1、1 七年级数学上册复习提纲 第一章 有理数 1.1 正数与负数 正数： 大于 0 的数叫正数。 （根据需要，有时在正数前面也加上 “+”） 负数： 在以前学过的 0 以外的数前面加上负号 “”的数叫 负数 。 与 正 数具有相反意义 。 0 既不是正数也不是负数。 0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 注意： 搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等 1.2 有理数 1.有理数（ 1） 整数 :正整数、 0、负整数统称整数 (integer)， （ 2） 分数 ;正分数和负分数统称分数 (fraction)。 （ 3） 有理数 ； 整数和分数统称有理数 (rat
2、ional number). 以用 m/n(其中 m,n 是整数， n 0)表示有理数。 2.数轴 （ 1）定义 ： 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴 (number axis)。 （ 2） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 （ 3）原点： 在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 (origin)。 （ 4） 数轴上的点和有理数的关系： 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 (opposite number)。（例： 2 的相反数是 -2； 0 的相反数是 0） 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数
3、 a 的绝对值 (absolute value),记作 |a|。 从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 3.一个数同 0 相加，仍得这个数。 加法的交换律和结合律 2 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘
4、，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都得 0。 乘积是 1 的两个数互为倒数。 乘法交换律 /结合律 /分配律 有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 1.5 有理数的乘方 求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（ power）。在 a 的 n 次方中， a 叫做底数 (base number)，n 叫做指数（ exponent）。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数， 0 的任何次幂都是 0。 有理数的混合运算法则
5、：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 把一个大于 10 的数表示成 a10 的 n 次方的形式，使用的 就是科学计数法 ，注意 a 的范围为 1 a 10。 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字 (significant digit)。 四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如： 3.5449 精确到0.01 就是 3.54 而不是 3.55. 第二章 整式的加减 2.1 整式 单项式 ：由数字和字母乘积组成的式子。系数，单项式的次
6、数 . 单项式指的是数或字母的积的代数式单独一个数或一个字母也是单项式因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数 式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式 单项式的系数：是指单项式中的数字因数； 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和 多项式 ：几个单项式的和。 判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式 每个单项式称 项，常数项，多项式的次数 就是多项式中次数最高的次数。 多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，这里 33ab 是次数最高项，其次数是 6；多项式的项是指在多项式中，每一个单项式特别注意多项式 的项包括
7、它前面的性质符号 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。 单项式和多项式统称为整式。 2.2 整式的加减 3 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 与字母前面的系数（ 0）无关。 同类项必须同时满足两个条件：（ 1）所含字母相同；（ 2）相同字母的次数相同，二者缺一不可同类项与系数大小、字母的排列顺序无关 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。 合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和，且字母部分不变； 字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序
8、排列。 如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（反）。 整式加减的一般步骤： 1、如果遇到括号按去括号法则先去括号 . 2、结合同类项 . 3、合并同类项 2.3 整式的 乘法法则 : 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 ; 单项式和多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每项，再把所得的积相加。 多项式和多项式相 乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 。 2.4 整式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商
