1、数列解题技巧归纳总结1数列解题技巧归纳总结基础知识：1数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3， ， an， （） ，简记作 an 其中 an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质：单调性 ；周期性 5数列的分类：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小
2、关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列6数列的通项公式：如果数列 an的第 n 项 an与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式 a =f（ n）（ nN +或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一7数列的递推公式：如果已知数列 an的
3、第一项（或前几项） ，且任一项 an与它的前一项 an-1（或前几项an-1， an-2，）间关系可以用一个公式 an=f（ a ） （ n=2，3，） （或 an=f（ a ,a ）1 12n(n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 8数列的求和公式：设 Sn表示数列 an和前 n 项和，即 Sn= =a1+a2+an，如果 Sn与项数 n 之间的函i数关系可以用一个公式 Sn= f（ n） （ n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9通项公式与求和公式的关系：通项公式 an与求和公式 Sn的关系可表示为： 1()n2nSa等差数列与等
4、比数列：等差数列 等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义1nad1(0)naq数列解题技巧归纳总结2分类递增数列： 0d递减数列： 常数数列： 递增数列： 1100aqaq， 或 ，递减数列： ， 或 ，摆动数列：常数数列： 1q通项1()()n madpnqad其中 1, （1nnmnaaq0）前n项和21()()2nSpq其中 1,dpqa1()nnSqa中项 , 2
5、abcbc成 等 差 的 充 要 条 件 :2,abcbac成 等 比 的 必 要 不 充 分 条 件 ：主要性质等和性：等差数列 n若 则mpqmnpqa推论：若 则22anknkna12132a即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列 n若 则mpqmnpqa推论：若 则22()a2()nknkna12132即：首尾颠倒相乘，则积相等其它1、等差数列中连续 项的和，组成的新数列m是等差数列。即：等差，公差为232,msss则有d()m2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等差，则 ， ，nb2na21n， 也等差。knpq4、
6、等差数列 的通项公式是 的一次函数，1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即： 等232,mmss比，公比为 。q2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等比，则 ， ，nb2na21nk也等比。其中 0k4、等比数列的通项公式类似于 的指数函数，n数列解题技巧归纳总结3性质即： ( )nadc0等差数列 的前 项和公式是一个没有常n数项的 的二次函数，即： ( )2nSAB0d5、项数为奇数 的等差数列有：1s奇偶 nsa奇 偶 中21()nn项数为偶数 的等差数列有：，1nsa奇偶 sd偶 奇2()nn6、 则,ma0
7、a则ns()n则,msn即： ，其中nacq1aq等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即： (1)nsc5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法： 1()nad常 数2、中项法： 2na证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法： 1()naq常 数2、中项法： 12,0)nnna（ ）设元技巧三数等差： ,ad四数等差： 3,3ad三数等比： ,aq或四数等比： 23,联系1、若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是nanCdCd的公差。n2、若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列
8、，公差为 ，其中n0naloganlogaq是常数且 ， 是 的公比。a0,1aq数列解题技巧归纳总结4数列的项 与前 项和 的关系：nanS1()2nnsa数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 等差， 等比，那么 叫做差比数列）nanbnab即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求bq和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列 和 （其中 等差）1na1nana可裂项为： ，11()nnd 11()nnn ad等差数
9、列前 项和的最值问题：n1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。na10nS（）若已知通项 ，则 最大 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最大；2npq2qpnS2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na10dnn（）若已知通项 ，则 最小 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最小；2npq2qpnS数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）求 ，用作差法： 。nS12()naf na1,()2nnaS已知 求 ，用作商法： 。12()nfA n(1),2)nf已知条件中既有 还有 ，
10、有时先求 ，再求 ；有时也可直接求 。SaSana若 求 用累加法：1()nafn 1221()()()nnn数列解题技巧归纳总结5。1a(2)n已知 求 ，用累乘法： 。(nfna121naa ()n已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法1nakb1nnakb,k转化为公比为 的等比数列后，再求 ；形如 的递推数列都可以除以 得到一个等差1nnank数列后，再求 。n（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。1n（7） （理科）数学归纳法。（8）当遇到 时，
11、分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段qadann11或数列解题技巧归纳总结6典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。 （2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、 已知a n满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 a n+1-an=2 为常数 a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列a n=1+2（n-1） 即 an=2n-1例 2、已知 满足 ，而 ，求 =？1212n（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3
12、、已知 中 ， ，求 .n121241nana解： 由已知可知 )(1n )12(令 n=1，2， （n-1） ，代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a1）+（a 3-a2）+（a n-an-1）24)12(1nan 说明 只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以n=1，2， （n-1）代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。(3)递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、 中， ，对于 n1（nN）有 ，求 .n113nn解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，a n=3an-1+2。两式相减：a n+1-an=3（a
13、 n-an-1）因此数列a n+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4a n+1-an=43n-1 a n+1=3an+2 3a n+2-an=43n-1 即 a n=23n-1-1数列解题技巧归纳总结7解法二： 上法得a n+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有：a 2-a1=4，a 3-a2=43，a 4-a3=432，a n-an-1=43n-2，把 n-1 个等式累加得： an=23n-1-1(4)递推式为 an+1=p an+q n（p，q 为常数）由上题的解法，得： )(3211nnbb nnb)32(nnnba)31(2(5)递推式为 2
14、1nnapqa思路：设 ,可以变形为： ，211()nnnaa想于是a n+1-a n是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。求 。na数列解题技巧归纳总结8(6)递推式为 Sn与 an的关系式关系；（2）试用 n 表示 an。 )21()(11 nnnaS 112nna上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2 nan是公差为 2 的等差数列。2 nan= 2+（n-1）2=2n2数列求和问题的方法（1） 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n 2【例 8】 求数列 1， （
15、3+5） ， （7+9+10） ， （13+15+17+19） ，前 n 项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n= 个奇数，)1(2最后一个奇数为：1+ n(n+1)-12=n2+n-12因此所求数列的前 n 项的和为数列解题技巧归纳总结9（2） 、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1（n 2-1）+ 2（n 2-22）+3（n 2-32）+n（n 2-n2）解 S=n 2（1+2+3+n）-（1 3+23+33+n3）（3） 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写
16、的两个和式相加，然后求和。例 10、求和： 12363nnnSCC例 10、解 0 n S n=3n2n-1（4） 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1，3x，5x 2,(2n-1)xn-1前 n 项的和解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0 时，S n=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂项法：把通
17、项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。数列解题技巧归纳总结10常见裂项方法：例 12、求和 1115379(2)3n注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】 等差数列a n的首项 a10，前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（lk）问 n 为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a 10 S l=Sk（lk），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例 14】设等比数列a n前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。
