1、1 必修5 不等式易错题及错解分析 一、选择题： 1设 若 0f(b)f(c),则下列结论中正确的是 ( ) lg , f x x A (a-1)(c-1)0 B ac1 C ac=1 D ac1 错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数 的图象,由图可得出选 D. ( ) lg f x x 2设 成立的充分不必要条件是 , , 1 x y R x y 则使 A B C D xb，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.a 2 b 2 B.( )a0 D. 1 2 1 2 1 b a 正确答案：B。 错误原因：容易忽视不等式成立的条件。 12 x为实数，不等式|x3|x1|m 恒成立，则 m 的
2、取值范围是（ ） A.m2 B.m2 D.mb0，且 ，则 m 的取值范围是（ ） m b m a b a A. m R B. m0 C. m0）的解集为x|mxn，且|m-n|=2a，则 a 的值等于（ x a x ） A1 B2 C3 D4 正确答案：B 19若实数 m，n，x，y 满足 m 2 +n 2 =a，x 2 +y 2 =b（ab） ，则 mx+ny 的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、 2 b a ab 2 2 2 b a b a ab 答案：B4点评：易误选 A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。 20数列a n 的通项式 ，则数列a n 中的最大项是（ ） 90 2 n
3、 n a nA、第 9项 B、第 8项和第 9项 C、第 10项 D、第 9项和第 10项 答案：D 点评：易误选 A，运用基本不等式，求 ，忽略定义域 N*。 n n a n 90 1 21若不等式 在 上有解,则 的取值范围是 （ ） 2 1 x x a R x aA B. C D 3 , 3 3 , 3 3 , 3 , 错解：D 错因：选 D 恒成立。 正解：C 22已知 是方程 的两个实根，则 2 1 ,x x ) ( 0 ) 5 3 ( ) 2 ( 2 2 R k k k x k x 的最大值为（ ） 2 2 2 1 x x A、18 B、19 C、 D、不存在 9 5 5答案：A错
4、选：B错因： 化简后是关于 k的二次函数，它的最值依赖于 所得的 k的范 2 2 2 1 x x 0 围。 23实数 m,n,x,y 满足 m 2 +n 2 =a , x 2 +y 2 =a , 则 mx+ny 的最大值是 。A、 B、 C、 D、 2 b a ab 2 2 2 b a 2 2 b a 答案：B错解：A 错因：忽视基本不等式使用的条件，而用 得 2 2 2 2 2 2 2 b a y n x m ny mx 出错解。 24如果方程（x-1）(x 2 -2xm)=0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数 m 的取值范围是 （ ） A、0m1 B、 m1 C、 m1 D、
5、m 4 3 4 3 4 35 正确答案：（B） 错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。 二填空题： 1设 ，则 的最大值为 2 2 0, 0, 1 2 b a b a 2 1 a b 错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由 得： 2 2 0, 0, 1 2 b a b a ，且 ，原式= ，求出最大 2 2 1 2 b a 2 0 1 b 2 2 4 2 1 3 (1 )(1 ) 1 2 2 2 b b b b 值为 1。 2若 恒成立，则 a 的最小值是 , , x y R x y a x y 且错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由 ， 2 2 2 2 , 2 2 2 m n m
6、n m n m n 得 即 ，故 a 的最小值是 。 2 x y x y 2 3已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= 的最小值为 。 1 1 ( )( ) x y x y 错解一、因为对 a0,恒有 ,从而 z= 4,所以 z 的最小值是 1 2 a a 1 1 ( )( ) x y x y 4。 错解二、 ，所以 z 的 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 x y xy z xy xy xy xy xy 2 2( 2 1) 最小值是 。 2( 2 1) 错解分析：解一等号成立的条件是 相矛盾。 1 1 , 1 1, 1 x y x y x y x y 且即且与6 解二等号成立的