9、的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 第三章 一元一次方程 3.1 一元一次 方程 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数（元） x，未知数 x 的指数都是 1（次），这样的方程叫做一元一次方程 (linear equation with one unknown)。 注意 判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点 ： 1）未知数所在的式子是整式 （ 方程是整式方程 ） ； 2） 化简后方程中只含有一个未知数； 3） 经整理后方程中未知数的次数是 1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解 (solu
10、tion)。 等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式 子（整式或分式） ，等式不变 （结果仍相等） . 2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变 . 4 注意：运用性质时，一定要注意等号两边 都要同时变；运用性质 2 时，一定要注意 0 这个数 . 3.2 解 一元一次方程 （一） -合并同类项与移项 一般步骤 ：移项 合并同类项 系数化 1；（可以省略部分） 了解无限循环小数化分数的方法，从而证明它是分数，也就是有理数。 3.3 解 一元一次方程 （二） -去括号与去分母 一般步骤 ：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） 去括号 移项 合并同类项 系数化
11、1； 以上是 解一元一次方程 五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复使用 . 因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选 择方法 . 在解方程时还要注意以下几点： 去分母 ， 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 ， 不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号 ； 去分母与分母化整是两个概念，不能混淆 ； 去括号 遵从 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘括号的项；不要弄错符号 ； 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号； 不要丢项合并同类项 ， 解方程是同解变形，每一步都是一个方
12、程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式 . 把方程化成 ax b（ a0）的形式 字母及其指 数不变系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解不要分子、分母搞颠倒 3.4 实际问题与一元一次方程 一概念梳理 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是： 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系， 设出未知数（注意单位）， 根据相等关系列出方程， 解这个方程， 检验并写出答案（包括单位名称） . 一些固定模型中的等量关系： 数字问题： abc 表示一个三位数，则有 100 10abc a b c 行程问题：甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程 +乙走的路程 =总路程 甲走
13、的时间 =乙走的时间； 甲乙同时 同向行走追及时：甲走的路程乙走的路程 =甲乙之间的距离 工程问题：各部分工作量之和 = 总工作量； 储蓄问题：本息和 =本金 +利息 商品销售问题：商品利润 =商品售价商品成本价 =商品利润率 商品成本价或商品售价 =商品成本价 （ 1+利润率） 5 产油量 =油菜籽亩产量 X 含油率 X 种植面积 二、 思想方法（ 本单元常用到的数学思想方法小结） 建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想 . 方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想 . 化归思想：解一元 一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合
14、并同类项、未知数的系数化为 1 等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为 x=a 的形式 . 体现了化 “未知 ”为 “已知 ”的化归思想 . 数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性 . 分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用 . 三、 典型例题 例 1. 已知方程 2xm 3+3x=5 是一元一次方程，则 m= . 解 ： 由一元一次方程的定义可知 m 3=1
15、，解得 m=4.或 m 3=0， 解得 m=3 所以 m=4 或 m=3 警示： 很多同学做到这种题型时就想到指数是 1，从而写成 m=1，这里一定要注意 x 的指数是（ m 3） . 例 2. 已知 2x 是方程 ax2（ 2a 3） x+5=0 的解，求 a 的值 . 解 ： x= 2 是方程 ax2（ 2a 3） x+5=0 的解 将 x= 2 代入方程， 得 a（ 2） 2（ 2a 3） （ 2） +5=0 化简，得 4a+4a 6+5=0 a=81点拨： 要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把 x= 2 代入方程，然后再解关于
16、 a 的一元一次方程就可以了 . 例 3. 解方程 2（ x+1） 3（ 4x 3） =9（ 1 x） . 解 ： 去括号，得 2x+2 12x+9=9 9x， 移项，得 2+9 9=12x 2x 9x. 合并同类项，得 2=x，即 x=2. 点拨： 此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未 知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成 x=a 的形式 . 例 4. 解方程 17532 1416181 x. 解析： 方程两边乘
17、以 8，再移项合并同类项，得 1 1 1 3 5 16 4 2x 6 同样，方程两边乘以 6，再移项合并同类项，得 113142x方程两边乘以 4，再移项合并同类项，得 1 12x 方程两边乘以 2，再移项合并同类项，得 x=3. 说明： 解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个 数，达到去分母和去括号的目的。 例 5. 解方程 4 1 .5 5 0 .8 1 .20 .5 0 .2 0 .1x x x . 解析： 方程可以化为 ( 4 1 . 5 ) 2 ( 5 0 . 8 ) 5 ( 1 .
