1、理科数学 第 1 页 共 11 页 俯视图 6 6 6 6 5 正视图 侧视图 图 1 5 江门市2011年高考模拟考试 数 学（理科） 本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高 Sh V 3 1 S h 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 已知集合 ，若 ，则 是虚数单位 , , ) 1 ( | 2 i R a i a a x x A R A a A B C D 1 1 1 0 若四边形 满足 ， ，则该四边形一定是 ABCD 0 CD AB 0
2、) ( AC AD AB A直角梯形 B菱形 C矩形 D正方形 某社区现有 个住户，其中中等收入家庭 200户、低收入家庭 160户，其他为高收入家庭。 480 在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6户，则该社区本次被抽取的总 户数为 A B C D 20 24 30 36 直线 ， 都是函数 的对称轴，且函数 在区 3 x 2 x ) , 0 )( sin( ) ( x x f ) (x f 间 上单调递减，则 2, 3 A ， B ， 6 2 6 2 C ， D ， 3 2 3 2 一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱， 上半部分是正四棱锥，其三视图如图 1所示，
3、则这个几何体的体积 V A B 30 54 69 C D 66 24 54 、 、 ， “ 、 、 成等差数列”是“ 、 、 成等比数列”的 a b 0 c a ln b ln c ln a 2 b 2 c 2 A充分不必要条件 B必要不充分条件理科数学 第 2 页 共 11 页 2 , 1 i a s 输入 , 1 a , 2 a 开始 0 s i a s s 1 i i 是 输出i 结束 否 图 3 O x y 图 2 C充要条件 D既不充分也不必要条件 在平面直角坐标系 中， 与 所 xOy 0 c by ax c by ax 2 2 表示的曲线如图 2所示，则常数 、 、 之间的关系可
4、能是 a b c A 且 B 且 0 a c 0 b 0 a c 0 b C 且 DA 或 C 0 c a 0 b 已知平面区域 ， （ 是常数） ， ， 2 1 , 2 1 | ) , ( y x y x D y ax z a D y x P ) , ( 0 0 记 为事件 ，则使 的常数 有 2 5 0 0 y ax z A 8 1 ) ( A p a A 个 B 个 C 个 D 个以上 0 1 2 3 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一)必做题（913题） 已知 ， ， ) , ( 2 N X 68 . 0 ) ( X P ，某次全市 20000人
5、95 . 0 ) 2 2 ( X P 参加的考试，数学成绩大致服从正态分布 ， ) 100 , 100 ( N 则本次考试 120分以上的学生约有 人 图 3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入 ，则输出 ) ( 11 sin N i i a i i 设抛物线 ： 的准线与对称轴相交于点 ， C x y 4 2 P 过点 作抛物线 的切线，切线方程是 P C 在平面直角坐标系中，四边形 在映射 ： 作用下的象集为四边形 ABCD f ) 1 , 2 ( ) , ( x y y x ，若 的面积 ，则 的面积 / / / / D C B A ABCD 1 S / / / / D C B A
6、/ S 以下命题中，真命题的序号是 （请填写所有真命题的序号） 回归方程 表示变量 增加一个单位时， 平均增加 个单位 x y 5 . 1 2 x y 5 . 1 已知平面 、 和直线 ，若 且 ，则 m / m m “若 ，则 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ” 1 2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 2 x 若函数 与函数 的图象关于直线 对称， ，若 ，则 ) (x f y ) (x g y x y b a f ) ( 2 ) ( / a f 2 1 ) ( / b g理科数学 第 3 页 共 11 页 O A B C D P 图 4 A B C o 45 图 5 (二)选做题（14、