7、条件是 ，与 相矛盾。 2 , 2 xy xy xy 即 1 0 4 xy 正解： z= = = ，令 1 1 ( )( ) x y x y 1 y x xy xy x y 2 1 ( ) 2 2 2 x y xy xy xy xy xy xy t=xy, 则 ，由 在 上单调递减,故当 t= 2 1 0 ( ) 2 4 x y t xy 2 ( ) f t t t 1 0, 4 时 有最小值 ,所以当 时 z 有最小值 。 1 4 2 ( ) f t t t 33 4 1 2 x y 25 4 4若对于任意 xR，都有(m2)x 2 2(m2)x40，+0，+0，则 f()+f()与 f(-
8、)的大小关系是：f()+f() _f(-)。正确答案：1，则 y=x+ 的最小值为_ 1 2 x 答案： 1 2 2 点评：误填：4，错因： ，当且仅当 即 x=2 时等号 1 2 x x y 1 2 2 x x 1 2 x x 成 立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。 11设实数 a,b,x,y 满足 a 2 +b 2 =1,x 2 +y 2 =3, 则 ax+by 的取值范围为_. 错解： ) 2 , ( 错因： ，当且仅当 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y b x a y b x a by ax 时等号成立，而此时 与已知条件矛盾。 y b
9、x a , 2 2 2 2 y x b a 正解： 3 , 3 124ko是函数 y=kx 2 kx1恒为负值的_条件 错解：充要条件 错因：忽视 时 符合题意。 0 k 1 y 正解：充分非必要条件 13函数 y= 的最小值为_ 4 5 2 2 x x 错解：2 错因：可化得 ，而些时等号不能成立。 2 4 1 4 2 2 x x y 正解： 2 5 14已知 a,b ，且满足 a+3b=1，则 ab 的最大值为_. R 错解： 6 1 错因：由 得 ， ， , 1 ) 3 ( 2 b a 1 9 6 2 2 b ab a 1 9 1 6 2 2 b a ab 等号成立的条件是 与已知矛盾。
10、 0 b a8 正解： 12 1 15设函数 的定义域为 R，则 k的取值范围是 。 8 6 2 k x k yA、 B、 C、 D、 9 1 k k 或 1 k 1 9 k 1 0 k答案：B错解：C错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用 。 0 16不等式(x-2) 2 (3-x) (x-4) 3 (x-1) 的解集为 。 0 答案： 4 3 2 1 x x x x 或 或错解： 4 3 1 x x x 或错因：忽视 x=2 时不等式成立。 17已知实数 x,y满足 ，则 x的取值范围是 。 y x y x 答案： 4 0 x x x 或错解： 4 0 x x x 或错因：将方程
11、作变形使用判别式，忽视隐含条件“ ” 。 0 y 18若 ，且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是 。 R y x, 答案： 由原方程可得 ) 18 18 10 8 16 8 8 2 , 0 8 , 0 , 0 , 2 ) 8 ( x x y x x x y x y x x x y 则 错解： 设 代入原方程使用判别式。 ) , 18 2 , ( x t y t y x 设错因：忽视隐含条件，原方程可得 y (x-8)=2x，则 x8 则 x+y8 19已知实数 。 的取值范围是 则 满足 x y x y x y x , , 正确答案： 4 0 x x 或 错误原因：找不到解题思路，另
12、外变形为 时易忽视 这一条件。 1 2 y y x 0 y9 20已知两个正变量 恒成立的实数 m 的取值 m y x y x y x 4 1 , 4 , 则使不等式 满足 范围是 。 正确答案： 4 9 m 错误原因：条件 x+y4 不知如何使用。 21已知函数 0 4 x x x y 2 0 cos 4 cos x x x y 9 13 2 x x y ，其中以 4为最小值的函数个数是 2 2 1 0 tan 4 1 cot 1 x x x y 。 正确答案：0 错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。 22已知 是定义在 的等调递增函数， 且 ，则 x f , 0 , y
13、 f x f xy f 1 2 f 不等式 的解集为 。 2 3 x f x f 正确答案： 4 3 | x x 错误原因：不能正确转化为不等式组。 23 （案中）已知 a 2 +b 2 +c 2 =1, x 2 +y 2 +z 2 =9, 则 ax+by+cz 的最大值为 正确答案：3 错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成 5。应使用如下做法： 9a 2 +x 2 6ax, 9b 2 +y 26by，9c 2 +z 2 6cz， 6(ax+by+cz)9（a 2 +b 2 +c 2 ）+9(x 2 +y 2 +z 2 ) = 18, ax+by+cz3 三、解答题： 1是否存
