2013年同济大学数学建模竞赛评阅要点.DOC

1、2013 年同济大学数学建模竞赛评阅要点 说明 本要点 仅供参考，各评阅老师可根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 A 题 新兴技术 机遇与挑战 我们身处在信息时代中，各种新兴的网络技术对传统技术的冲突是很严重的。例如，由于电子商务的出现，传统的产业受到多方面的挑战，诸多类似书店、服饰店等实体店纷纷倒闭或者转行，就算是高等教育，也因为网络上的 MOOC(Massive Online Open Course)受到强烈的挑战。然而新兴的技术并不是一下就能直接替代传统技术的，它有可能不被接受或者可能被质疑 ，也可能有一段被大众逐渐接受的过渡期。 请你选择适当的角度，利用网络查找数据，描述新

2、兴技术和传统技术在社会中博弈的过程，并讨论这种现象在发达国家和欠发达国家有何异同？ A 题 评阅要点 本题是一道很开放的题，同学对问题的理解和所关注的侧面 (角度 )的不同，会导致答卷的多样性。以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 冲突严重性的定义，可以是市场份额的争夺，也可以是潜在用户的争夺。要求有明确具体的定义，要有合理的数学形式 ， 有必要的数据支撑。 2. 建立新兴技术与 传统技术的冲突的 模式， 该模式应该能够反映两者冲突过程的诸多 变数。例如，博弈论模型、动态规划模型、或者微分模型可能是一些比较好的选择。这些变数至少应该够反映区域的差异 (发达与不发达 )，另外一些需要考虑的因素可

3、包含：新兴技术对于传统技术的依赖程度，或者说对于用户接受的容易程度。 因素的组织结构 还可以考虑 因素的相关性、信息的完备性等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理性，注意数据之间的可比性与归一化。 较好的方式是在 纵向 (时间 )和横向 (区域 )的 同时的 比较。 4. 科学、直观地表达 最终 结论：结论一般不 应该是一个简单常识。 B 题 超速行车 你驱车从 A 城赶往 B 城。 A 城和 B 城间的道路如下图所示， A 在左下角， B 在右上角，横向纵向各有 10 条公路，任意两个相邻的十字路口距离为 100 公里，所以 A 城到 B 城相距 1800 公里。任意相邻的

4、十字路口间的一段公路 (以下简称路段 )都有限速，标注在图上，单位为公里每小时。标注为 130 的路段是高速路段，每段收费 3 元。 整个旅途上的费用有如下两类。第一类与花费时间相关，如住店和饮食，由公式 tc 51 给出， t 单位小时。第二类是汽车的油费，每百公里油量 (升 )由公式 bavc 2 给出，其中875.1 ,0625.0 ba ， v 的单位为公里每小时。汽油每升 1.3 元。 问题 1. 若你遵守所有的限速规定，那么时间最短的路线和花费最少的路线分别是哪一条？ 问题 2. 为了防止超速行驶，交警放置了一些固定雷达在某些路段上，如图上红色的路段。另外，他们放置了 20 个移动

5、雷达。这些雷达等概率 地出现在各个路段，你可能在一个路段同时发现多个雷达，也可能在装有固定雷达的路段发现移动雷达。每个雷达都监控了自身所在的整个路段。如果你超速 %10 ，你有 %70 的可能被雷达探测到，届时会被罚款 100 元；如果你超速 %50 ，你有 %90 的可能被雷达探测到，届时会被罚款 200 元。 假设 T 是遵守所有限速规定所花的最少时间，但你有急 事想在 T8.0 时间内赶往 B 城，那么包括罚款在内最少花费多少？路线又是哪一条？ B 题 评阅要点 假设 ： 1. 每个路段上通过交通标志灯 (红灯 )的时间可以忽略不计； 2. 车辆的行驶中，进入服务区休息的时间可以忽略不计