18、2 ) 1 00 . 5 2 0 . 2 5 0 . 1 1 0x x x 整理，得 2 ( 4 1 . 5 ) 5 ( 5 0 . 8 ) 1 0 (1 . 2 )x x x 去括号移项合并同类项，得 7x=11，所以 x= 117. 说明： 一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以 10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以 2，第二个分数分子分母都乘以 5，第三个分数分子分母都乘以 10. 例 6. 解 方程 1.6 1 2 2 0 3 0x x x x 解析： 原方程
19、可化为 1.2 3 3 4 4 5 5 6x x x x 方程即为 1.2 3 3 4 4 5 5 6x x x x x x x x 所以有 1.26xx再来解之，就能很快得到答案： x=3. 知识链接： 此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母 6=23， 12=34， 20=45， 30=56，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便 . 例 7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报 销， 保险公司制 度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是 1260 元，那么 此人的实际医疗费是（ ） 住院医疗费（元） 报销
20、率（ %） 不超过 500 的部分 0 超过 500 1000 的部分 60 超过 1000 3000 的部分 80 A. 2600 元 B. 2200 元 C. 2575 元 D. 2525 元 解析： 设此人的实际医疗费为 x 元，根据题意列方程，得 7 5000+50060%+（ x 500 500） 80%=1260. 解之，得 x=2200，即此人的实际医疗费是 2200 元 . 故选 B. 点拨： 解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的 . 因为 50060% 1260 200080%，所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算 . 例
21、 8. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 7 立方米，则按每立方米 1 元收费；若每月用水超过 7 立方米，则超过部分按每立方米 2 元收费 . 如果某户居民今年 5月缴纳了 17 元水费，那么这户居民今年 5 月的用水 量为 _立方米 . 解析： 由于 17 17，所以该户居民今年 5 月的用水量超标 . 设这户居民 5 月的用水量 为 x 立方米，可得方程： 71+2（ x 7） =17， 解得 x=12. 所以， 这户居民 5 月的用水量 为 12 立方米 . 例 9. 足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得
22、0 分，一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场，得 17 分，请问： 前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？ 这支球队打满 14 场比赛，最高能得多少分？ 通过对比赛情况的分析，这支球队 打满 14 场比赛，得分不低于 29 分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的 6 场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 解析： 设这个球队胜了 x 场，则平了（ 8 1 x）场，根据题意，得 3x+（ 8 1 x） =17. 解得 x=5. 所以，前 8 场比赛中，这个球队共胜了 5 场 . 打满 14 场比赛最高能得 17+（ 14 8） 3=3
23、5 分 . 由题意知，以后的 6 场比赛中，只要得分不低于 12 分即可 . 胜不少于 4 场，一定能达到预期目标 . 而胜了 3 场，平 3 场，正好达 到预期目标 . 所以在以后的比赛中，这个球队至少要胜 3 场 . 例 10. 国家为了鼓励青少年成才，特别是贫困家庭的孩子能上得起大学，设置了教育储蓄，其优惠在于，目前暂不征收利息税 . 为了准备小雷 5 年后上大学的学费 6000 元，他的父母现在就参加了教育储蓄，小雷和他父母讨论了以下两种方案： 先存一个 2 年期， 2 年后将本息和再转存一个 3 年期； 直接存入一个 5 年期 . 你认为以上两种方案，哪种开始存入的本金较少 ? 教育
24、储蓄（整存整取）年利率一年： 2. 25%；二年： 2. 27%；三年： 3. 24%；五年： 3. 60%. 解析： 了解储蓄的有关知识，掌握利息的计算方法，是解决这类问题的关键，对于此题，我们可以设小雷父母开始存入 x 元 . 然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少 . 2 年后，本息和为 x（ 1+2. 70%2） =1. 054x； 再存 3 年后，本息和要达到 6000 元，则 1. 054x（ 1+3. 24%3） =6000. 解得 x 5188. 8 按第二种方案，可得方程 x（ 1+3. 60%5） =6000. 解得 x 5085. 所以，按他们讨论的第二种方案，开始存
25、入的本金比较少 . 例 11. 扬子 江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示 . 如果长方体盒子的长比宽多 4cm ，求这种药品包装盒的体积 . 分析： 从展开图上的数据可以看出，展开图中两高与两宽和为 14cm，所以一个宽与一个高的和为 7cm，如果设这种药品包装盒的宽为 xcm，则高为（ 7 x） cm，因为长比宽多 4cm，所以长为（ x+4） cm，根据展开图可知一个长与两个高的和为 13cm，由此可列出方程 . 解： 设这种药品包装盒的宽为 xcm，则高为（ 7 x） cm， 长为（ x+4） cm. 根据题意，得（ x+4） +2（ 7 x） =13， 解得 x=5，所