14、在常数 c，使得不等式 对任意正数 x,y 2 2 2 2 x y x y c x y x y x y x y 恒成立？ 错解：证明不等式 恒成立，故说明 c 存在。 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y 正解：令 x=y 得 ，故猜想 c= ,下证不等式 2 2 3 3 c 2 310 恒成立。 2 2 2 3 2 2 x y x y x y x y x y x y 要证不等式 ，因为 x,y是正数，即证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2（2 2 2 2 3 x y x y x y x+y）(x+2y),也即证 ,即 2xy ，而此 2 2 2 2 3 12 3
15、 2(2 2 5 ) x xy y x y xy 2 2 x y 不等式恒成立，同理不等式 也成立，故存在 c= 使原不等式恒 2 3 2 2 x y x y x y 2 3 成立。 2已知适合不等式 的 x的最大值为 3，求 p的值。 2 4 3 5 x x p x 错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为 3”的含义。 正解：因为 x的最大值为 3，故 x-30 且 b1)， ax x x 2 1 2 2 2 （1）求 f(x)的定义域； （2）当 b1 时，求使 f(x)0 的所有 x的值。 解 （1）x 2 2x+2 恒正， f(x)的定义域是 1+2ax0， 即当 a=
16、0 时，f(x)定义域是全体实数。 当 a0 时，f(x)的定义域是（ ，+） a 2 1 当 a1 时，在 f(x)的定义域内，f(x)0 1 x 2 2x+21+2ax ax x x 2 1 2 2 2 x 2 2(1+a)x+10 其判别式=4(1+a) 2 4=4a(a+2) (i)当 0 f(x)0 x0 xR且x1 若a=2,f(x)0 (x+1) 2 0 x 且x1 4 1 (iii)当0时，即a0或a2时 方程x 2 2(1+a)x+1=0的两根为15 x 1 =1+a ,x 2 =1+a+ a a 2 2 a a 2 2 若a0，则x 2 x 1 0 a 2 1 或 a a
17、a x x f 2 1 0 ) ( 2 a a a x a 2 1 2 1 2 若a2，则 a x x 2 1 2 1 f(x)0 x1+a 或1+a+ x a a 2 2 a a 2 2 a 2 1 综上所述：当2a0时，x的取值集合为 x|x a 2 1 当a=0时，xR且x1，xR，当a=2时： x|x1或1x 4 1 当a0时，x x|x1+a+ 或 x1+a a a 2 2 a 2 1 a a 2 2 当a2时，x x|x1+a 或1+a+ x a a 2 2 a a 2 2 a 2 1 错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。 10设集合M1，1，N= ， ，f(x)=2
18、x 2 +mx1，若xN,mM,求证|f(x) | 8 9 证明：|f(x)|=|2x 2 +mx1|= |(2x 2 1)+mx|(2x 2 1)|+|mx|= (2x 2 1)+|mx|(2x2 1)+| x| =2（| x| ） 2 1 4 8 9 8 9 错因：不知何时使用绝对值不等式。 11在边长为a的正三角形中，点P、Q、R 分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设 BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求 s的最大值及相应的x、y、z的值。 解 设BPR、PCR、ARQ的面积为s 1、 、s 2 、s 3 ，则 S=S ABC S 1 S 2 S 3
19、= a 2 a 2 （xy+xz+yz） （xy+xz+yz）16 由x+y+z=a,得xy+yz+zx ,S mav = a 2 ，此时，x=y=z= a2 3 a 3 错因：不知如何使用基本不等式。 12设 a、bR，求证： | | 1 | | b a b a | | 1 | | | | 1 | | b b a a 证明：当|a+b|=0 时，不等式已成立当|a+b|0 时， |a+b|a|+|b| = = | | 1 | | b a b a | | 1 1 1 b a | | | | 1 1 1 b a 1 | | | | | | | | b a b a= + | | | | 1 | | b a a | | | | 1 | | b a b | | 1 | | | | 1 | | b b a a 点评：错证：|a+b|a|+|b| | | 1 | | b a b a | | | | 1 | | | | | | 1 | | | | | | 1 | | | | b a b b a a b a b a | | 1 | | | | 1 | | b b a a 错因：的推理无根据。