6、； 3. 正常情况下汽车在每个路段以各路段限定的最高时速 (常速 )行进 ； 4. 在紧急情况下，一旦决定超速 10%，则这个路段都是超 10%，因而这个路段 也是常速 。对超 50%的情形也是如此； 5. 假定所有雷达的发现超速车辆的能力是相同的。在超速 10%的情况下， 车辆 被一个雷达发现的概率是 0.7。在超速 50%的情况下， 车辆 被一个雷达发现的概率是 0.9。 可以考虑超速在其它值时不同的被发现 概率； 6. 罚款也不会影响路段的行车速度 ， 罚款所用时间可以忽略不计； 建模： 建立一个有 100 个顶点和 180 条边 (有向的或无向的 )的网络模型。根据自己的模型，需要对题

7、中给出的数据作整理。把各路段的速度限制，是否高速路段，是否有固定雷达，集合在一个矩阵形式的数据表中。 求解： 问题 1. 在不超速时，把各路段的速度限制数据转换成开车净用时数据，得到以各路段开车用时为边权的带权 邻接矩阵。用 Dijkstra 算法、 Floyd 算法及线性规划得到用时最少的路径。经计算，最少用时为 T0=17.7809 小时。也可以采用随机搜索、穷举算法等得到比较接近的结果。参考路径如下图。路径可能不唯一，但一般的程序输出只有一个路径。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789为了计算费用最少的最短路，把边权数据改成各路段的费用数据，得到以各路段费用为权的带

8、权邻接矩阵。同样用 Dijkstra 算法、 Floyd 算法及线性规划得到费用最少的路径。这里给出了四条路径。最小费用都是 276.6944 欧元。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789应该对第一问开展算法的比较，分析。进行结果的验 证等工作。 问题 2 问题是在满足小于、等于 0.8 倍 T0 的时间内到达目的地的条件下，选择怎样的路径使费用的期望值到达最小。之所以是费用的期望值，因为生活费用，燃油费用是确定的，但超速是以一种概率规则被探测和发现的，因而罚款是以期望值来表示的。在问题 1 中，已经求得 T0=17.7809,所以 0.8 T0=14.2247. 问题

9、2 是有约束条件下的最优值问题。由于某个路段有三种开车选择：正常速度、超速 10%和超速50%，而顶点又是那么多，因此问题相当复杂。 因此 如何简化问题 2 是 关键。 如果在 180 个路段上按照某种策略选定了速度值 (包括超速 )，则可以把问题化为线性规划模型。 相对于 问题 1， 只要增加行车时间这一不等式约束。 1. 四种情况（有、无固定雷达，超速 10%、 50%）的罚款期望值 为了能够找到超速策略，需要研究超速以后能节约的时间与罚款的函数关系。但首先需要计算有固定测速雷达的路段在超速以后被检测发现的概率，以及没有固定测速雷达的路段在超速以后被检测发现的概率。进一步计算有、无固定雷达

10、，超速 10%、 50%时的罚款的期望值。 在没有固定雷达的路 段，恰有 k 个移动雷达出现在那里的概率为 .20,2,1,0,1 8 01 7 91 8 0120 20 kkCp kkk 因此在无固定雷达路段，汽车超速 10%时被检测出（至少有一个雷达检测到）的概率为 7 5 00.03.011 8 01 7 91 8 01201 20 0 20 k kkkm kCpr 在无固定雷达路段，汽车超速 50%时被检测出的概率为 0954.01.011801791801205 20 0 20 k kkkm kCpr 在无固定雷达路段，超速 10%时 ,罚款的期望值（均值）为 7 . 4 9 7 0

11、3.011 8 01 7 91 8 01201 0 011 0 01 20 0 20 k kkkmm kCprfi 在无固定雷达路段，超速 50%时 ,罚款的期望值（均值）为 1 9 . 0 7 7 91.011 8 01 7 91 8 01202 0 052 0 05 20 0 20 k kkkmm kCprfi 因为移动雷达出现在任何路段的概率与是一样的。所以在有固定雷达的路段，恰有 k 个)21,2,1( k 雷达（包括移动和固定的）出现在那里的概率为 .21,2,1,1 8 01 7 91 8 0120 20 kkCp kkk 因此在有固定雷达路段，汽车超速 10%时被检测出的概率为