7、15题，考生只能从中选做一题） （坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与圆 t y t x 2 1 R t （ ， 为参数， 为常数且 ）相 a y x sin cos 2 0 a 0 a 切，则 a （几何证明选讲选做题）如图 4， 是圆 外 P O 一点，直线 与圆 相交于 、 ， 、 PO O C D PA PB 是圆 的切线，切点为 、 。若 ， O A B 1 CD PC 则四边形 的面积 PADB S 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 （本小题满分 14分）如图 5，一架飞机原计划从空中 处直飞相距 的空中 处，为避开 A km
8、680 B 直飞途中的雷雨云层，飞机在 处沿与原飞行方向成 角的方向飞行，在中途 处转向与原方 A C 向线成 角的方向直飞到达 处已知 o 45 B 13 5 sin 在飞行路径 中，求 ； ABC C tan 求新的飞行路程比原路程多多少 km （参考数据： ， ） 414 . 1 2 732 . 1 3 （本小题满分 12分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一 题答一题的方式进行，每位选手最多有 次选题答题的机会，选手累计答对 题或答错 题即终 5 3 3 止其初赛的比赛：答对 题者直接进入决赛，答错 题者则被淘汰已知选手甲答对每个问题的 3 3 概率相同，
9、并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为 9 1 求选手甲可进入决赛的概率； 设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试求 的分布列，并求 的数学期望 理科数学 第 4 页 共 11 页 图 6 A B C D E F 1 A 1 B 1 C 1 D （本小题满分 14分）如图 6， 是棱长为 的正方体， 、 分别是棱 、 1 1 1 1 D C B A ABCD 6 E F AB 上的动点，且 BC BF AE 求证： ； E C F A 1 1 当 、 、 、 共面时，求： 1 A E F 1 C 到直线 的距离； 1 D E C 1 面 与面 所成二面角的余弦值 DE A 1 DF C 1
10、 （本小题满分 14分）已知圆锥曲线 上任意一点到两定点 、 的距离之和为常 C ) 0 , 1 ( 1 F ) 0 , 1 ( 2 F 数，曲线 的离心率 C 2 1 e 求圆锥曲线 的方程； C 设经过点 的任意一条直线与圆锥曲线 相交于 、 ，试证明在 轴上存在一个定点 ， 2 F C A B x P 使 的值是常数 PB PA （本小题满分 12分）已知数列 ， ， ) ( N n a n 0 1 a n n n n a a 2 2 1 ) 1 ( n 求数列 的通项； n a 设数列 的前 项和为 ，试用数学归纳法证明 n a n n S 2 ) 4 3 ( 2 2 1 n n S
11、n n 21（本小题满分 14分）设 是定义在区间 （ ）上的函数，若对 、 ) (x f y ) , ( b a a b 1 x ，都有 ，则称 是区间 上的平缓函数 ) , ( 2 b a x | | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 x x x f x f ) (x f y ) , ( b a 试证明对 ， 都不是区间 上的平缓函数； R k 1 ) ( 2 kx x x f ) 1 , 1 ( 若 是定义在实数集 上的、周期为 的平缓函数，试证明对 、 ， ) (x f R 2 T 1 x R x 2 1 | ) ( ) ( | 2 1 x f x f理科数学 第 5 页 共 1
12、1 页 理科数学评分参考 1、选择题 CBBA DDAC 1、 2、 3、 4、 5、 6、理科数学 第 6 页 共 11 页 7、 8、 二、填空题 （对一个 3分，全对 5分） 500 22 0 1 y x 2 （正确选项一个3分，全对5分；错误选项一个扣3分，2个扣5分，扣完为止） （答 给3分，其他0分） 5 2 5 2 3 2 2 9、理科数学 第 7 页 共 11 页 10、 11、 12、 13、 14、理科数学 第 8 页 共 11 页 15、 三、解答题 ， 是锐角，所以 1分， 13 5 sin 12 5 tan 2分， 4分， ) 45 tan( ) 45 ( tan t
