1、概率论与随机过程课程论文浅析二阶模糊随机过程均方 HenstockStieltjes 积分摘要:定义了二阶模糊随机过程均方 HenstockStiehjes积分，并探究了其部分性质。同时对二阶二阶模糊随机过程均方 HenstockStiehjes积分的一个收敛定理和可导性做了简单研究。关键词：二阶模糊随机过程；Henstock 积分；均方 Henstock积分1 引言在现实生活中存在大量既具有随机性又具有模糊性的不确定性现象，这些现象被称为模糊随机现象许多人们感兴趣的模糊随机现象往往是通过积分、导数和微积分方程等数学形式出现的，这就为研究描述模糊随机现象的模糊随机过程以及模糊随机微积分提供了实
2、际背景文献1比较系统地研究了一类模糊随机过程的均方微积分如同实值过程的均方微积分，模糊随机过程的均方微积分重要性在于简单实用，不涉及很深的随机分析理论众所周知，经典牛顿积分与黎曼积分互不包含，虽然勒贝格积分包含了黎曼积分，但也不包含牛顿积分。Henstock 积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分，而且不需要测度理论支持，便于应用科学工作者和工程研究人员很快地掌握并应用到他们的实际研究中去本文讨论一类模糊随机过程的均方 Henstock 积分及其基本性质，使文献1中的结果为本文的特例，推广了其结果文中第一部分对实值 Henstock 积分、模糊数空间以及关于模糊随机变量的 L2 空间等预备
3、知识作了介绍，第二部分给出了二阶模糊随机过程均方 Henstock 积分的定义并对其基本性质等进行了讨论，第三部分则对二阶模糊随机过程均方 Henstock 积分的收敛定理和可导性做了简单讨论。2 预备知识定义 1(参阅文献1) 设 是区间a,b上一实值，a,b的一个划分)0xd(称为 细分（细的划分，简称细分） ，如果下列条件成立：1,;,2iiPxn-=L()（1 ） ；012naxb()xd2（2 ）设 ，则 a,b的任意 细分也是 细分。120()x，另由 定义知此时 ，又由 ，得iitc-x()xd1()min(),iiicx=x-()iit-0()0d()xd，有1,;,2iiPx
4、n-=L。1()niiifA-=，u 的 r 一水平集定义为 ，在 上定义距离,dv |()1rdxRur=$d尺 度 函 数 d1,;,2iiTtn-=x=L有,(,()bTaSXtgr01()0xd2()x对任意 细分 和 细分 ，有 和 ，其中 分1()xd1D2()xd20(,)2nSXr0()0xd细分 和 ，有 ，()xd1,;1,2iiPxn-=L21,;,2iiPxm-=L,)nmSr()nxd， 有 ，其中 和 是 和 上的黎曼和。可设 单调递减，1D212(,)nrSe01()0x2()xda,c的任意 细分 和c,b的任意 细分1()xd1,;1,2,iiDtn-x=L2
5、有2,;,2,iiDtm-=L，11()(),niiiXtI-=erxnN,sup(),()(1ntabgbar当 是a,b的任意 精细划分时，有 ，其中nT和 nd(,)nTSr。现令 ，使得对区间a,b上的任意 精细划分11()()nkniiiiSXgt-=x()tt=dd7，有和式 ， ，则12T和 1 1()()kTiiiiSXgt-=x2 11()()lTiiiiSXgtt-=x12 11 111(,)()(),()(),()(),()(k lTiiiiiii ikiiiniiii il liiiiiii iSt gtXgtXtt gt- -=- -=- -=rr xx +r x11
6、, ), 22sup(),()()()k liiiniiii intabgt tXtbgagbaba- -=x er +-+e3+因此 在a,b 上关于 是均方 Henstock-Stieltjes 可积的。()Xgt ,()(),()sup(),()()1bbbbn n naaaattddXtdgtXtdgtgr re-e-+即()lim()()bbnaanXtdgXtdr=定理 6 设二阶模糊随机过程 在a,b上连续， 是a,b上的实值增函数，()t()ta为 在a,b上均方 HS 积分的原函数，则 在a,b 上均方 可导，()()xaGXtd=t ()Gta且对任意的 ，有 。,b()G
7、Xta=证明：由二阶模糊随机过程 在a,b上连续，则 在 a,b上关于 均方 HS 可积，t ()Xt()t对任意给定的 ，有 关于 均方 RS 可积，对任何区间r,s满足0,tab 0(),trta，有0 0,(),trst-d+80 00()1,()()(,)()(,)1()(),().(ssrrsrGsrXtGXtrstddtRSts-r=r-a-aa-由二阶模糊随机过程 在a,b上连续， ，则 在 上)Xt ,GrXt-e()Gt0,xab均方 可导，由 的任意性可得， 在a,b上均方 可导。a0x()ta参 考 文 献1 FENG YH.Meansquare Integral and Differential of Fuzzy Stochastic ProcessJ.Fuzzy Sets and Systems,1999.102(2):271280.2李 静,冯玉湖.模糊随机过程的均方Henstock 积分J. 东华大学学报:自然科学版,2007,33(5):590-594.