12、7 2 2 5.03.011 8 01 7 91 8 01201 20 0 120 k kkkf kCpr 在有固定雷达路段，汽车超速 50%时被检测出的概率为 0 . 9 0 9 51.011801791801205 20 0 120 k kkkf kCpr 因此在有固定雷达路段，超速 10%时 ,罚款的期望值（均值）为 7 2 . 2 4 9 13.011 8 01 7 91 8 01201 0 011 0 01 20 0 120 k kkkff kCprfi 因此有固定雷达路段，超速 50%时 ,罚款的期望值（均值）为 1 8 1 . 9 0 7 81.011 8 01 7 91 8 0

13、1202 0 052 0 05 20 0 120 k kkkff kCprfi 从这里初步看到，在有固定雷达的路段是不应该超速的，特别是超速 50%。 2. 四种限速路段（ 50 km/h、 90 km/h、 110 km/h 和 130 km/h），两种超速（ 10%、 50%）所能节省的时间 。 因为超速罚款是以相对值决定的，因此同样的付出（罚款），要达到的节省时间的效果是不相同的。 （ 1）计算超速 10%，在四种限速路段的所节省的时间 t 100/50-100/(50*1.1)=0.181818 100/90-100/(90*1.1)=0.10101 100/110-100/(110*

14、1.1)= 0.0826446 100/130-100/(130*1.1)= 0.0699301 （ 2）计算超速 50%，在四种限速路段的所节省的时间 t 100/50-100/(50*1.5)= 0.666667 100/90-100/(90*1.5)= 0.37037 100/110-100/(110*1.5)= 0.30303 100/130-100/(130*1.5)= 0.25641 为了分析每欧元罚款所能节省的时间，计算各种情况下 t/fine的值 ，列表如下 路段限速 超速情况 无固定雷达时每欧元罚款预 期缩短的行车时间 有固定雷达时每欧元罚款预 期缩短的行车时间 50 km/

15、h 10% 0.024252 0.0025 50% 0.0349444 0.0037 90 km/h 10% 0.0134734 0.0014 50% 0.0194136 0.0020 110 km/h 10% 0.0110237 0.0011 50% 0.0158838 0.0017 130 km/h 10% 0.00932771 9.6790e-004 50% 0.0134402 0.0014 从表中可以得到选择超速的优先顺序是 限速 50,超速 50% ,无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0349444小时 限速 50, 超速 10% , 无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短

16、行车时间 0.024252 小时 限速 90, 超速 50% , 无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0194136 小时 限速 110, 超速 50% , 无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0158838小时 限速 90, 超速 10% , 无固定雷达， 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0134734小时 限速 130, 超速 50% , 无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0134402小时 限速 110, 超速 10% , 无固定雷达 , 每欧元罚款预期缩短行车时间 0.0110237小时 进一步解问题 2 a 考虑所有的限速 50 km/h，没有固

17、定雷达的路段，实施超速 50%方案，与问题 1同样的方法找出行车时间最少的路径，经计算这条路的用时不能满足小于或等于 0.8T0的要求。 b 考虑所有的限速 50 km/h与 90 km/h，没有固定雷达的路段，都实施超速 50%方案，求出其最少用时的路，发现其用时也不能满足小于或等于 0.8T0的要求。 c 再考虑所有的限速 50 km/h、 90 km/h和 110 km/h，没有固定雷达的路段，都实施超速 50%方案，求出其最少用时的路，发现其用时已经能够满足小于或等于 0.8T0的要求。但这条路的费用的期望值不一定是最小的。 因此在所有的限速 50 km/h、 90 km/h和 110