13、an 0 0 C 0 0 45 tan tan 1 45 tan tan 5分 7 17 1 12 5 1 1 12 5 7分，由正弦定理 9分，得 26 2 17 ) 45 sin( sin 0 C sin 45 sin sin 0 BC AC C AB 11分， 13分，新的飞行路程比原路程多 520 45 sin sin 0 C AB AC 2 200 BC 14分 ) ( 8 . 122 680 2 200 520 km AB BC AC 设选手甲任答一题，正确的概率为 ，依题意 1分， 2分，甲选答 p 9 1 ) 1 ( 2 p 3 2 p 3道题目后进入决赛的概率为 3分，甲选答
14、 4道、5道题目后进入决赛的概率分 27 8 ) 3 2 ( 3 别为 、 5分，所以，选手甲可进入决赛的概率 27 8 3 1 ) 3 2 ( 3 2 3 C 81 16 ) 3 1 ( ) 3 2 ( 2 3 2 4 C 6分 81 64 81 16 27 8 27 8 P理科数学 第 9 页 共 11 页 可取3，4，57分，依题意 8分， 3 1 27 1 27 8 ) 3 ( P 9分， 27 10 3 1 3 2 ) 3 1 ( 3 2 3 1 ) 3 2 ( ) 4 ( 2 2 3 2 2 3 C C P 10分， 27 8 3 1 ) 3 2 ( ) 3 1 ( 3 2 ) 3
15、 1 ( ) 3 2 ( ) 5 ( 2 2 2 4 2 2 2 4 C C P （或 10分） 27 8 ) 4 ( ) 3 ( 1 ) 5 ( P P P 所以， 的分布列为： 11分 12分 27 107 27 8 5 27 10 4 3 1 3 E 以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系1 D DA DC 1 DD x y z 分，则 、 ，设 ，则 ， 2分，从而 ) 6 , 0 , 6 ( 1 A ) 6 , 6 , 0 ( 1 C m AE ) 0 , , 6 ( m E ) 0 , 6 , 6 ( m F 、 3分，直接计算知 ，所以 ) 6 ,
16、 6 , ( 1 m F A ) 6 , 6 , 6 ( 1 m E C 0 1 1 F C F A 5分 E C F A 1 1 当 、 、 、 共面时，因为底面 ，所以 6分，所以 1 A E F 1 C 1 1 1 1 / D C B A ABCD EF C A / 1 1 ，从而 、 分别是 、 的中点7分，设 到直线 的距离为 ，在 AC EF / E F AB BC 1 D E C 1 h 中， ， ，解得 9分 E D C 1 1 9 3 6 6 2 2 2 1 E C 2 2 1 1 1 1 BC D C h E C 2 4 h 由得， 、 ，设平面 的一个法向量为 ，依题意
17、) 0 , 3 , 6 ( E ) 0 , 6 , 3 ( F DE A 1 ) , , ( 1 c b a n 10分，所以 11分，同理平面 的一个法向量为 0 6 6 0 3 6 1 1 1 c a DA n b a DE n ) 1 , 2 , 1 ( 1 n DF C 1 13分，由图知，面 与面 所成二面角的余弦值 ) 1 , 1 , 2 ( 2 n DE A 1 DF C 1 （即 ）14分 2 1 | | | | | | cos 2 1 2 1 n n n n 3 3 4 5 P 3 1 27 10 27 8理科数学 第 10 页 共 11 页 依题意，设曲线 的方程为 （ ）
18、1分， 2分， ， C 1 2 2 2 2 b y a x 0 b a 1 c 2 1 a c e 3分， ，所求方程为 4分 2 a 3 2 2 c a b 1 3 4 2 2 y x 当直线 不与 轴垂直时，设其方程为 5分，由 AB x ) 1 ( x k y ) 1 ( 1 3 4 2 2 x k y y x 6分，得 7分，从而 ， 0 ) 3 ( 4 8 ) 4 3 ( 2 2 2 2 k x k x k 2 2 4 3 8 k k x x B A 8分，设 ，则 2 2 4 3 ) 3 ( 4 k k x x B A ) 0 , (t P B A B A y y t x t x
19、PB PA ) )( ( 10分，当 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 ) 4 8 5 ( 12 3 ) ( ) )( ( ) 1 ( k k t t t t k x x k t x x k B A B A ， 时11分，对 ， 12分；当 轴 4 4 8 5 3 12 3 2 2 t t t 8 11 t R k 64 135 PB PA x AB 时，直线 的方程为 ， ， 13分，对 ， AB 1 x 1 B A x x 2 3 ) ( B A y y 8 11 t ，即存在 轴上的点 ，使 的值为 64 135 4 9 64 9 ) )( ( B A B A y y t x t
