1、极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若 ， ，则有AxflimBxgli（） xgfglim（） xxflili （） ， （ ）gfBAglimli0B注意：法则(1)和法则(2) 可以推广到有限个函数的情况。另外，法则(2)还有三个推论。推论：（） ， ( 为常数)xfkxflili k（） ， （ 为正整数）nn（） ， （ 为正整数）nxfxf11limli例 235lim2x2532li xli)li(x 16652观察这个例子可以发现函数 在 时的极限正好等于它在 这一2352x 2x点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若 是多项式，则xf。00limxfx例 3512l
2、ixx3512lixx 32519例 221lix221lix从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。比如以下几种情况：【在 中， ， 】xgflim0liAxf0limxg例 23x【在 中， ， 。常见的有以下两种情况】gfli0lixf0lixgA ， 均为多项式xf例 13limx121lixx 121limxx例 3421x 31x 31x可以看到，在这种情况下，我们采用的方法是：先把分子、分母进行因式分解，约去分子、分母中的公因式，把原式变成符合极限四则运算法则条件的情况，再
3、用极限四则运算法则进行计算。这种方法叫因式分解法。B 或 中含有根式xfg例 42limx24lixx 24limxx 21li4x例 3li4xx 321231li4 xxx 321lim4xxli4xx4可以看到，在这种情况下，我们采用的方法是：先把分子、分母进行有理化，约去分子、分母中的公因式，把原式变成符合极限四则运算法则条件的情况，再用极限四则运算法则进行计算，这种方法叫有理化法。【在 中， ， 。常见的有以下两种情况】xgflimxflixglim. ， 均为多项式f例 132linn 213linn例 1324limxx 4213lixx例 xx7823li2378lix可以看到
4、，在这种情况下，我们采用的方法是在分子、分母中同时除以 的最高次幂，x然后再求极限。总结以上三个例子可以发现，在这种情况下有如下规律：当分子、分母中的最高次幂相同时，极限为分子、分母最高次幂的系数的比，是常数；当分子的次数高x于分母的次数时，极限为无穷大；当分子的次数低于分母的次数时，极限为零。. 或 中含有根式fxg例 uu143lim14liu【在 中， ， 】xgfli xflimxgli例 1122x 112222li xxxxx 1122limxxx 1122limxxx 22lixxx例 xx131li321lix 231limxx 121lixx 21lixx可以看到，在这种情况
5、下，如果 或 中含有根式，我们采用的方法是进行分xfg子有理化；如果 或 是分式，我们采用的方法是先进行通分。xfg【其他一些常见的情况】例 xsinlm（有界量与无穷小量的乘积是无穷小量）例 xxcos312li（有界量与无穷小量的乘积是无穷小量）二 极限存在准则和两个重要极限 1sinlm0x利用这个重要极限的结果可以去求一些分子或分母中含有三角函数的 型不定式的值。0注意：在应用这个极限时， 部分必须相同，如果不同，要想办法化成相同的。变形完成之后，要保证 部分仍然趋近于 。0例 x5sinlm05sinl0xx xx5sinlm0一般地， kxsil0例 20cos1lixx20sin
6、lxx204sinlxx 20sin21lmxx 20sin1lx1例 xx1sinlxsil例 xtg3li0 xx3cos1il0例 xtgx7sin3lm0x3cos17inl0 xx3cos17sinlm0 xxx 3cos17sin3ll007 exx1lim注意：在应用这个极限时， 部分必须是 ，如果不是 ，要想办法化成 ； 11部分必须是加号，如果不是加号，要想办法化成加号； 部分必须相同，如果不相同，要想办法化成相同的。变形完成之后，要保证 部分仍然趋于 。例 xx31li31lix31limxxe例 xx251lim1051lix 105lixx e例 31lixx 13li
7、x31limxx e例 32limxx 3211lilixx 3131lili6xxxx 361e6【在 中，现令 ，则当 时 ，上式变成exx1limxz10z.】zz10例 xx103lim310lix310limxx e例 xx102li 2li0 1e三 其他一些常见的求极限的方法1 换元法例 1 xelim0解：令 ，则 ， 时，yy1ln0xyxe1li0yli0y1lnimyy10lnilne例 2 xarctim0解：令 ，则 ， 时，ytyxtan0yxarcnli0ytli0ycosilmycosinl12 等价无穷小代换例 1 ,sinlm0abx解：当 时， ，xibx
8、sinxilx0l例 2 3snl0解：当 时，xxisilm303l031lim20x注意：在乘、除运算中用等价无穷小进行代换是不会出错的。但是在和、差运算中如果用等价无穷小进行代换，当等价无穷小选取不恰当时就会出错，所以在和、差运算中尽量不要用等价无穷小进行代换。四 例题精选例 1 123limxx解：原式= 43)213)(lim)23)(li 11 xxxx例 2 nn(li解：原式 1)32(lim3nn上 下 同 除 以例 3 20cos1lixx解：原式= 61)2(sinlm3sinl 2020 xxxx例 4 xx20)sin1(lim解：原式= 。6sin6si310sin
9、6i310 )in1(lm)i(li exxxxx例 5 nn)12(lim解：原式= 31313 )(lim)(li ennnnn例 6 xxsi)ta(lim20解： ，等 价与是 无 穷 小 ，时 ，当 xx1sin)sitan(1in222所以， 原式= 。01sinlm1sinli020 xxxx例 7 （例 4）203cos1limx解：原式= 。 （最后一步用到了重要极限）61inl0x例 8 12coslimx解：原式= 。2sinli1xx例 9 30silimx解：原式= = 。 （连续用洛比达法则，最后用重要极限）20co1lixx 61sinlm0x例 10 xxsin
10、cli20解： 31sinlm3)sin(coslimco20 20xxx xx原 式例 11 求 5li 2x解 )3(li131li2 2xxxlim5li22xx 325)li(1x 370例 12 求 93lim2 x解 31lim)(lili 32 3 xxx 61)(li 3x例 13 求 45li2 1x解 03lim 根据无穷大与无穷小的关系得 4532lim 1xx例 14 求 35724lixx解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 735lim5724li3xxx例 15. 求 21li3x解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 0251lim52li 33 xxx例 16 求 li2x解 因为 所以0513li2limxx例 17 求 解 例 18 求 解 因为 ,所以