18、 km/h，没有固定雷达的路段，都实施超速 50%方案，而其余路段按照道路限速行驶的大方案下，求满用时能满足小 于或等于 0.8T0=14.2247 这个约束条件的费用期望值到达最少的路径。 建立线性规划模型 ， 可以得到这样的一条路径， 用时 14.1948小时，期望费用为 571.8928欧元。路径如下图。它要在有固定雷达的路段不超速，在没有固定雷达的路段且速度为 50 km/h、 90 km/h、 110 km/h的路段上超速 50%。经过一些必要的核对，比较可以说明这条路的期望费用可以最少。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789如果能在理论上能证明这个解也是全局最

19、优的，那就非常完美了。 这类问题还可以用人工神经网络、遗传算法等现代最优化方法计算。 对自己计算结 果的分析与比较是必须的和重要的。 问题 1 的费用最少的路径上，中速行驶的路段比较多，这与开车的实际经验是完全一致的。 补充说明 在只考虑部分路段超速的情况下， 用时为 14.1739 小时 的一条路径： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789超速方案是：只有在路段 (5, 3, V) 有固定雷达，因此不超速（限速为 90km/h）；在 17 个没有固定雷达的路段， 14 个路段的限速是 110 km/h(见图 )，其中 8 个路段超速 10%， 6 个路段超速 50%；另外

20、路径中，有 1 个路段限速为 50 km/h， 2 个路段限速为 90 km/h，都超速 50%（路径中 没有限速为 130 km/h 的路段）。 用时是 14.1096 小时，费用为 535.3914 欧元 的 路径如下 ： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789超速方案是：所有路段都没有固定雷达，在 18 个路段中， 15 个路段的限速是 110 km/h(见图 )，其中10 个路段超速 10%， 5 个路段超速 50%；另外路径中，有 1 个路段限速为 50 km/h， 2 个路段限速为 90 km/h，都超速 50%（路径中没有限速为 130 km/h 的路段）。

21、C 题 道路行驶工况的确定 行驶工况用于确定车辆污染物排放量、燃油消耗量、新车型的技术开发和评估，以及测定交通控制方面的风险等，是汽车工业一项共性核心技术。目前，我国汽车排放测试规程采用欧 洲的排放标准，难以真实地反映我国城市汽车的实际排放因子和排放量。 因此，开展我国大中城市汽车行驶工况的研究十分必要。 世界范围内车辆排放测试使用的行驶工况可分为美国行驶工况 (JSDC)、欧洲行驶工况 (EDC)和日本行驶工况 (JDC)。美国 FTP(联邦认证程序 )为代表的瞬态工况 (FTP72)和 ECE(Economic Commission for Europe)为代表的模态工况 (NEDC)也被

22、各国所采用。 附表是某重型汽车生产厂对于 自己生产车在国内高速公路上行驶的追踪数据。 试根据这些数据，构建一个适合该型汽车在高速道路上的行驶工况。 C 题 评阅要点 本题考察的重点是：从 测试三辆汽车大 量的、不完全的、甚至错漏（带有噪音、错误、异型）的数据中提取有用 变量及 数据，进而构建数学模型的能力。 1分析数据 数据一共给出三辆车的实际路况信息。这些数据可以全部利用，也可以部分利用。比如从某辆车的表现得到的信息能否通过另一辆车的数据验证。如果这样的话，那最后的结果可信度就加强了。 此外，数据本 身有缺失值。如何处理这些缺失值也是需要探讨和考虑的。 2建立模型 （ 1） 应多角度、全面、综合地考虑 工况 问题。模型中至少应 说清楚什么是工况，准备怎样构建工况。目前构建工况的比较流行方式是微行程提取 -重组法、马尔科夫法、 V-A 矩阵分析法等。选择合适的方法很重要。 由于微行程重组法和 V-A 矩阵分析法适用于从怠速开始到怠速停止的整体行驶过程，在此基础上有了微行程的定义。而本题研究的高速公路路段行驶状况较为特殊，车速一直处于较高水平，因此微行程重组法和 V-A 矩阵分析法都不太适应。 （ 2） 变量的 筛选 ：根据 自己的工况构 建方式，选择合适的变量作为构建工况的基础。有很多种方法可以遴选所需变量，关键要能说明选出来的变量确实是构建工况的有用变量。