1、探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。一、特殊三角形1.直角三角形例 1已知：如图，在ABC 中，AB13，BC12，AC5，求ABC 的外接圆的半径 r.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。解：AB13，BC12，AC5，AB 2BC 2AC 2，C90，AB 为ABC 的外接圆的直径，ABC 的外接圆的半径 r 为 6.5.2.等腰三角形例 2已知：如图，在ABC 中，ABAC=10，BC12，求ABC 外接圆O 的半径 r.分析：利用等腰三角
2、形的对称性，相似三角形的相关知识解题.解：作直径 AD 交 BC 于点 E，交圆于点 D，连接 BD.ABD=90，AB=AC，ABC=C，C=D，ABC=D.BAE=DAB，ABEADB,AEB=ABD=90，BE=CE=6.AE= .82BEAABEADB， BEAD ,182EBAABC 外接圆O 的半径 r 为 9.二、一般三角形1.已知一角和它的对边 锐角三角形例 3.已知：如图，在ABC 中，AB10，C60，求ABC 外接圆O 的半径 r.分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形.解：作直径 AD，连结 BD.DC60，DBA90.AD DsinAB60i132ABC 外接
3、圆O 的半径 r 为 .10 钝角三角形例 4.在ABC 中，AB10，C100，求ABC 外接圆O 的半径 r.（用三角函数表示）分析：方法同例 3.解：作直径 BD，连结 AD.则D180C80，BAD90ABCOABCODABCODBD DsinAB80i1ABC 外接圆O 的半径 r 为 .80sin5注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.2.已知两边夹一角例 5已知：如图，在ABC 中，AC2，BC3，C60，求ABC 外接圆O 的半径 r.分析：考虑求出 AB，然后转化为的情形解题.解：作直径 AD，连结 BD.作 AEBC
4、，垂足为 E.则DBA90，DC60，CE AC1，AE ，23BEBCCE2，AB 2BEA7AD DsinAB60i713ABC 外接圆O 的半径 r 为 .23.已知三边例 6.已知：如图，在ABC 中，AC13，BC14，AB15，求ABC 外接圆O 的半径 r.分析：作出直径 AD，构造 RtABD.只要求出ABC 中 BC 边上的高 AE，利用相似三角形就可以求出直径 AD.解：作直径 AD，连结 BD.作 AEBC，垂足为 E.则DBACEA90，DCADBACE， ABEDC设 CEx, AC 2-CE2AE 2AB 2-BE2 ，13 2-x215 2-(14-x)2 x=5
5、,即 CE5，AE12 ，AD 13AD46ABC 外接圆O 的半径 r 为 .8654.已知两边及第三边上的高例 7.已知：如图，在ABC 中，AB7，AC6，ADBC，且 AD=5，求ABC 外接圆O 的半径 r.分析：作出直径 AE，构造 RtABE，利用相似三角形就可以求出直径 AE.解：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE，则ABE90.EC，ABEADC90，RtABERtADC， ，ACEDBABCODEABCODE ，657AEAE= .42总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法： AD 是ABC 的高，AE 是AB
6、C 的外接圆直径求证 ABACAEAD即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商例 1 如图 1，已知等腰三角形的腰长为 13cm，底边长为 10cm，求它的外接圆的半径解 由题意知三角形底边上的高为解 从 A 作 AMBC 于 M，则AD 2MD 2AM 2AC 2(MDCD) 2即 5 2MD 27 2(MD3) 2得 R14，则ABC 外接圆面积SR 2196例 3 如图 3，已知抛物线 yx 24xh 的顶点 A 在直线 y4x1 上，求抛物线的顶点坐标；抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标；ABC 的外接圆的面积解 A(2，9)；B(1，0)； C(5， 0)从
7、A 作 AMx 轴交于 M 点，则 BMMC3AM 9R5ABC 外接圆面积 SR 225在锐角ABC 中，BCa、CAb、ABc，外接圆半径为 R因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例 4 如果正三角形的外接圆半径为 6cm，那么这个正三角形的边长a_cm解正三角形每一个内角为 60例 5 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 的长为 10cm，顶角为 120，求它的外接圆的直径(课本题)解 由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为 a,b,c外接圆半径为 R， （如右图所示）则 sincos2)cos( ab（余弦定理
8、）而 ，R2cosRb4sin2，asasi2即有： abc2RabR4222即有： 22)(4(所以： )4)()(2 22 ababcab a bc R 即有： 224224222 )(16)()(4)( baRaabcRcbaRb 所以： ，即：22c )2222 cb所以： )()()( acbacba而三角形面积： （海伦公式）)(4 cS所以，有： cR 另一求法，可用正弦定理，即： ，而RAa2sinbcaA2cos所以： 222222 )(4)(1)(cos1sin2 acbcaaAaR 二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为 a,b,c内切圆半径为 r， （如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有，解得czybxa2cbax显然： ，而tnr 2cos1)(cos1int 而由余弦定理有： ab2cos所以： )(421)(tan 222 cbaabc即有: )(2)(422cccbr xabc Rxyyzzr即： cbaSccbaacbar 2)(24)(2)()(
