多的解法解法 1 对任意的 ，有 ，等价于12,x124fxf，12 2, 4xmaff等价于 ,11,xMin据此分类讨论如下（1）当 ，即 时，抛物线的对称轴位于区间 外部， 在2b21,fx上为单调函数，
7、最大、最小值在区间端点取到，有,，与题设矛盾124Mfb（2）当 ，即 时，抛物线的对称轴位于区间 内部，有b1,1, 1,2xxMmafinfb14cb恒成立2综上得， b的取值范围为 ,解法 2 （必要性）因为对任意的 ，有 ，更有12,x124fxf，14fb得 b（充分性）当 时，有 ，知抛物线的对称轴位于区间 内部，对任意211,的 ，有12,x121, 1,1, 2,4xxxffmafinfbacb恒成立21综上得， b的取值范围为 ,说明 1 令 ，由 ，可转2gxfcxb1212fxfgx而讨论 ，这就更清楚表明 是 的 12 121, ,x xmafmab函数 Gb说明 2
8、找出 的表达式bGb2, 1 b当 时当 时可以揭示问题的深层结构，并使 成为显然 （画出 的图象也很显42bGb然）说明 3 下述一些解法，由于缺少充分性的步骤，均为考试的“会而不对、对而不全”当中，既有知识性错误，又有逻辑性错误误解 1 因为对任意的 ，有 ，更有12,x124fxf，04bf即 ，4得 53所以， b的取值范围为 ,误解 2 由 ，有10f，10415f所以， b的取值范围为 5,误解 3 在 上取值 ，及 ，有1,0)(,t2,fctbt消去 ，可解得c0ftbt1t有 0ftftt，对任意的 恒成立4t1)(,t但函数 （ ）在 时取到最小值，故得yt0tt0145t
9、bmint所以， b的取值范围为 5,误解 4 对任意的 ，有12x，1222,ffb相减 1112xfxffxf有 212b1212fxffxf，对任意 恒成立，412,得 ， 12, 4xbmax即 ， 所以， b的取值范围为 ,联系地址陕西省 西安市 长安南路 199 号 陕西师范大学雁塔校区 444 信箱 邮编 710062 手机 13609297766E-mail zrluosnnueducn约 稿 函罗老师：您好！我是课程导报编辑赵冠军，也是您曾经的学生（陕西师范大学数学系 973 班） 。2012 年全国高考已经结束，各地开始研究今年高考试题。 课程导报教研周刊是一份服务于全国初高中教师的教研报纸。值此高考结束，我教研部打算在近期教研周刊上刊发一篇关于 2012 年高考试题研究的文章。应各地老师要求，特向您约稿。稿件题目自拟。稿件主题：2012 年高考全国卷（或陕西卷）试题分析。稿件字数：3500 字左右。稿费标准：300 元/千字。交稿时间：初定 6 月 25 日。未尽事宜，电话沟通。联系电话：13581787217编辑：赵冠军2012 年 6 月 11 日
