1、以普通計算機來 計算 三次方根 及五次方根 的 近似值 臺北縣立錦和高中 陳禾凱 Wikipedia 這部網路的百科全書，刊登了一個用普通計算機來計算三次方根 及五次方根 的方法，平常我們用的計算機上面的按鍵不外乎 0123456789， 以 及 等 按鍵， 用這些按鍵要怎樣能計算出某數的三次方根 或是五次方根 ，這實在是令人匪疑所思，等到你明瞭其中的原理之後， 才不禁感嘆 其中 的奧妙 。 而 所用的數學 原理 都是目前 (95 課綱 )高一所學過的 ： 數列與級數 、 無窮等比 、 極限 等等 若是各位老師目前任教高 一，可向學生介紹這方法，順便複習一下所有相關的數學觀念。 一 .計算 三
2、次方根的近似值 先來看一個 算 式 ： 31)211)(211)(211)(211(21 168422 看看221及 無窮多個括號數 )211( 2k相乘為何會等於 31 )2 11()211)(211)(211(21 28422 kka 令 只有一 個括號數 )211(21221 a=41 (1 + 2-2) 有兩個括號數 乘積 )211)(211(214222 a= )2221(41 642 有三個括號數 乘積 )211)(211)(211(2184223 a= )22222221(41 1412108642 故可推知，無窮多 個 括號數 的乘積為一無窮等比級數，其公比為 41 )211)
3、(211)(211)(211(21168422 = )222222221(41 301412108642 =411141=31 由以上可知 , 321 kaaaa 為一遞增數列， 極 限為 31 ， 又 y=7x 為一連續函數 ， ,7,7,7,7 321 kaaaa 亦為一遞增數列，上限為 317 ，故可以用 ka7 來估算 37 左圖為 網路上的 Google 計算機 ，一般家庭或辦公室用的 也 差不多長 這個模 樣 ，加減乘除再加上開平方根，共五種運算符號， 從 文具店買來後 拆封立即可用，也不用看說明書 （ 事實上 廠商 也沒有 附 說明書 ） ， 可說的上是傻瓜型計算機，它傻瓜，你聰
4、明， 其中所 隠藏的奧祕可就要 仔細思量一下 。 一般的 紙筆 計算 是先加減後乘除， 如 5 + 2 3 = 5 + 6 = 11 但當把上述式子按在計算機上時 可就不一樣了 ， 你 會發現在按下 之後，也就是 當你按完 之後 ， 液晶螢幕上便立即顯示出 5 和 2 相加 的結果 ，計算機根本 不理會 之後的數字 是什麼。 因此可得到一個簡單的結論 ： 計算機的乘法符號 不只是有乘法的功能，還 會把之前的算式先結算出來。 那開平方根的按鍵 呢？ 很簡單，不管之前的運算有多複雜，按下 時，計算機只把目前螢幕上的數字進行開平方，算出來的結果再顯示在螢幕上。 根據以上這些 便可用 傻瓜型計算機 來
5、估算三次方根 的近似值 。 傻瓜型計算機並沒有（）括號按鍵，也沒有如同工程型的 xy 指數運算按鍵，然而運用以上所述 及 的按鍵特性，很巧妙的結合根號及指數 關係 ( 21aa )，便可逐漸逼近三次 方根的值。 以計算 37 的近似值為例 按鍵步驟 按 對應所結算的算式 按 把目前螢幕上的數字進行開平方 1. 先按 7 2. 按 一下 217 3. 按 217 4. 按 兩下 )21(21 27 5. 按 )211(21 27 6. 按 四下 )21)(211(21 427 7. 按 )211)(211(21 427 8. 最後按 21)2 11()211)(211(21 )7( 242 k
6、步驟， 的 運算 關係 為 217 )21(21 27 )211(21 27 步驟 ， ， 的運算關係為 C D )211(21 27 )21)(211(21 427 )211)(211(21 427 E 和 真正的三次方根比較 37 1.9129311827723891011991168395488 若按 可得到 1.8369321 若按 可得到 1.9080901 若按 可得到 1.9129118 當然隨著計算的步驟增加，所得到的結果更為接近 37 二 .計算 五次方根的近似值 把第一個括號數中的加號改為減號其餘不變，乘積為 51 ，計算如下： )211)(211)(211)(211(21
7、 168422 )211)(211)(211(4341 1684 )22221(4341 201684 161111631516163 51以計算 57 的近似值為例 按鍵步驟 按 或 對應所結算的算式 按 把目前螢幕上的數字進行開平方 1. 先按 7 2. 按 一下 217 3. 按 217 4. 按 兩下 )21(21 27 5. 按 )211(21 27 6. 按 四下 )21)(211(21 427 7. 按 )211)(211(21 427 8. 最後按 21)2 11()211)(211(21 )7( 242 k 如同 按鍵 一般 ， 也有結算算式的作用，故類似 三次方根的情形， 及 C D E 等步驟之間的運算關係 依然存在。 和真正的五次方根比較 57 1.4757731615945520692769166956322 若按 可得到 1.4403097 若按 可得到 1.4735313 若按 可得到 1.4757642 三 .參考網頁 http:/en.wikipedia.org/wiki/Cubic_root