26、以 7 x=2， x+4=9. 故长为 9cm，宽为 5cm，高为 2cm. 所以这种药品包装盒的体积为： 952=90（ cm3） . 例 12. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了 14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率 . 解： 设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 x. 根据题意得 （ 1 x）（ 1 5%） =1 14% 解得 x=20% 答 ： 这个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%. 点评： 本题是一道增长率的应用题 . 本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用，也就是本月的石油进
27、口量乘以本月的价格 . 设出未知数，分别表示出每一个数量，列出方程进行求解 . 列方程解应用题的关键是找对等量关系，然用代数式表示出其中的量，列方程解答 . 例 13. 某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为 78 分，其中参赛的男选手比女选手多 50%，而女选手的平均分比男选手的平均分数高 10%，那么女选手的平均分数为 _. 解析： 总平均分数和 参赛选手的人数及其得分有关 . 因此，必须增设男选手或女选手的人数为辅助未知数 . 不妨设男选手的平均分数为 x 分，女选手的人数为 a 人，那么女选手的平均分数为 1. 1x 分，男选手的人数为 1. 5a人，从而可列出方程 1 .5 1 .1
28、 781 .5a x x aaa ，解得 x=75，所以 1. 1x=82. 5. 即女选手的平均分数为 82. 5 分 . 四 、数学思想方法的学习 1. 解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题 . 2. 寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等 . 3. 列方程解应用题的检 验包括两个方面：检验求得的结果是不是方程的解；是要判断方程的解是否符合题目中的实9 际意义 . 【模拟试题】 一、选择题： 1. 几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ） A、 28 B、 33 C、 45 D、 57 2
29、. 已知 y=1 是方程 2 yym 2)(31 的解，则关于 x 的方程 m（ x+4） =m（ 2x+4）的解是（ ） A、 x=1 B、 x= 1 C、 x=0 D、方程无解 3 某 种商品的进价为 1200 元，标价为 1750 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于 5 ，则至多可打（ ） A、 6 折 B、 7 折 C、 8 折 D、 9 折 4. 下列说法中，正确的是（ ） A、代数式是方程 B、方程是代数式 C、等式是方程 D、方程是等式 5. 一 个数的31与 2 的差等于这个数的一半这个数是（ ） A、 12 B、 12 C、 18 D、 18 6.
30、母 亲 26 岁结婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的 3 倍 . 此时母亲的年龄为（ ） A、 39 岁 B、 42 岁 C、 45 岁 D、 48 岁 7. A、 B 两地相距 240 千米，火车按原来的速度行驶需要 4 小时到达目的地，火车提速后，速度比原来加快 30，那么提速后只需要（ ）即可到达目的地。 A、1033小时 B、1313小时 C、1034小时 D、1314小时 二、填空题 8. 已知甲数比乙数的 2 倍大 1，如果设甲数为 x，那么乙数可表示为 _；如果设乙数为 y，那么甲数可表示为 _. 9. 欢欢的生日在 8 月份在今年的 8 月份日历上，欢欢生日那天的
31、上、下、左、右 4 个日期的和为 76，那么欢欢的生日是该月的 号 . 10. 从甲地到乙地，公共汽车原需行驶 7 小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了 20 千米，只需 5 小时即可到达。甲乙两地的路程是 ； 三、解答题 11. 解下列方程 （ 1） 5)72(6)8(5 xx （ 2） 16 324 2 xx 10 12. 一家商店将某型号彩电先按原售价提高 40，然后在广告中写上 “大酬宾，八折优惠 ”. 经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款 . 求每台彩电的原价格 . 13. 小明的爸爸三年前为小明存了一份 3000 元的教育储蓄 . 今年
32、到期时取出，得本利和为 3243 元 . 请你帮小明算一算这种储蓄的年利率 . 14. 在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通 过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下： 甲同学说： “二环路车流量为每小时 10 000 辆 ”. 乙同学说： “四环路比三环路车流量每小时多 2000 辆 ”. 丙同学说： “三环路车流量的 3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的 2 倍 ”. 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【试题答案】 1. A. 提示：日历上纵列上的三个数的和是中间一个数的 3 倍 2. C. 提示：将 y=1 代入方程得 m 的值，再将 m 代入 m（ x+4） =m（ 2x+4） 3. C. 提示：设至多可打 x 折，可得方程 %5120012001575 x解得 x=0. 8 4. D. 提示：方程是含未知数的等式 5. B. 提示：设这个数为 x. 可得方程 11232xx. 解得 x= 12. 6. A. 提示：设 x 年后，母亲的年龄是儿子的 3 倍，可得方程 27+x=3（ 1+x） 7. B. 提示：设原来速度为 x 千米 /时，则 x=60 千米 /时 8. 21x， 2y+1 提示：根据等量关系甲数 =2乙数 +1 来解此题