20、x PB PA x ) 0 , 8 11 ( P PB PA 常数 14分 64 135 （方法一）由 得 ， 2分，所以 n n n n a a 2 2 1 n a a n n n n 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 n a a n n n n 3分， 1 0 1 2 3 2 2 1 2 1 1 1 ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( 2 a a a a a a a a n n n n n n n n n n 4分， ， 5分 1 ) 2 ( ) 1 ( n n 2 ) 1 ( n n ) 1 ( 2 2 n n a n n （方法二）由 得 ， n n n n a a
21、2 2 1 1 1 2 ) 1 ( 2 n n n n a a 1分， 3分， 2 2 1 2 ) 2 ( 2 n n n n a a 1 2 2 1 2 ) 2 ( 2 2 n n n n a a理科数学 第 11 页 共 11 页 ，累加得 1 1 1 2 2 2 1 2 2 n n n a a ) 1 ( 2 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 n n n n a n n n 5分 时，左边 ，右边 ，左边=右边，命 1 n 0 1 1 a S 0 2 ) 4 3 1 ( 1 2 ) 4 3 ( 2 2 1 n n n 题成立7分； 设 时，命题成立，即 8分，则 9 ) ( N k
22、 k n 2 ) 4 3 ( 2 2 1 k k S k k 1 1 k k k a S S 分， 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) 4 3 ( 2 2 1 2 1 k k k k k k k k k ，从而 时，命题成立11分 2 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 2 k k k 1 k n 综上所述，数列 的前 项和 12分 n a n 2 ) 4 3 ( 2 2 1 n n S n n 21. 、 ， 1分。 1 x ) 1 , 1 ( 2 x | | | | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 2 1 x x k x x x f x f 若 ，则当 、 时， 2分，从而
23、 3 0 k 1 x ) 1 , 2 1 ( 2 x 1 2 1 k x x | | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 x x x f x f 分； 若 ，则当 、 时， ， 4分，从而 0 k 1 x ) 2 1, 1 ( 2 x 1 2 1 k x x 1 | | 2 1 k x x ，所以对任意常数 ， 都不是区间 上的平缓函 | | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 x x x f x f k 1 ) ( 2 kx x x f ) 1 , 1 ( 数5分 若 、 ，当 时， 6分；当 1 x 2 , 0 2 x 1 | | 2 1 x x 1 | | | ) ( ) ( |
24、 2 1 2 1 x x x f x f 时，不妨设 ，根据 的周期性， 7分， 1 | | 2 1 x x 2 0 2 1 x x ) (x f ) 2 ( ) 0 ( f f | ) ( ) 2 ( | | ) 0 ( ) ( | | ) ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 2 1 x f f f x f x f f f x f x f x f 9分， 11分，所以对 、 ，都有 1 ) ( 2 2 | 2 | | | 1 2 2 1 2 1 x x x x x x 1 x 2 , 0 2 x 12分 1 | ) ( ) ( | 2 1 x f x f 对 、 ，根据 的周期性（且 ） ，存在 、 ，使 、 1 x R x 2 ) (x f 2 T 1 p 2 , 0 2 p ) ( ) ( 1 1 p f x f ，从而 14分 ) ( ) ( 2 2 p f x f 1 | ) ( ) ( | | ) ( ) ( | 2 1 2 1 p f p f x f x f
